[讨论]回复82615471并共同讨论

雷明85639720

回复82615471并共同讨论
雷  明
（二○一二年十月七日）
本不想与82615471进行讨论，因为他是一个疯狂的反对研究难题的反对派。但最近发现了刘福的贴子：“回复39楼（39楼的内容是82615471应刘福之邀回答82615471提出的十种不能证明四色猜测的方法的原因——雷明注）（4）‘即使平面图可以同化或收缩为 K4，但是并没有严格证明，在这一过程中各阶段所余的各顶点必着 4 色！’看来作者是实践了的。不过这是不完全的实践——为什么一出现K4，就停下来？还要继续操作下去，就不会有余下的顶点可担忧了。”不知刘福是否要求82615471给以回答，但一直没有看到82615471出来对这一贴子进行表态。
现在我接着刘福的贴子上的问题，与82615471共同讨论：
1、平面图一定可以同化或收缩为顶点数小于等于4的完全图Kn（n≤4）的，平面图的色数也一定是小于等于4的。
82615471原来的贴子是：【警钟长鸣】《这些证明“四色问题”的方法都不成立！》，其中共有十种方法，第（7）种说“（7）用平面图可收缩或同化为 K4证明的！”，后来82615471在应刘福的要求，说明十种方法不能证明猜测的原因时说：“（4）第 7，8 种证明方法，不能成立的原因，在于即使平面图可以同化或收缩为 K4，但是并没有严格证明，在这一过程中各阶段所余的各顶点必着 4 色！（注意——四色问题本身就是一个着色问题！如果不谈图的着色，如何去证明它呢？）”82615471是用序号（4）回答的序号是（7）的原因。
注意82615471在这里用的是“即使平面图可以同化或收缩为 K4”，我首先要问82615471,你是否认为平面图都可以同化或收缩为K4呢，请明确回答是还是不是，因为你上面“即就是”一词，说得很免强，不能肯定是“是”还是“不是”。
㈠ 如果你认为“平面图可以同化或收缩为 K4”，那么，你在后面说的“但是并没有严格证明，在这一过程中各阶段所余的各顶点必着 4 色！”就没有必要了。为什么，你已经把一个平面图都同化成了一个K4团（这就是该图的最小完全同态），它的每一个顶点都代表着可同化到一起来的若干个不相邻的顶点，既然是不相邻的顶点，那么着同一颜色完全是可以的，这不就说明了任何平面图都可以4—着色了吗。还要说上面的那一句话不就是多余的吗。把这个K4图着上四种颜色后，再按原来同化时的想反方向连同颜色一起反回到原图，这个图不就完成了4 —着色吗。这个完全图K4的顶点数4就是该图的最小顶独立集数。每一个顶独立集内的顶点都是互不相邻的，那么着同一种颜色当然是可以的，最小顶独立集数是4,那么图的色数也就是4了。
㈡ 如果你认为不是，就说明在你眼里，不是所有的平面图都可以同化为K4的。那么就请你看一看我在《数学中国》网的“哥猜等难题”栏目中发表的我的论文《我研究四色问题的四篇论文》，网址是：http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=3000&show=75，其中有一篇论文是《任意图顶点着色色数的界》，看一看平面图是不是都是可以同化为顶点数小于等于4 的K4团的。
㈢ 请注意，82615471在说明的后面的括号里专门指出了：“（注意——四色问题本身就是一个着色问题！如果不谈图的着色，如何去证明它呢？）。没错，四色问题是一个着色问题，但图的种类是无穷多的，你能着色完吗，单就一个图来说，顶点也可以是无穷的，你能着色完吗。既着不完，那么四色问题还要不要证明呢。所以说，用着色的办法证明四色猜测是不可得出结论的，而只能走不着色的道路。这条道路就是研究图的顶独立集，找图的最小顶独立集数，研究图的完全同态，找图的最小完全同态的顶点数，研究以上这些参数与图的密度的关系，然后再把平面图的密度不大于4 的特点代入其中，就可以把一个对密度来说是无穷的问题转化成为一个有穷的问题，就可得到任何平面图的色数都不大于4 的结论，这就是四色猜测。猜测是正确的。
