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发表于 2012-6-8 14:04
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[讨论]论哥猜成立的必要条件
整理了1下，请朋友们批评指导：
哥德巴赫猜想的1个必要条件
姓名：王彦会
地址；河北省井陉县井新碳素公司（原冀都碳素公司）
邮编：050300
定理1：若A除以2n+1余R，则A-a（2n+1）除以2n+1余R，
若A除以2余0，则A-2*a除以2余0，
若若A除以2n+1余0，则A-a（2n+1）除以2n+1余0，（其中A，a，n均为整数）
对偶数2A：
将偶数2A内的数字，对半分上下两排，上面是大数，则有：
A A+1 A+3 A+5，……
A A-1 A-3 A-5，……
据定理1，偶数与偶数必然相对，且相对的数字和为2A，
哥猜成立的必要条件分类讨论如下：对偶数2A
（一）当A为奇数的时候如下可证至少有一对素数的和等于2A，
分A为多因子，双因子，和本身是素数，3类情况，
1，当A能分解成较多质因数时，即A=3*5*7*……P，则可得出多对素数和对等于2A，这一点青岛那宝吉老师,湖南藤瑞雄老师有精辟论述,这里不再赘述,仅解释藤老师的论述要义,在等于偶数奇数和对形式中,要想使素数与素数对相对较多,必须使奇合数对尽量相对最多,这样的偶数正好可以做到这1点,故素数和对较多,至少1对是成立的不必定量论述,需要严格证明的是最后那1类,素数和对较少的,此类
现在我举例定性分析如下：
例：210=2*3*5*7，由于偶数总是与偶数相对，只讨论奇数对如下表，规定上一行为大数：
105，107，109，111，……
105，103，101， 99，……
共组成19对素数和对，
共53对记述对，能被3整除的奇和数对有53/3=17，剩下53-17=36对，剩下的能被5整除的有36/5=7，余下的能被7整除的有（36-7）/7=29/7=4，剩下29-4=25，在这25对中，从105至209有19个素数，故上一排有19个素数，从11至105有23个素数，故下一排还有23个素数，
上排还有4个奇合数，下排还有2个奇合数（包括1），
下排所剩素数，减去另一排所剩奇合数等于19，上排所剩素数，减去另一排所剩奇合数等于17，故无论怎么排至少17对素数对，实际19对为最好结果。
由于上下排数字105相对，含有因数3，所以凡3的倍数包括3都上下相对，含因数5和7的也一样，大量消耗了合数，剩下的素数多了。
当P为无穷大时，由于A^(1/2)-P^(1/2)>>1,(2A)^(1/2)-A^(1/2)=0.4A^(1/2)>>1,故P和A之间，A和2A之间，横跨多个杰波幅猜想区间，每个杰波幅猜想区间不止两个素数，会有好多素数，所以素数个数不是问题，关键是素数和奇合数的比例要反转，在素数分布较疏的区间，及整个自然数中，奇合数个数大于素数个数，但上述区间能被357……P整除的合数被抵消，由于P巨大，故其中合数几乎被消灭殆尽，所剩无几，故至少一对素数对不难成立，且素数对很多。
2，当A为素数时，由于本身相加得2A，则至少一对素数对无须证明。如：
（107） （109） 111 （113） ……
（107） 105 （103）（101）…… 共7对素数对。
3，当A=（2n+1）（2a+1），且2n+1，2a+1均为素数时，分类讨论如下；
当n=a时，（当A=(2n+1)^m时,证法上也属于这1类),（2n+1）^2=4n^2+4n+1,则(2n+1)^2+1=4n^2+4n+2,所以(A+1)/2=2n^2+2n+1,(2n^2+2n+1)/(2n+1)=n(取整数部分),故随着n值增大，奇合数对增多，但不一定能使素数和合数比例反转，此时若A不能被3整除，则与3对应的必为A除以3的一次同余系，其中有素数但最多只有一个可能与3对应，若与3对应的是合数，则至少还有一个合数与3的倍数（如9）对应，且是A除以3的一次同余系，与57……对应的亦如此，故下排一个素数至少抵消上排2个合数，上排总是比下排多消耗1倍的合数，这样下去……，设Pi为下一排最大素数，则2Pi<2A,1<A/Pi<2,设L=i+1,当试到Pi时，上排早已没有合数，不会再有奇合数，下排至少还剩一个素数，故此时素数对至少一对成立。
当a=n+2,4,6,8……时，则A/（2n+1）>n,A/(2a+1)<n,二者之和远大于n,则同理会有多对奇合数被消耗,最后实现素数和奇合数的比例反转，故此时素数对至少一对成立。
如：2*49=98
49 51……61……67……79……
49 47……37……31……19……共3对素数对。
（二）当A为偶数时有：
分A为多因子和A-1与A+1有多个公因子,A为双因子和A-1与A+1有1个公因子,A-1和A+1均为素数,也是3类(包括A=2^n,当啊A=2时,显然有2+2=4,哥猜成立,当n>1,那就看A-1的情况),这样分类没有遗漏的.
