【数论小题征解】三个质数之乘积是这三质数之和的11倍，求这三质数？

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三个质数之乘积是这三质数之和的11倍，求这三质数？

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/11/01 00:29pm 发表的内容：
三个质数之乘积是这三质数之和的11倍，求这三质数？

题  已知三个质数之乘积是这三质数之和的 11 倍，求这三质数。

解  设这三个质数是 x,y,z ，根据题意，有 xyz=11(x+y+z) 。
    可以看出，x,y,z 中至少有一个是 11 的倍数，由于 x,y,z 是质数，所以，11 的倍数
只能是 11 本身，也就是说，x,y,z 中至少有一个是 11 ，不妨设 z=11 ，代入上式，就有
11xy=11(x+y+11) ，约去 11 ，则有 xy=x+y+11 ，xy-x-y+1=11+1 ，即有 (x-1)(y-1)=12 。
    两个正整数 x-1 与 y-1 相乘等于 12 ，只有 3 种可能：3×4 ，2×6 ，1×12 。
    当 x-1 与 y-1 为 3 ，4 时，x=4 ，y=5 ，其中有一个不是质数，不符合题意。
    当 x-1 与 y-1 为 2 ，6 时，x=3 ，y=7 ，两个都是质数，符合题意。
    当 x-1 与 y-1 为 1 ，12 时，x=2 ，y=13 ，两个也都是质数，也符合题意。
    所以，要求的三个质数有两组解： 3 ，7 ，11  或 2 ，13 ，11 。

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