2、赫渥特的地图着色公式是可以从多阶曲面上的欧拉公式直接推导出来的，欧拉公式适用于亏格为0的平面图，那么赫渥特的地图着色公式也应该适用于亏格为0的平面图。
㈠ 赫渥特的地图着色公式是适用于亏格为0 的平面图的。
我的四篇论文中，还有一篇是《赫渥特地图着色公式的来由》，从这里你可以看一看从适应于任何亏格的多阶曲面上的欧拉公式直接推导出来的多阶曲面上的地图着色公式是不是也适用于任何亏格的图。是不是用此可以来回答你的“警钟长鸣”里的第（9）个问题“（9）用亏格 n = 0 时，Heawood 着色公式的着色值不大于 4 证明的！”呢。你在说明十种方法不能证明猜测的原因时，首先就说明的是第（9）个“警钟”。你在这里介绍了几本书，并指出了页码。但这些书中在谈到赫渥特的地图着色公式时，提前都把亏格为0排除在外了，根本就没有证明亏格为0时，公式是如何不适用的问题。只有李建中所译的书中很露骨的说，该公式“对可平面图来讲”“是无效的”，“尽管”亏格为0时“公式简化为”色数小于等于4。这种说法，几乎是在所有有关提到赫渥特的地图着色公式的书上都是这么简单的只说一两句话了事，都是事前就把亏格为0排除在外了，并没有说明为什么在亏格为0时公式是不适用的。现在我要问，这就是你找到的理论根据吗，书上怎么说，你就怎么念，你有没有头脑，你分析了没有，你想了没有，是不是真的在亏格为0 时公式就不成立呢。
李建中所译的书中提出了一个亏格大于等于1、且密度大于等于7的图的平均度小于等于该亏格下的最大完全图的顶点数减1的依据，他认为平面图的平均度不符合这一规律，好象这就是亏格为0的平面图不适用赫渥特的地图着色公式的原因。的确，亏格为0时的最大完全图K4的顶点数是4，4 减1等于3，但平面图中的确又有平均度大于3的图这种事，比如正八面体的平均度是4，正二十面体的平均度是5，二者都是大于3 的，但该两图的却又都是平面图。所以书作者就认为平面图不满足平均度小于等于某亏格下最大完全图顶点数减1的要求，从而就得出赫渥特的公式不适用于亏格为0的平面图的结论。这算什么证明嘛。
对于一个任意的图，在保正其亏格和密度同时都不发生变化的情况下，在亏格大于等于1、且密度大于等于7时，其平均度的上界随顶点数的增大是一个减函数，其上线是该亏格下的最大完全图的顶点数减1，其下极限则是6；而在亏格小于等于1、且密度小于等于6 时，其平均度的上界随顶点数的增大则是一个增函数，其上极限也是6，其下线则是图的密度值减1。由于图的最小度一定是小于等于其平均度的，对于密度小于等于6 的图，其平均度的上极限是6，但永也不可能达到6，所以其最小度也一定是小于6的，即是小于等于5 的。这就是平面图的不可避免度。的确，任何平面图中，都是不可避免的总存在着一个顶点的度是小于等于5的。请见我最近发表的论文《任意图的平均度与最小度》，网址是：
㈡ 赫渥特的地图着色公式计算出来的结果是可嵌入该亏格曲面的图的色数的界值，而不是图的顶点数。
82615471在介绍了几本书之后，又专门在括号内作了一个说明：“（注意——用 Heawood 公式计算出来的，是亏格 n 为不同值时的顶点数，但其着色数还需要再证明！）”，这话说得可就不大对劲了。不说还好一些，一说反倒说明82615471的水平的确并不高。用赫渥特的地图着色公式计算出来的值，肯定的说，是不同亏格下的图的色数，且是小于等于某个值的，怎么能说是图的顶点数呢。图的顶点数与图的色数完全是不同的两码事，且顶点数一定是大于等于色数的，怎么能把色数与顶点数混为一谈呢。只能说其中最大的色数值是等于该亏格下的最大完全图的顶点数的，因为完全图的色数就等于其顶点数。