[讨论]三论张彧典的谓九构形

雷明85639720

三论张彧典的所谓九构形
雷  明
（二○一三年二月二十四日是）
张彧典先生在二○一○年出版过《四色问题探秘》一书，二○一二年又在香港《新科技》杂志上了表了《四色猜测的数学归纳法证明》一文，其内容基本上与上书的内容相同。以前我对于《探秘》一书先后有过至少四次评论的文章，但一直没有看到作者对我的评论提出过什么异议，我在评论中个别地方的错误也没有看到张先生提出，是不是对我的评论能够接受，我也不得而知。但从张先生的最近发表的《归纳法证明》一文最后的附言中可以看出，先生还是接受了我评论中的许多意见的。最近我又对张先生的《探秘》一书进行了学习，还想作以下的评论，与张先生共勉。
1、平面图的不可避免构形集
由于任何一个平面图中至少都存在着一个顶点的度是小于等5的，而在极大图的情况下，这种顶点都是处在一个轮的中心顶点，所以说平面图的不可避免构形就是0—轮（K1），1—轮（K2）,2—轮（2重的K3），3—轮（K4）,4—轮和5—轮，共六种。坎泊已经证明了图中只含有4—轮以前的五种构形的平面图是可约的，即可4—着色；也证明了含有5—轮（如图1，a）的平面图在两条连通链只有一个交叉顶点（如图1，b和图1,c）的情况下是可约的，但没有证明两条连通链有两个以上交叉顶点（如图1,d和图1,e，图中粗黑等号左边的图是张先生的习惯表示方法，等号右边的图是笔者的习惯表示方法，两图是相价的，即是相同的，只是表示的形式不同罢了，因为图是具有拓扑性质的）的情况下也是可约的；赫渥特同样也不能证明这一点，所以才出现了所谓的“五色定理”。在张先生的《探秘》一书中把被坎泊证明是可约的构形叫做“K—构形”，而把由赫渥特构造的赫渥特类图的构形叫做“H—构形”，他后面还把由米勒所构造的图的构形叫做“M•H—构形”。

2、所谓的“H—构形”
把赫渥特图经过简化，把关链的顶点留下后，可得到一个“九点形”（如图2，赫渥特图这里就不再画了）。该图由于C2与D2直接相邻，是不可能同时称去两个B色的，这就是所谓的H—构形。与图2相同的有两个以上交叉顶点的连通链的构形还有两个，如图3和图4。图3分别从B1和B2进行B—D和B—C链的交换（两次交换那个在先，那个在后，是没有关系的）后，可以同时移去两个B，空出B给V,因而该图（构形）也是可约的，应归为K—构形之列。图4处于图2 和图3之间，是一种中间状态的半H—图。它可以有选择性的先从某一个B色顶点进行交换，后从另一个B色顶点再进行交换，而同时移去两个B,再把B给V着上，但交换的顺序错了，则图就会变成图2的类型，成为一个H—图。相应的图1的H—图，在进行了一次或两次关于B的链的交换后，也会变成图4的半H—图。再按半H—图的着色方法进行着色，图2的H—图也是能够4—着色的。赫渥特和坎泊都没有看到这一点，后来的数学家也没有看到这一点，一直使得赫渥特的图从一八九○年到一九九○年之前的整整一百年内没有进行4—着色。正是由于赫渥特没有看到H—图与半H—图是可以相互转化的这一特征，所以他陷入到了这一无限的相互转化的陷阱之中了，无法给他的图进行4—着色。



前面在谈到图2的H—构形中说“由于C2与D2直接相邻，是不可能同时移去两个B色的”。就是因为这一原因，才使得从某一个B色顶点进行交换后，便产生了由另一个B色顶点到其对角顶点间的连通链，而交换连通链是不可能空出颜色的，所以是不可能同时移去两个B色的。如果C2与D2不直接相邻，那么这种图一定是可以通过两次关于B的色链的交换，同时移去两个B色的，也应是属于K—构形。在张先生的《探秘》一书中，把给K—构形着色的交换叫做坎泊交换，而把给H—构形着色的交换叫做赫渥特颠倒，“颠倒”的意思实质上与“交换”是相同的，所以“赫渥特颠倒”就是“赫渥特交换”。造成这种术语不统一的原因，可能是给张先生翻译米勒文章的那位先生对数学（图论）专业术语不太熟悉而进行“直译”的结果。虽然构形不同，着色的方法不同，交换的链不同，交换的次数不同，但实质上都是在对不同的链进行交换。链的交换实质上仍是把链中各顶点的颜色互换一次，所以说赫渥特交换与坎泊的交换的实质是相同的，不存在什坎泊交换与赫渥特交换之别。