1，当A=2*3*5*7*……P,此时与奇数时相似，有较多素数对。如：2*210=420
（211） …… 223……227 229 ……239 241 ……
209 …… 197……193 191 ……181 179 ……
当A-1与A+1有多个公因子时,与A为奇数时的多因子1样.
2，A-1=（2n+1）（2a+1），且2n+1，2a+1均为素数时，此时，与A-1对应的可以是奇合数也可以是素数，但均为A+1除以2n+1或2a+1的一次同余系，当上排与之对应的为合数时，由于二者不是同一型的数，一个为4X+1型，一个为4X+3型，故无公约数，下排的素数357，11，……每一个可至少抵消上排的2个奇合数，当上排的奇合数被消耗完，下排至少还剩一个素数与上排的组成对，故至少一对素数和对仍成立。当A-1与A+1没有公因子也属于这1情况,相当于,A为奇数时的双因子情况中,因子2n+1的n=0,c和d为消耗了n=0个合数后的合数个数,所以同样可证此时哥猜成立.
当A为双因子和A-1与A+1有1个公因子,与A为奇数时的双因子情况1样,哥猜成立
3，当A-1，与A+1为素数时，如下表所示，至少一对素数对无须证明。
A A+1 A+3 A+5，……
A A-1 A-3 A-5，……
综上所述，哥猜的必要条件成立，哥猜是对的。
关键：实现素数和奇合数的比例反转，
素数和对较少的是:
3，当A=（2n+1）（2a+1），且2n+1，2a+1均为素数时，分类讨论如下；
当n=a时，（2n+1）^2=4n^2+4n+1,则(2n+1)^2+1=4n^2+4n+2,所以(A+1)/2=2n^2+2n+1,(2n^2+2n+1)/(2n+1)=n(取整数部分),故随着n值增大，奇合数对增多，但不一定能使素数和合数比例反转，此时若A不能被3整除，则与3对应的必为A除以3的一次同余系，其中有素数但最多只有一个可能与3对应，若与3对应的是合数，则至少还有一个合数与3的倍数（如9）对应，且是A除以3的一次同余系，与57……对应的亦如此，故下排一个素数至少抵消上排2个合数，设Pi为下一排最大素数，则2Pi<2A,1<A/Pi<2,
由于几何平均值小于算术平均值，故根号2A<A=2A/2,所以,2A以内的合数全部为下排素数(A以内的素数的倍数构成),
当试到Pi时，上排早已没有合数，不会再有奇合数，下排至少还剩Pi一个素数，故此时素数对至少一对成立。
当a=n+2,4,6,8……时，则A/（2n+1）>n,A/(2a+1)<n,二者之和远大于n,则同理会有多对奇合数被消耗,最后实现素数和奇合数的比例反转，故此时素数对至少一对成立。
如：2*49=98
49 51……61……67……79……
49 47……37……31……19……共3对素数对。
所以，只要证明A=(2n+1)^2，其中2n+1为素数，此时哥猜成立，则其他情况均成立。