用赫渥特的地图着色公式计算出来的结果是一个界值，只是说可嵌入该亏格曲面的所有图（当然图的亏格也就与曲面的亏格是相同的了）的色数是小于等于某个数的，并不是指某个图的色数就是几。比如曲面的亏格为1时，可嵌入其上的图至少有K7、K6、K5、K3，3等，这几个图的亏格虽都是1，但其色数地不同，K7、K6、K5、K3，3的色数分别是7、6、5和2，都是小于等7的。而它们的顶点数则分别是7、6、5和6，分别是大于等于它们各自的色数的。这几个图的平均度又分别是6、5、4和3，都是小于等于亏格0为1 时用赫渥特的地图着色公式计算出来的色数值减1的，也即小于等于该亏格下的最大完全图的顶点数减1 的。这里，提醒82615471先生一声，以后再不要把图的顶点数与图的色数搞混了。
3、坎泊的思路是对的，其创造的颜色交换技术也是正确的。赫渥特的图是可以4—着色的，5—轮构形也是“可约的”。电子计算机是不会进行数学证明的。
㈠ 坎泊研究四色猜测的思路是正确的，我们现在对赫渥特图可否4—着色的研究也是必要的。
82615471的“警钟长鸣”里的第（2）个问题是“（2）用 Heawood 反例图可着 4 色证明的！”。这一点你说对了，赫渥特图只是一个“个别”的图，它不能代表“任意”的平面图，它的4—着色是不能说明四色猜测就是正确的。但一百多年来，又有谁对该图进行过4—着色的实践呢，它作为证明猜测过程中的一个最大的障碍，研究四色猜测时，首先不对它进行4—着色，还谈什么证明四色猜测呢。如果说赫渥特的图不能4—着色，当然就可以否定猜测；如果说赫渥特的图是4—可着色的，就有必要对猜测继续进行研究，看其是否是正确的。所以说，对赫渥特图进行4—着色是必要的，实践也证明了它是可以4—着色的。但他的4—着色仍然用的是坎泊的颜色交换技术，你为什么在你的“警钟长鸣”里的第（1）个问题中说“（1）用 Kempe 的证明思路进行数学证明的！”也是错误的呢。你在回复贴中说“当年，Kempe 用同一种着色方法（必须如此），证明‘非 H 图’的 V 面可着 4 色中的某一色，为可约的，但却不能同时证明多种‘类 H 图’也是可约的！尽管能用另一种着色方法，证明 Heawood 图也可着 4 色！”，那么就请你拿出“尽管能用另一种着色方法，证明 Heawood 图也可着 4 色！”的具体着色模式来，也拿出文献资料中记载的认为当年赫渥特与坎泊都能对赫渥特图进行4—着色的着色模式来。
82615471先生，你说说，现在我们研究四色问题，不首先研究赫渥特图的4—着色能行吗。但对该图即就是进行了4—着色，的确又不能说明它就等于是对猜测进行了证明。因为该图只是一个“个别”的图，不能代表任意的平面图。
什么是坎泊的思路，你在这里并没有说清楚。我认为坎泊的思路就是从平面图中总是不可避免的存在至少有一个顶点的度是小于等于5出发，对度小于等于5的顶点为中心顶点的六种构形进行一个个的排除，只要平面图的这六种不可避免构形的中心顶点，在外围顶点都着上了四种颜色的情况下，可以通过坎泊的颜色交换技术，空出已用过的一种颜色给构形的中心顶点着上，就说明该构形是“可约的”，即是4—可着色的。这就是坎泊的基本思想。
㈡ 5—轮构形是“可约的”，四色猜测是正确的。
坎泊在证明中，只对前五种构形以及第六种构形的一部分（即5—轮构形两条连通链不相交叉的情况。所谓连通链，是指该链的首尾顶点都是5—轮的轮沿顶点，该链与5—轮的中心顶点共同构成了一个圈。）进行了证明，说明四色猜测都是正确的，他就过早的下了结论说任何平面图都是可4—着色的。但11年后的赫渥特构造了赫渥特图，其中就专门设计了一个5—轮构形的两条连通链是相交叉的情况。赫渥特没有空出颜色给待着色顶点着上，而坎泊也没有对其着上已用过的四种颜色之一，因此赫渥特便轻而易举的就乘机否定了坎泊的证明，反过来又利用坎泊的颜色交换技术又证明了一个什么所谓的“五色定理”。