以上的构形尽管各不相同，但实质上都是属于5—轮构形，是5—轮构形中的亚类构形。
3、所谓的“九构形”
张先生的“九构形”，前面三个就是我们这里的图3和图4。第一个构形就是图1中基本构形加图4中的虚线构成的图；第二个构形就是图3，第三个构形就是图4中的实线部分表示的图。第一个构形是一个半H—构形，张先生用的方法是先从B1顶点进行了一次是所谓的Z换色程序（即所谓张氏换色程序），这也就是正确选择了首先进行交换的顶点的方法，使一个半H—构形变成了一个非H—构形（即K—构形），再进行了一次坎泊交换，就空出了一种颜色给V着上。所谓的Z换色程序就是前面提到的所谓逆时针赫渥特颠倒。所谓逆时针颠倒就是开始交换的顶点，是以上各图中的B1顶点，即从A1顶点到B1顶点是逆时针方向转动的；第二个构形是一个H—构形，张先生用了两次逆时针赫渥特颠倒，即Z交换，经过了一次所谓的难点转化，再进行了一次坎泊交换后，给V着上了已用过的四种颜色之一。这实质上也是在进行先把一个H—构形变成一个半H—构形，再把一个半H—构形变成一个非H—构形即K—构形的过程。第三个构形也是一个半H—构形，本应与第一个构形一样，进行一次顺时针赫渥特颠倒，即从B2顶点开始义换BC链，就可以使该半H—构形变成一个非H—构形或者K—构形。但张没有这样做，而是仍然从B1顶点开始，进行了三次逆时针赫渥特颠倒，经过了两次所谓的难点转化，才使该构形变成一个非H—构形。
以后的第四到第八个构形，都是在第三个构形的基础上，通过增加顶点的方法得到的，完全保持了第三个构形的特征：即有从A1到C1的AC链，也有从A1到D1的AD链，两链至少在A1顶点和A2顶点两处相交叉，且有C1到D2的CD链，有B2到A2的AB链。由于第三个构形是一个半H—构形，所以这几个构形也全都是半H—构形。这五个构形都可以从B2顶点开始进行一次顺时针赫渥特颠倒，即交换BC链，都可使构形变成一个非H—构形（即K—构形）。但张先生却是从B1顶点开始，分别用了四次，五次，六次，七次和八次的逆时针赫渥特颠倒，分别经过了三次，四次，五次，六次和七次的所谓的“难点转化”，才使其变成了非H—构形（即K—构形）。这不是少慢差费吗。
当张先生用他的Z换色程序不能对米勒的图进行着色时，就改用了另一种办法（当然这种着色也是正确的，张先生把这种着色交换方法叫做“Z＇”换色程序），就对他原来只有八个构形的不可免集进行了扩大，把米勒图也作为一个不可免构形，而变成了“九构形”。我要问，如果以后再有人构造出了一个构形，既不能用你的Z换色程序着色，也不能用你的Z＇换色程序着色时，是不是还要扩大你的不可免集的元素呢，是不是还要改成“十构形”集或者有更多元素的构形集呢。
张先生的第四个和张五个构形中，在AB链中各存在一个小环，把CD链隔成了两部分。这样我们还可以把AB小环中的D色顶点改换成C色，即进行CD链的交换，使AD链变得不连通（断链），该构形也就变成了非H—构形了，再进行一次坎泊交换，就可以给V着色了。
关于张第九个构形，笔者已多次有文章进行评论，这里就不再评论了。
张先生的第八个构形的所谓的放大图，实际上不是真正在第八个构形的基础上放大的，而是在第一个构形的基础上，一步步按类似从第一构形到第四个构形，再从第四个构形到第八个构形的变化而得来的，并且还有第四个构形和第五个构形的特点，即AB链和CD链中各有一个小环（但第四、第五个构形中都只是CD链中有一个小环，这是不同的地方）。这个构形用一次逆时针赫渥特颠倒，或把AB小环中的D色顶点改换成C色,或者把CD小环中的A色顶点改换成B色，都可以使原构形变成一个非H—构形（即K—构形）。并不是张先生书中的要进行至少八次或八次以上的赫渥特颠倒。但如果要进行顺时针赫渥特颠倒，可能要进行至少八次甚至八次以上的颠倒了。不知张先生想到没有想到过这里，也请张先生试进行一次着色。
