同余筛法(8)

小草

          同余筛法(8)

     根据同余筛法(7)我们虽然取得了π(x)的上下界，我们如何来提高它的准确度.
     我们来改变一下π(x^0.5)
     命π(x^0.5)=x^0.5/ln(x^0.5),g(x)=x^0.5/2
     则π(x)=x/lnx
     我们有
        10^1/ln(10^1)=4.34
        π(10^1)=4
        10^2/ln(10^2)=21.71
        π(10^2)=25
   
        10^3/ln(10^3)=144.76
        π(10^3)=168
        10^4/ln(10^4)=1085.73
        π(10^4)=1229
        10^5/ln(10^5)=8685.88
        π(10^5)=9592
        10^6/ln(10^6)=72382.24
        π(10^6)=78498
        10^7/ln(10^7)=620420.68
        π(10^7)=664579
        10^8/ln(10^8)=5428681.02
        π(10^8)=5761455
        10^9/ln(10^9)=48254942.43
        π(10^9)=50847534
     我们的准确度还能不能再提高呢？我们的回答是肯定的.
     我们对π(x)进行级数展开：π(x)=Σ1,k  ck x/(lnx)^k=jk(x),其中级数和取四舍五入的整数.我们有
      c1=1
           π(10^1)= j1(10)=4
           c1=1,c2=0,c3=3
            π(10^2)= j3(10^2)=25
          c1=1,c2=0,c3=7,c4=4
           π(10^3)= j4(10^3)=168
           c1=1,c2=1,c3=1,c4=9
           π(10^4)= j4(10^4)=1229
           c1=1,c2=1,c3=2,c4=3,c5=7
           π(10^5)= j5(10^5)=9592
           c1=1,c2=1,c3=2,c4=7,c5=6,c6=4,c7=14
           π(10^10)=  j7(10^10)=455052512
           c1=1,c2=1,c3=2,c4=6,c5=28,c6=6,c7=16,c8=12,c9=6,c10=32
            π(10^15)= j10(10^15)=29844570422669
           c1=1,c2=1,c3=2,c4=6,c5=27,c6=0,c7=16,c8=8,c9=31,c10=1,c11=35,c12=24,c13=21
           π(10^20)= j13(10^20)=2220819602560918840
           c1=1,c2=1,c3=2,c4=6,c5=26,c6=40,c7=37,c8=12,c9=6,c10=34,c11=43,c12=27,c13=15
           π(10^21)= j13(10^21)=21127269486018731928
           c1=1,c2=1,c3=2,c4=6,c5=26,c6=35,c7=12,c8=6,c9=48,c10=48,c11=44,c12=31,c13=28
           π(10^22)= j13(10^22)=201467286689315906290
我们可以取c1=1,c2=1,c3=2,c4=7
          作者施承忠 2011.4.20