li↓λ(x)函数与筛法

小草

             li↓λ(x)函数与筛法
    表li↓λ(x)=∫1/(lnx)^λ|(3,x)
    因为li↓0(x)=x-2,从p1p2p3...pk中筛去所有p1,p2,p3,...,pk的合数及p1,p2,p3,...,pk的数的个数就是φ(p1p2p3...pk)=li↓0+|λ1|(p1p2p3...pk),再筛去p>pk的所有合数且加上p1,p2,p3,...,pk再减去整数1的数的个数就是π(x)=li↓0+|λ1|+|λ2|(p1p2p3...pk).我们有
           li↓0(6)=4
           φ（6）=2=li↓0+1.0789...(6)
           π(6)=3=li↓0+1.0789...-1.0789...(6)=li↓0(6)-1
           li↓0(30)=28
           φ（30)=8=li↓0+1.3577...(30)
           π(30)=10=li↓0+1.3577...-0.2626...(30)=li↓1.0951...(30)
           li↓0(210)=208
           φ（210)=48=li↓0+1.0282...(210)
           π(210)=46=li↓0+1.0282...+0.031...(210)=li↓1.0592...(210)
         
           li↓0(2310)=2308
           φ（2310)=480=li↓0+0.8346...(2310)
           π(2310)=342=li↓0+0.8346...+0.18057...(2310)=li↓1.01557...(2310)
           li↓0(30030)=30028
           φ（30030)=5760=li↓0+0.74456...(30030)
           π(30030)=3248=li↓0+0.74456...+0.25956...(30030)=li↓1.00412...(30030)
           φ(510510)=92160=li↓0.687576...(510510)
           φ(9699690)=1658880=li↓0.6517263(9699690)
           φ(223092870)=36495360=li↓0.6242899(223092870)
           φ(6469693230)=1021870080=li↓0.601067552(6469693230)
           φ(200560490130)=30656102400=li↓0.58359310743(200560490130)
           φ(7420738134810)=1103619686400=li↓0.568247018629(7420738134810)
           
     我们可以看到λ1在不断的减少，但λ2且在不断的增加，其结果是λ1+λ2=1+ε，而ε在不断的减少，使limλ1+λ2=1 （x→∞）.
     所以我们只要有 φ（p1p2p3...pk)<π(p1p2p3...pk)而φ(p1p2p3...pk)=li↓λ0(p1p2p3...pk),那么就永有π(p1p2p3...pk+m)>li↓λ0(p1p2p3...pk+m),
m→∞.我们有φ（6）=2=li↓1.0789...(6)<π(6)=3,所以就有limπ(p1p2p3...pk+m)>li↓1.0789(p1p2p3...pk+m)， m→∞.
           
     从φ(p1p2p3...pk）中筛去a≡pi-2(modpi),2≤i≤k的数的数的个数表φ2(p1p2p3...pk)=(p2-2)(p3-2)...(pk-2)=li↓|λ3|(p1p2p3...pk),再筛去p>pk的所有 a≡pi-2(modpi),p≤(p1p2p3...pk)^0.5的数的数的个数就是所有孪生素数，其对数用T(p1p2p3...pk)表示=li↓|λ3|+|λ4|(p1p2p3...pk).我们有   
            φ2(30)=3=li↓2.6289(30)
            T(30)=4=li↓2.6289-0.3972(30)=li↓2.2317(30)
            φ2(210)=15=li↓1.9077(210)
            T(210)=15=li↓1.9077+0(210)=li↓1.9077(210)
            φ2(2310))=135=li↓1.5237(2310)
            T(2310)=69=li↓1.5237+0.3734(2310)=li↓1.8971(2310)
            φ2(30030)=1485=li↓1.36001(30030)
            T(30030)=468=li↓1.36001+0.52869(30030)=li↓1.8887(30030)
            φ2(510510)=22275=li↓1.259449(510510)
            φ2(9699690)=378675=li↓1.197609(9699690)
            φ2(223092870)=7952175=li↓1.1501209(223092870)
            φ2(6469693230)=214708725=li↓1.109421225(6469693230)
            φ2(200560490130)=6226553025=li↓1.0790138065(200560490130)
            φ2(7420738134810)=217929355875=li↓1.052062153863(7420738134810)
      我们可以看到λ3在不断的减少,但λ4且在不断的增加，它们的和且始终保持在一个不大于h<2.6289的常数内.
      同π(p1p2p3...pk）一样只要有 φ2（p1p2p3...pk)<π(p1p2p3...pk)而φ2（p1p2p3...pk)=li↓λ0(p1p2p3...pk),那么就永有T(p1p2p3...pk+m)            >li↓λ0(p1p2p3...pk+m), m→∞.我们有φ2(30)=3=li↓2.6289(30)< T(30)=4，所以就有limT(p1p2p3...pk+m)>li↓2.6289(p1p2p3...pk)， m→∞.

