半素双筛法

柳林

半素双筛法
                    
是否有无穷多素数具有X^+1的形式？（1）它的分布是否有一定的规律？这是当今数学界的世界难题之一。世界上研究它的数学家少之又少。有人用∏x^+1 (x)__Cx^0.5logx来计算（C=1.37281364）,一亿以内得745个，实际是841个；百亿以内得5962个，实际是6656个；万亿以内得49684个，实际是54110个；百万亿以内得425861个，实际是456362个（2）。其误差比较大。
笔者用半素双筛法，计算结果的下界误差则少得多。
一亿以内得788个，误差少43个；百亿以内得6252个，误差少290个；万亿以内得53765个，误差少4081个；百万亿以内得445484个，误差少19623个。
半素双筛法就是用4x+1型素数两次去筛x^+1型自然数。由于4x+1型素数大约占全体素数的一半，又由于连筛两次，因此称为半素双筛法。
1837年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）证明：所有算术级数a+bk(ab互素,k=0,1,2,3,…)中都包含无穷多个素数。由此可知4x+1和4x+3型的素数都有无穷多。（3）
除2以外，所有素数都可写成4x+1和4x+3的形式，两种形式的素数个数在相同数值以内几乎是相等的。所以，称4x+1形式的素数为半素。
为什么用4x+1型素数去筛呢？主要不但是因为x^+1型素数（2除外）都是4x+1型素数，而且当x为偶数时，x^+1型合数的所有素因子都是4x+1型素数。
为什么要双筛呢？因为当x^+1型自然数的项数达到4X+1型素数Qn的数值时，必有两个相同的素因子Qn分布其中。
下面对此加以证明：
定理1：当x为偶数时，不但x^+1型素数都是4x+1型素数，而且X^+1型合数的所有素因子都是4x+1型素数。
证明：
设X=2K,当X为偶数,X^+1为素数时则有：（2k）^+1=4k^+1,所以，x^+1型素数都是4x+1型素数；
设a,b为偶数，当(4ab+2a+2b)= X^时，X^+1有两个素因子（2a+1）和（2b+1）；
则有：（2a+1）（2b+1）=(4ab+2a+2b)+1。恰好是X^+1。
当X^+1为有三个素因子的合数时，把前两个素因子视为一个即可。……
定理2：当连续x^+1型自然数的项数达到4x+1型素数Qn的数值时，必有两个相同的素因子Qn分布其中。而且，如果Qn第一次出现的项数为a, Qn第二次出现的项数一定是Qn-a。
证明表：
下表是100项x^+1型自然数的半素双筛过程：
项数x偶数2x4X^+1素因子Qn
125S
2417S
3637S
48655;13
510101S
6121455;29
714197S
816257S
91832513;5;5
1020401S
11224855;97
1224577S
1326677S
14287855;157
153090117;53
163210255;41
1734115713;89
18361297S
193814455;17;17
20401601S
214217655;353
2244193713;149
2346211729;73
244823055;461
2550250141;61
265227055;541
27542917S
28563137S
295833655;673
3060360113;277
316238455;769
3264409717;241
33664357S
3468462537;5;5;5
3570490113;29;13
367251855;17;61
37745477S
3876577753;109
397860855;1217
4080640137;173
418267255;5;269
42847057S
4386739713;569
448877455;1549
45908101S
469284655;1693
47948837S
4896921713;709
499896055;1921
501001000173;137
51102104055;2081
521041081729;373
531061123717;661
54108116655;2333
5511012101S
56112125455;13;193
571141299741;317
5811613457S
59118139255;5;557
6012014401S
61122148855;13;229
6212415377S
6312615877S
64128163855;29;113
6513016901S
66132174255;17;41;5
6713417957S
681361849753;349
69138190455;3809
701401960117;1153
71142201655;4033
721442073789;233
7314621317S
74148219055;13;337
7515022501S
76152231055;4621
771542371737;641
7815624337S
79158249655;4993
8016025601S
81162262455;5249
821642689713;2069
831662755717;1621
84168282255;5;1129
8517028901S
86172295855;61;97
871743027713;17;137
8817630977S
89178316855;6337
9018032401S
911823312553;5;5;5;
9218433857S
931863459729;1193
94188353455;7069
951903610113;2777
96192368655;73;101
971943763761;617
981963841741;937
99198392055;7841
1002004000113;17;181

从上表的计算可得知：
第一项有素因子5，因为5-1=4，则第四项必有素因子5.而且，以后每隔5项，必有两项有素因子5。而且它们所在位置都是5x+1或5x+4。
第二项有素因子17，因为17-2=15，则第15项必有素因子17.而且，以后每隔17项，必有两项有素因子17。而且它们所在位置都是17x+2或17x+15。
……
第99项有表内最大素因子7841，可知7841-99=7742，则第7742项必有素因子7841.而且，以后每隔7841项，必有两项有素因子7841。而且它们所在位置都是7841x+99或7841x+7742。
我们先计算第7742项的x^+1;
2*7742=15484;
15484*15484+1=239754257;
239754257/7841=30577。
可知，第7742项的x^+1有两个素因子7841和30577。
有兴趣的读者，可检验一下，在前7841项内，是否真的没有素因子7841了。
从本表中不但证明必须双筛，也可证明筛时用了全部4x+1型素因子。前100项，用了200以下的全部21个4x+1型素因子。它们是：
5；13；17；29；37；41；53；61；73；89；97；101；109；113；137；149；157；173；181；193；197。
证毕。
笔者已将10的14次方以下的10万个区间计算出来，主要结果见本文开头。
上述计算结果是下界值，即全为负误差。上界值（即全为正误差）与中间值（误差有正有负，但误差很小）的计算也有公式。
注：
（1）数学上未解的难题  ，胡作玄编著，—福州：福建科学技术出版社，2000.1
（2）博大精深的素数  ，（加拿大）P.里本伯姆著，孙淑玲，冯克勤译，—北京：科学出版社，2007
（3）数学上未解的难题  ，胡作玄编著，—福州：福建科学技术出版社，2000.1

ysr

我也是把素数分4X+1，和4X+3型的来研究的，我们都是重事实的，关键时候，数据说话，高质量的论文必然是数据，字母和文字，还有必要的图形，有机结合的，
楼主文章我觉得有道理