平面图的第六种构形——5—轮构形能不能4—可着色，是不是“可约的”，也不能说对赫渥特图进行了4—着色，就说明5—轮构形是“可约的”，还得要有一般的证明方法。请看我上面介绍的我的论文《我研究四色问题的四篇论文》，其中就有一篇文章是《5—轮构形是可约的》，也请你看后，提出意见。现在平面图的六种不可避免构形都已证明是“可约的”了，也都是4—可着色的，那么也就说明任何平面图着色时的色数是不会大于4 的，四色猜测也得到证明是正确的。
㈢ “九构形”实质上与赫渥特的图是相同的，都是一个含有5—轮构形的图，都是可以4—着色的。
82615471的“警钟长鸣”的第（3）个问题是 “（3）用 9 个‘可约不可避免构形’证明的！”。张彧典先生的九个构形实质上都是一类图，都与赫渥特所构造的图基本上是相同的，都是5—轮构形。但先生对这些图4—着色的研究是有好处的，进一步说明了赫渥特构造的那类图是能够4—着色的，也进一步说明是赫渥特错了，而不是坎泊错了。这一点，在你的“警钟长鸣”的贴子后刘福朋友的回复也是正确的，也说明是赫渥特错了而不是坎泊错了。
㈣ 计算机是不能证明猜测的。
82615471在说明的第（3）点中说：“（3）第 1，2，3 种证明方法，不能成立的原因，可见 B•韦斯特，图论导引，第204 —207页。我已在上面的㈢中回答了这三个问题，这里还要就该图论导引中的第 204—207页再说一说。在这里该书的作都仍然举出的是一个5—轮构形，该构形与赫渥特图和张彧典的九构形的关键部分都是相同的，都是有两条交叉的连通链，但书作者认为这个5—轮构形是不可4—着色的，5—轮的中心顶点不着第五种颜色是不行的。这与我们认为的5—轮构形是4—可着色的结论是格格不如的。也请82615471先生认真的对该书中的构形着一着色，看其是不是可以4—着色。
另外，该书在这里还说了所谓的阿贝尔用电子计算机证明了猜测的事，我要问82615471，你真的相信电子计算机能证明猜测吗。人不会做的事，机器肯定也是不会做的，只有人会做的事，才可以编成程序让计算机代替人去做。何况计算机还是人造的呢，它的工作还是要在人的操作之下地行的，怎么能说连人还都不会证明的四色猜测却由人制造出来的计算机给证明了呢。难道电脑比人脑还更聪明吗。要知道，没有人，也是不会有电脑的。但人会给图着色，人也可以把着色的方法编成程序，让计算机代替人去给图着色，所以说1976年阿贝尔的所谓“证明”只是对两千个图用机器代替人去进行的4—着色而已。猜测仍然没有被证明是正确还是不正确。因为两千个图仍是个别的、具体的图，而不是任意的图。
㈤ 要证明四色猜测必须要另劈溪径。
82615471在上面的这个说明的后面又用括号强调：“于是，人们才去另辟新径，见 N•Robertson 等人的文章，可点击
www.docin.com/p-90614570.html ）”。难道前面我们说的不用给任何图着色，只研究图的顶独立集，最小顶独立集数，图的完全同态，最小完全同态的顶点数与图的密度的关系，再把平面图的密度不大于4的特点代入其中，把一个无穷问题转化为一个有穷的问题，得到任何平面图着色时，的确四种颜色就够用了的方法不是“另辟”出一条了“新径”吗，难道非得要外国人“辟”出了，你们才认为是“新”的吗。完全是洋奴哲学。
    4、用平面图中5 个面不能彼此相邻或5 个顶点不能彼此相邻的结论，同样也是可以证明四色猜测是正确的。