            30中λ3/λ1=2.8649/1.3577=2.110112691
            210中λ3/λ1=1.9334/1.0368=1.864776235
            2310中λ3/λ1=1.5257/0.8352=1.826748084
            30030中λ3/λ1=1.36016/0.7446=1.826698899
            510510中λ3/λ1=1.259449/0.687576=1.831723329
            9699690中λ3/λ1=1.197609/0.6517263=1.837595015
            223092870中λ3/λ1=1.1501209/0.6242899=1.842286571
            6469693230中λ3/λ1=1.109421225/0.601067552=1.845751316
            200560490130中λ3/λ1=1.0790138065/0.58359310743=1.848914583
            30中λ4/（λ1+λ2）=2.2317/1.0951=2.037896083
            210中λ4/（λ1+λ2）=1.9334/1.0592=1.825339879
            2310中λ4/(λ1+λ2)=1.9009/1.01557=1.871756747
            30030中λ4/(λ1+λ2)=1.8892/1.00412=1.881448432
      我们可以看到λ3/λ1和λ4/(λ1+λ2)当x>30时都保持在一个不大于h<2.8649的常数内.
            
           π(10)=4=li↓1...(10)
           T(10)=2=li↓1...+1.367...(10)=li↓2.367...(10)
           π(10^2)=25=li↓1.08...(10^2)
           T(10^2)=8=li↓1.08...+1.0292...(10^2)=li↓2.1092...(10^2)
           π(10^3)=168=li↓1.02...(10^3)
           T(10^3)=35=li↓1.02...+0.9509...(10^3)=li↓1.9709...(10^3)
           π(10^4)=1229=li↓1.005...(10^4)
           T(10^4)=205=li↓1.005...+0.87498...(10^4)=li↓1.8799...(10^4)
           π(10^5)=9592=li↓1.0015...(10^5)
           T(10^5)=1224=li↓1.0015...+0.88727...(10^5)=li↓1.8887...(10^5)
           π(10^6)=78498=li↓1.00063...(10^6)
           T(10^6)=8169=li↓1.00063...+0.89307...(10^6)=li↓1.8937...(10^6)
           π(10^7)=664579=li↓1.000187...(10^7)
           T(10^7)=58980=li↓1.000187...+0.895493...(10^7)=li↓1.89568...(10^7)
           π(10^8)=5761455=li↓1.0000457...(10^8)
           T(10^8)=440312=li↓1.0000457...+0.9023943...(10^8)=li↓1.90244...(10^8)
           π(10^9)=50847534=li↓1.00001121...(10^9)
           T(10^9)=3424506=li↓1.00001121...+0.90662779...(10^9)=li↓1.906639...(10^9)
           π(10^10)=455052512=li↓1.000002205...(10^10)
           T(10^10)=27412679=li↓1.000002205...+0.909940295...(10)=li↓1.9099425...(10^10)
           π(10^11)=4118054813=li↓1.0000008822...(10^11)
           T(10^11)=224376048=li↓1.0000008822...+0.9127905678...(10^11)=li↓1.91279145...(10^11)
           π(10^12)=37607912018=li↓1.00000031019...(10^12)
           T(10^12)=1870585220=li↓1.00000031019...+0.91522620581...(10^12)=li↓1.915226516...(10^12)
           π(10^13)=346065536839=li↓1.000000093629...(10^13)
           T(10^13)=15834664872=li↓1.000000093629...+0.917337251271...(10^13)=li↓1.9173373449...(10^13)
           π(10^14)=3204941750802=li↓1.000000028562...(10^14)
           T(10^14)=135780321665=li↓1.000000028562...+0.919191488178...(10^14)=li↓1.91919151674...(10^14)
           π(10^15)=29844570422669=li↓1.0000000100448...(10^15)
           T(10^15)=1177209242304=li↓1.0000000100448...+0.9208380876142...(10^15)=li↓1.920838097659...(10^15)
可知λ1+λ2+λ4还在不断的增大，不过λ1+λ2+λ4是一个小于1.978905066的常数已是不争的事实.

             作者施承忠     2009.12.6