张先生说除了他的九构形之个，再没有其他的构形了，最多只用8次所谓的逆时针赫渥特颠倒和经过最多七次所谓的难点转化，都可使任何的H—构形（有两条连通链存在两个以上交叉顶点的构形）转变成非H—构形（即K—构形，即不存在两条连通链相交叉情况的构形，或者有两条交叉的连通链，但只有一个交叉顶点的构形）。请问张先生对你的第八个构形的放大图，按你所说的进行逆时针赫渥特颠倒，能进行几次呢，8次够不够呢。按我的方法，这个图只要使用一次坎泊的颜色交换技术，就可以使其变成一个K—构形或非H—构形，再使用一次坎泊的颜色交换技术就可以空出已使用过的四种颜色之一给V着上。我是没有时间对这样复杂的图去进行我不熟悉的、还要进行多次的所谓逆时针赫渥特颠倒的。如果用你的方法，超过了8次赫渥特颠倒，那么你的所谓的由“九构形”构成的所谓“可约H—构形不可免集”显然就是不成立的了。这一问题是你必须要考虑到的。
张先生的第九个构形的放大，我们在有关专谈第九个构形的文章中已经给了评论，这里也不再进行评论了。
4、数学归纳法证明
张先生在进行数学归纳法证明一开始，有一个5—轮图，其中心顶点未着色，这是对的，这个顶点就是数学归纳法中“n＋1”中的“1”，5—轮的5个轮沿顶点以及其外部未画出的若干个顶点则是数学归纳法中“n＋1”中的“n”。按归纳法的假设，这“n”个顶点是能够4—着色的，那么除了5—轮的中心顶点外，其他顶点一定是符合着色要求的。然而张先生却把这个5—轮的两个相邻的轮沿顶点用了同一种颜色，这是不符合着色要求的。这样的表示本身就说明了除过5—轮中心顶点外的其他顶点就是不能4—着色的。连归纳法的前提——假设都是错的，还能得到正确的结论吗。我查了一下，张先生的这个图的来源是张忠辅教授的《数学的陷阱——四色猜想的各种“证明”》一文，但张忠辅教授用的是5—星图，而不是5—轮，5—星图的5个星点除了各与星的中心顶点相邻外，各星点之间均是不相邻的，不相邻当然是可以用同一颜色的。而张彧典先生在这里却用的是轮，轮的轮沿顶点是依次相邻的，给相邻的两个轮沿顶点着上同一颜色就不合适了。当然他后边证明该轮是可约的那些话也就都是错的了。
张先生在引用张忠辅教授关于说明所谓“色分划和色分图”时，前面说了独立集“G［Vi］中无边”，即G［Vi］中都是不相邻的顶点，但随后接着又说“当Vi中的点在G中相邻时，则它们在G［Vi］也相邻”。前后就有了矛盾，叫人无法理解，白白的浪费读者的时间。独立集中的顶点本来在图中就是互不相邻的顶点嘛，上述的话都是多余的废话。
建议张先生在引用别人的东西时，要看明白别人说得是对的还是不对，不要盲目引用。如果要引用，就得要把原文错误的地方指出来。上面所说的那个图的问题，就是张彧典先生在引用张忠辅教授的东西时，只把图改动了，但没有改动图中的标注和后面的文字叙述所造成的。《探秘》一书中还有在引用米勒等人的《理应已知的赫伍德反例》一文中的话时，完全是按照翻译者的直译引用的，除了文中的图文所标文字不符外，还有句子非常难懂，读起来非常费力，我读了多少遍，直到现在也没有把对米勒文的那段译文看明白。我对张先生《探秘》一文里的批注也属这一段译文最多，书上画得满满的，都是对一些不明白地方的凝问。
5、所谓的“可约H—构形不可免集”
张先生的“可约H—构形不可免集”中的元素（构形）是不是就只有上述的这九个呢。在《探秘》一书中张先生在谈到“可约H—构形不可免集的确立”时说：“接着我们继续构造一些复杂的构形，试图寻找难点转化次数大于7的可约H—构形，但至今没有找到。”又说“为找这个难点转化次数的上限值及理论依据，又耗去了五年时间，没有结果。”这里的“没有找到”和“没有结果”是两个很含乎的词语。“没有找到”到底是指是“没有找到”这个所谓的“难点转化次数大于7 的构形”呢，还是“根本就没有”这个所谓的“难点转化次数大于7 的构形”呢。“没有结果”更不理解是什么意思，是“没有找到”这个所谓的“难点转化次数的上限值及理论根据”呢，还是“根本就没有”这个所谓的“难点转化次数的上限值及理论根据”呢。根据这两个模棱两可的词语就能得出“可约H—构形不可免集”中只有八个元素（构形）吗。这里你根本就没有证明不会再存在别的构形了嘛。难怪当张先生看到米勒图用四次所谓逆时针赫渥特颠倒后，出现了循环，不能变成非H—构形（即K—构形）而不能用所谓的赫渥特交换给其待着色顶点着色时，却采用了与我提出的“断链”方法相同的步骤（张先生称之为“Z＇换色程序”），仍旧使用了坎泊的颜色交换技术使其变成了非H—构形后，才给其中的待着色顶点着上已用过的四种颜色之一。也就是因为这样，张先生又把把米勒的图作为第九个构形编入其原来只有八个构形的“可约H—构形不可免集”中，使该集合中的元素（构形）由八个上升为九个，这就是“九构形”的来历。同时张先生也把米勒的图叫做米勒构形，用“H•M—构形”表示。请问，你的“可约H—构形不可免集”中的无素以后是否还会增加呢，何时是个头呢。