82615471还把他认为的第（4）个不成立的证明四色问题的方法，即“（4）用平面图的5个面不能彼此相邻证明的！”留给了大家，并说“ （5） 对于第 4，10 种证明方法，不能成立的原因，可留给大家思考！”这还要大家思考吗，你还不能看出问题吗。既然“平面图的5个面不能彼此相邻”，那么就相当于平面图可以有四个以下的面彼此相邻。这已是图论里早已经很明确了的东西了。用对偶图的术语来说就是平面图中可以有四个以下的顶点彼此相邻。用四个顶点彼此相邻来说，这就是一个K4团，也是图中的最大团。由于这一原因，也就决定了任何平面图中的某个最大团K4团以外的所有顶点至少与该最大团里有一个以上的顶点不相邻，这也就说明该最大团以外的任何顶点一定都是可以同化（不相邻的顶点凝结在一起的过程叫同化）到该最大团中来的，使得图最终变成一个完全图K4。由于平面图可以同化为一个完全图K4，这我在上面的第1 个问题里已以证明了，任意平面图的色数是不大于4的。用这一方法证明四色猜测，可以参见我二○一二年九月二日在《数学中国》网上发表过的《四色猜测的一种简单证明方法》一文，网址是：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=3023&show=50，你可以去看一看。也请提出意见。
以上我大概已经回答了82615471先生的（1）、（2）、（3）、（4）、（7）、（9）六个问题，还剩了四个问题。今天是不是就先说这些，以后有机会时再说。
另外，我多次曾问到82615471先生对徐俊杰先生用三次平面图都是3—边着色的理论对四色猜测来进行证明的方法是否正确，先生为什么不表态呢，你看了那么多的书，难道没有看到过这方面的东西吗，前面十种方法你都很轻松的表态反对了，为什么被这个问题难住了呢。
8261 5471先生，我与你的讨论可是认真的，请你再不要用一两句话就否定或肯定，要说出你否定或肯定的理由来，我想你是能说出来的。如果你说不出来，也就请你不要回复。
（注：后面附有82615471先生的“警钟长鸣”及其对“警钟长鸣”的说明。）

雷  明
二○一二年十月八日于长安
附：82615471的【警钟长鸣】和后来对该贴的说明：
6月13日，8261547以【警钟长鸣】《这些证明“四色问题”的方法都不成立！》为题，提出了以下十种证明四色猜测的方法都不成立：
（1） 用 Kempe 的证明思路进行数学证明的！
（2） 用 Heawood 反例图可着 4 色证明的！
（3） 用 9 个“可约不可避免构形”证明的！
（4） 用平面图的 5 个面不能彼此相邻证明的！
（5） 用第 n + 1 点与有 n 个点的极大平面图的 3 个点相连接证明的！
（6） 用平面图的最外环的各面最多只着 3 种色证明的！
（7） 用平面图可收缩或同化为 K（4）证明的！
（8） 用极大平面图依次减少边数证明的！
（9） 用亏格 n = 0 时， Heawood 着色公式的着色值不大于 4 证明的！
（10） 用转移换色法证明的！等等！
有关人士应该认真地学习和掌握图论的有关基本知识，应该准确地（而不是想当然地）了解前人的成败之处！
对科学中已有的结论，既不能迷信一切，也不能怀疑一切！
要想否定前人的某一结抡，就要拿出过硬的科学根据来！
同时，也不能游戏科学，浪费人们大量的时间和精力！
（以上之言，在“表扬和自我表扬相结合”的年代，也许不太符合潮流啊！）
7月28日，刘舒（福）提出
我本人认识到，我应该接受【警钟长鸣】；我要向自己挑战。
请【警钟长鸣】作者举出10种之一种的反例（因为这样节省您的时间），作为让读者相信的证据，也体现您的导师风范；
我个人建议研究图论的爱好者学一学关于时间的相对论。也许有启发。
9月19日，82615471
现在，简单说明如下：
(1)  第 9 种证明方法，不能成立的原因，可见 G。沙特朗，等。图论导引。范益政，等译。人民邮电出版社，2007。第 257 - 259 页。F。哈拉里。图论。李慰萱，译。上海科学技术出版社，1980。第 156 - 158 页。B。韦斯特。图论导引（第 2 版）。李建中，等译。机械工业出版社，2006。第 213 - 214 页。可点击 http://www.docin.com/p-67959463.html（注意 ---- 用 Heawood 公式计算出来的，是亏格 n 为不同值时的顶点数，但其着色数还需要再证明！）
