|
楼主 |
发表于 2010-12-4 11:15
|
显示全部楼层
规律的Collatz树——用二进制数解读3N+1猜想
(四)美是有范围的
一个问题的解决关键在于掌握问题的规律.
3N+1猜想尽管比较复杂,人们在不断的研究中还是发现了不少规律性的东西。我们认真研究这些规律后发现,这些规律性的东西,在二进制数下往往是十分明显、直观的。人们花费大量精力发现表述它们,一个重要的原因是十进制数的结构掩盖或扭曲了自然数本身的规律。于是人们不得不借助一些新的概念、定义来描述它们。
奇偶矢量*是其中一个典型的例子。
邬家邦先生在《3N+1猜想》一书中介绍说,“在自然数与奇偶矢量集之间存在一个很漂亮的一一映射”,并用大量篇幅,介绍了前人利用奇偶矢量的概念得出的成果,以淋漓尽致地展现奇偶矢量的数学之美。
邬家邦先生还认为,“在压缩迭代下奇偶矢量的作用则完全丧失。”其实当我们应用二进制数研究该猜想时,压缩迭代的次方序列**就以另一种形式展现出“奇偶”矢量的实质内容。若将次方序列各项直接用0的个数展示出来,并将各项的第一个0改为1,然后依次排列,其结果与奇偶矢量完全一致。
例如:131的奇偶矢量为:ν={11000100011101001000}
将131换算成二进制数:10000011,这样我们可以很方便地得出其次方序列:
E(10000011)={e(10000011),e(11000101),e(100101),e(111),e(1011),e(10001),e(1101),e(101)}={1,100,100,1,1,10,11,100}
由此可得出10000011(131)的奇偶矢量为:
ν={1,1000,1000,1,1,10,100,1000}
(注意:此式中的1和0是奇偶符号,在上式中则是代表0 的个数的二进制数)
《3N+1猜想》中专门有一节介绍由奇偶矢量νk(n)求自然数n的算法。用νk(n)求二进制数n,算法更简单,且不需设中间变量,按照二进制数的计算规律直接在纸面上写即可(具体算法略)。美的的东西也只适用于一定的范围,由于二进制数的结构已经比较明显地展现了奇偶矢量的主要特性,我认为,采用二进制数时可以抛弃这一概念。
下面是《3N+1猜想》23页定理3.1的内容:
这个定理实质上是这样一些二进制数数对:
……00101 ……101101 ……0011101 ……
……00110 ……101110 ……0011110 ……
只要掌握了式(3.1)和(4.1)、(4.2)就很容易理解该定理,无须再单独列出。
此外,《3N+1猜想》一书中的定理3.3⑴、3.3(2)、3.4、3.5(可能是作者一时疏忽,书中出现了两个定理3.3, 我们暂且称先出现的为定理3.3(1),后出现的是定理3.3(2))也都可以用二进制数直接展示出来,我在科学网的文章中已做了介绍,这里就不再介绍了。
*:“奇偶矢量”——邬家邦:《3n+1猜想》11页:
设自然数n的轨迹序列为
T(n) = {C0(n),C1(n),C2(n),…Ci(n),…}={n0,n1,n2,…ni,…}
对i=0,1,2,…令
Xi(n) = 0, 当 n=0(mod2)时;
1, 当 n=1(mod2)时;
得矢量 ν(n) ={x0(n), x1(n), x2(n),…xi(n),…},
称为n的奇偶矢量;而矢量
νi(n) ={x0, x1, x2,…xi-1,…}
称为n的长为i的奇偶矢量……
**:“次方序列”——邬家邦:《3n+1猜想》108页定义8.5:“设n∈Nd,记T(n) = {C0(n), C1(n), C2(n), C3(n),……},则E(n)={e(n0),e(n1),e(n2),……}称为n的次方序列。”
|
|