6、关于米勒构形（H•M—构形）
米勒图或者说米勒构形也属于赫渥特构形类，我在专谈第九构形的文中对其结构已进行了分析。该构形只有通过“断链”的方法才能使其变成非H—构形。米勒与张先生都认为该图经过四次逆时针赫渥特颠倒后又“返回到原型染色”，出现了循环。这里所说的所谓“原型染色”实际上是指米勒图最初的“双B夹A型”模式。但这并没有“返回到”米勒图各顶点最初所着颜色的状态。所以我认为这里用了“返回到原型染色”的词语是不确切的。我试着继续进行了所谓的“逆时针赫渥特颠倒”，一直进行了二十次，才使米勒图中各顶点返回到了原来所着的颜色，中间出现过五次所谓“双B夹A型”的模式。出现“双B夹A型”模式的次数正好与待着色顶点V的度是相同的（这是为什么，也是一个值得研究的问题）。我认为无论是“双B夹A型”，还是“双A夹B型”，实质上都是相同的构形。因为一个5—轮的5 个轮沿顶点占用了四种颜色时，必定有一种颜色是用了两次的，而这两个着了同一颜色的顶点间至少是夹了一个用别的颜色着色的顶点。以上的二十个构形实质上同一个构形，都是有两条连通链且该两链有两个以上的交叉顶点，不存在循环不循环的问题。因为他们（二十个构形）的解决方法都是相同的，都是只要从某一条连通链的某一个顶点开始进行一次关于两链非共有的颜色构成的链的交换，即可使米勒图变成非H—构形的图，即K—构形的图。这一方法就是我提出的“断链”法，也就是张先生的所谓“Z＇换色程序”。《探秘》一书中还把米勒构形叫做“具有十折对称的赫渥特构形”，并且说“从几何结构上看，他独具特色——十折对称，是别于不可免集中的任一构形的”。这个“十折对称”是指什么含义呢，它对证明该构形也是“可约的”又有什么意义呢，书中一直没有进行说明，这是不尽人意的地方。
7、用着色的方法是不能证明猜测的
根据以上的分析，我按张彧典先生的思路，作了如下的构形表。从表中可以看出，很可能还存在我们目前还不知道的构形，也可能我们不一定都能对其进行4—着色，所以说用着色的方法是不可能最终证明猜测的，因为我们不可能把所有的构形都着色完。
平面图的各种构形表
平面图的不可避免构形各    种    情    况张氏的叫法
0—轮（K1）K—构形
1—轮（K2）
2—轮（2—重K3）
3—轮（K4）
4—轮
5—轮连通的两交叉链只有一个交叉点
连通的两交叉链有
两个以上的交叉点图中只有C—D环链H—构形
图中还有A—B环链H•M—构形
还有没有别的构形？
    评论：以后还会不会出现别的什么构形，只能是个大问号，所以说用着色的方法对四色猜测进行证明是最终得不到结果的，只能用不着色的方法进行证明了，这才是正确的方法。
8、对张彧典先生《探秘》和《归纳法证明》的评价
张彧典先生辛辛苦苦几十年，的确是总结出了一套着色的方法，不过这种着色办法是有一点太罗索，太麻烦。他的这些文章只能说是对着色方法进行的研究，并没有对猜测的证明有什么新的突破。虽然作者的结论是说他证明了四色猜测是正确的，但他的确并没有给出令人信服的证明。要知道掌握了着色的方法，能给自已所构造出来的图进行4—着色，不等于就是对猜测进行了证明。而如果说有人能证明四色猜测是正确的，可他却不一定对任何平面图都能进行4—着色，尽管任何平面图都是可4—着色的。这正象人人都知道一无二次方程有两个根，但却不一定每一个人都能对某些方程求出正确的解的是同样的道理。而在没有最终证明所有一元二次方程都一定有两个根以前，难道每个人都不会解一元二次方程吗，不是的。只有人们会解一元二次方程，才能最终证明任何一元二次方程一定有两个根。所以说，尽管人们能够对所构造出来的图都能进行4—着色，但这并不等于说就证明了四色猜测就一定是正确的。
雷  明
二○一三年二月二十四日于长安