（2） 第 5，6 种证明方法，不能成立的原因，在于在有 n 个面的平面图 G 为 4-面可着色，而外部面着第 4 色时，与外部面相邻的面所形成的环才最多着 3 色。在与第 n+1 面相邻的 G 的 5 个面（包括外部面）已着 4 色时，无法证明第 n+1 面也可着这 4 色中的某一色！（注意 ---- 这是运用数学归纳法，证明四色问题时，不可缺少的关键一步！）
（3） 第 1，2，3 种证明方法，不能成立的原因，可见 B。韦斯特。图论导引。第 204 - 207 页。（注意 ---- 设一个面 V 有 4，5 个相邻面的构形分别为 Q，R。构形 Q 中只有“非 H 图” ( 不类似 Heawood 图的 )，而构形 R 中除有“非 H 图”外，还有多种“类 H 图”( 类似 Heawood 图的 )。当年，Kempe 用同一种着色方法( 必须如此 )，证明“非 H 图”的 V 面可着 4 色中的某一色，为可约的，但却不能同时证明多种“类 H 图”也是可约的！尽管能用另一种着色方法，证明 Heawood 图也可着 4 色！于是，人们才去另辟新径，见 N。Robertson 等人的文章，可点击  www.docin.com/p-90614570.html ）
（4） 第 7，8 种证明方法，不能成立的原因，在于 即使平面图可以同化或收缩为 K（4），但是并没有严格证明，在这一过程中各阶段所余的各顶点必着 4 色！（注意 ---- 四色问题本身就是一个着色问题！如果不谈图的着色，如何去证明它呢？）
（5） 对于第 4，10 种证明方法，不能成立的原因，可留给大家思考！
（以上看法，仅供参考，恕不再回复！ 谢谢！）
10月4 日，刘福82615471
这是警钟长鸣第（4）的原因，"即使平面图可以同化或收缩为 K（4），但是并没有严格证明，在这一过程中各阶段所余的各顶点必着 4 色！"
看来作者是经过实践了的。不过，您是不完全的实践------怎么能停下来，不做到底呢？用您使用的方法，操作到最后，就不会有余下的顶点可担忧了!
10月4 日，刘福回复82615471
回复39楼。（4）“即使平面图可以同化或收缩为 K（4），但是并没有严格证明，在这一过程中各阶段所余的各顶点必着 4 色！”看来作者是实践了的。不过这是不完全的实践----为什么一出现K（4），就停下来？还要继续操作下去，就不会有余下的顶点可担忧了。
作者的《警钟...》大部分涉及到H反例图、肯泊的证明。我预见，离开图很难沟通。为了不浪费时间，我从这里入手。
先说Heawood反例图。"H"当年指责肯普的证明：当1（r)---4(g)，交换完之后，不能接着再交换3（r)---5(y)!因此也就不能同时移去两个r.这里是有重大问题的！今天明确指出：由于“1--4”的交换，已经使“3---5”的点3、5不再分别处在两个连通片之中了----不具备肯泊交换的条件------怎么还要去交换呢！这是违背约当曲线定理。
产生“3---5”可以交换的条件是：封闭的2(b)---4(g)链，即2--7--8--4---v---2;当“1---4”交换完之后，该原先封闭的链已变成了不是封闭的了！然而肯泊在假设之中是明确写到：有联通的链2(b)---5(y)、2(b)----4(g)。肯泊的假设是很严谨的，考虑到不失一般性！否则（显见），立刻使v着上4色之一色。违背约当曲线定理，就是伪科学。百年之后的今天，图论工作者应该认识到了！要准确认识历史事件。不迷信、不忙目崇拜!