证：设上一排（大数）的质数和合数分别为c和d，下一排（小数）分别为a和b，则有a+b=c+d，b和d设为上下两排同时抵消n个2n+1的倍数的合数后剩下的合数，由于一般的下一排的素数稠密度高于上一排，则有a>c，则a-c=b-d>0，下一排上下两排是成对抵消的，若下一排的素数抵消一部分，剩下a1个，合数剩下b1个，上一排的合数剩下d1个，上下两排总个数仍相等，则有a1+b1=c+d1，只要c>b1>d1,则哥猜成立，此不等式恒成立的证明如下；由于上下两排是同时即成对抵消的，若a1=1(即下派始终留1个素数不管他是第几个素数），b1=b-a+1=b-2a+1=b-3a+1=……，则有d1=d-2a+1=d-3a+1=d-4a+1=……，则只要不等式c>b-a+1>d-2a+1,或c>b-2a+1>d-3a+1,或……恒成立，则哥猜成立，当d减去2a，3a，4a，或……刚好 小于或等于0时，即d1刚好小于或等于0时（此时可能有质对子被减掉，但由于上下成对抵消，下排始终有一素数，不会影响结果），b1必不为0且大于0，则不等式c>b1>d1恒成立，故哥猜成立，举例验证如下：
2*17^2=2*289=578,则有
289 291 293 ……577
289 287 285……1
上一排有45个素数，下一排有60个素数，抵消了8个17的奇数倍的合数，则a=60，c=45，b=145-60-8=77，d=145-45-8=92，a1=b-a+1=77-60+1=18，d1=d-2a+1=92-2*60+1=-27<0，c=45>18=a1，c-18=45-18=27，故至少有一对素数对是成立的，哥猜恒成立。
综合上述再论证如下（下面是证明，当上排合数刚好消耗完，上排剩下的全是素数,实现了比例反转）：设上一排（大数）的质数和合数分别为c和d，下一排（小数）分别为a和b，则有a+b=c+d，b和d设为上下两排同时抵消n个2n+1的倍数的合数后剩下的合数，由于一般的下一排的素数稠密度高于上一排，则有a>c，则a-c=b-d>0，下一排上下两排是成对抵消的，若下一排的素数抵消一部分，剩下a1个，合数剩下b1个，上一排的合数剩下d1个，上下两排总个数仍相等，则有a1+b1=c+d1，只要c>b1>d1,则哥猜成立，此不等式恒成立的证明如下；由于上下两排是同时即成对抵消的，若a1=1(即下派始终留1个素数不管他是第几个素数），b1=b-a+1=b-2a+1=b-3a+1=……，则有d1=d-2a+1=d-3a+1=d-4a+1=……，则只要不等式c>b-a+1>d-2a+1,或c>b-2a+1>d-3a+1,或……恒成立，则哥猜成立，当d减去2a，3a，4a，或……刚好 小于或等于0时，即d1刚好小于或等于0时（此时可能有质对子被减掉，但由于上下成对抵消，下排始终有一素数，不会影响结果），
设a-c=e,则c=a-e,b=d-e,设d1=d-xa+1=0其中x可为小数,则b1=b-(x-1)a+1=d-e-(x-1)a+1=d-e-xa+a+1,由于c=a-e>0恒成立,故a>e,所以,b1=d-xa+1-e+a>d1恒成立,
故哥猜成立.所以，哥猜成立的1个必要条件就是，随着自然数的增大，素数分布越来越稀疏，使上排的素数少于下排。
当然，前提条件是素数是无穷多的，这个已被证明了。
这种把某偶数以内的整数分上下两排，和正好为某偶数的证法，我最早见于河北姚兴志老师发在《数学中国》论坛的文章，这里发展了他们的理论！
如果我的能发表，请写下：感谢姚兴志老师，青岛那宝吉老师,湖南藤瑞雄老师！也感谢数学中国的其他老师的关怀帮助和指导！ |
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发表于 2012-11-7 16:36