[讨论]四色猜测证明与着色方法的关系

雷明85639720

四色猜测证明与着色方法的关系
雷  明
（二○一三年十月八日）
新浪无名网友在我的有关四色问题的博文后的评论栏里发了“地图四色问题的核心在于证明与着色法之间的关联问题。证明是否完全能对着色法进行阐述？或者说，证明是否与着色法之间存在可逆关系？如果不存在，那么证明能否引导出着色法的生成？我认为这才是应该考虑而且必须考虑的问题。”的短文。我不知什么含义，但我想就我的理解谈一谈证明与着色方法间的关系，请这位网友指正。
这里有两个关系一定要分清楚：一是猜测的证明与对图的着色的关系；二是猜测证明中各种证明方法与着色证明方法的关系。
1、证明与着色的关系：
四色猜测的证明是对于一般的、任意的图而言的，最后所得出的结论也只能是“是”与“否”二者之一。要么就是任意平面图着色时的色数均不大于4的四色猜测是正确的，要么就是不正确的，或者说要么是对的，要么就是不对的。结论只能是二者中的一个。一旦证明是正确的，则猜测就可以上升为定理。而着色则是对图的顶点的着色，是对个别的图、具体的图的着色。具体到对平面图着色时，因为是具体图，所以有的图的色数等于4，有的则是小于4的，虽均不相同，但都是小于等于4的。但着色的图再多，虽然都只用了不多于4种的颜色数，但仍不能说明四色猜测就是正确的，因为你还没有把所有的平面图都着完，因为图是无穷多的；但也不能因为你某个人对某一个图不能进行4—着色就说明四色猜测是不对的，这可能是因为你着色时的方法不正确所导致的结果。比如，四色猜测证明历史上的赫渥特图，就是一个个别的、具体的图，虽然有整整一百年没有4—着色，但也不能因此而说四色猜测就是不正确的。正如大家都说的赫渥特的图只是坎泊证明方法的反例，而不是四色猜测本身的反例，就是这一思想的反映。一百年后的今天，事实已经证明了赫渥特的图是可以4—着色的。
2、四色猜测证明的其他方法与着色方法的关系：
任何问题的解决都不只是只有某一种方法，而是有多种方法的，四色问题的解决也是如此。目前网上证明猜测的方法很多，各有各的长处，都有一定的道理。我自已目前所用的就有多种，主要的有公式推导法（由多阶曲面上的欧拉公式直接推导出多阶曲面上的地图着色公式，当曲面的亏格为0时，公式计算的结果——着色数就是小于等于4的），图论法（由于图着色时是相邻的顶点是不能着同一颜色的，图的顶独立集划分时相邻的顶点是不能划分到同一个顶独立集之内的，求图的完全同态、运用图的同化运算时，相邻的顶点也是不能同化在一起的，从而可以得到图的色数、图的最小顶独立集数和图的最小完全同态的顶点数这三者之间是相等的关系的结论。只要证明了平面图的最小顶独立集数和最小完全同态的顶点数都不大于4，那么也就同样证明了四色猜测是正确的）和着色法（由于平面图的不可免集中只的五种元素——构形，只要证明这五种构形特别是5—轮构形是可约的也就证明了四色猜测是正确的）三种，虽然还有其他多种方法，但都大同小异，都可以归入图论方法之列。
公式推导方法由于完全是纯粹的是在进行数学运算，采用公式代入、解一元二次方程，没有什么怀凝之处，只要运算过程正确，结论也就正确，否则也就不正确；图论方法也只是在对图的结构进行分析，采用图的同化运算，求图的最小完全同态，以确定平面图的最小完全同态的顶点数及最小顶独立集数的界。该界若不大于4时，四色猜测就是正确的，否则就是不正确的。这也没有以怀凝的地方。但着色方法则不同，你就是把5—轮外的链的分布情况分析得尽可能的全面，还会有人提出有不同的看法的，因为他对他自已构造的图不能4—着色时，他就认为你的证明有问题，这也是必然的。历史上不就有赫渥特对他构造的图不能4—着色（当然坎泊也没有能够对其进行4—着色）而否定了坎泊的证明吗。就是现在，在已经证明了赫渥特图那种构形是可以4—着色的情况下，不是还有人提出比赫渥特图中的链的关系更简单的构形，认为也是不能4—着色的吗。比如我上几篇论文中指出的的由八位数字组成网名的网友所说的图，并由七个英文字母组成网名的网友给出的（3）（b）情况就是例证。这一情况的产生，完全是由于提问者本人不能对该图进行4—着色，当然他就要对你的证明提出怀凝，这也是很正常的现象。本人已对这位网友给出的（3）（b）情况进行了4—色，且指出了这不是5—轮构形中链间最复杂的关系，并把最复杂的情况又进行了一次4—着色。就这样，还是有人认为是“不全面”的。这个“不全面”，既不否定也不肯定，实在难以处理，怎么才叫做全面呢，没有一个标准。正是由于这种情况的存在，本人才从一九九○年起就提出了走不用着色的办法，不对任何一个图进行着色，用图论的方法对猜测进行证明道路。这就是我提出的用图的色数、图的最小顶独立集数、图的最小完全同的顶点数三者相等的关系对猜测进行证明的观点。一九七六年阿贝尔等用了近两千个构形，让电子计算机花了1200个机器小时对其进行验证，实际上是一种倒退。理论上不早就证明了平面图的不可免集中只有五种元素（构形）吗，你何必要找那么多构形呢。这不是对计算机资源的极大浪费吗。
雷  明
二○一三年十月八日于长安