同余王国的数学奇观系列(本系列文章仅限于《数学中国》发表，不允许转载等！)

yishaomin

同余王国的数学奇观系列
（数模47）
（一）
通过计算得知：
223-1≡0     323-1≡0    423-1≡0     623-1≡0
723-1≡0     823-1≡0    923-1≡0     1223-1≡0
1423-1≡0    1623-1≡0   1723-1≡0    1823-1≡0
2123-1≡0    2423-1≡0   2523-1≡0    2723-1≡0
2823-1≡0    3223-1≡0    3423-1≡0    3623-1≡0
3723-1≡0    4223-1≡0    （mod47）；
这种同余式，指数可以按比例放大，记为：X23k-1≡0  （mod47）；
设底数x=17, 指数23K，K=1999，则得：
1745977-1≡0   （mod47）；
如底数X=2, 指数23K=23*8191，
则得   2188393-1≡0  （mod47）；
底数也是可以变化的，例如：
376803188393-1≡0  （mod47）；
376803=8191*46+17
（二）
通过计算，我们还得知：
当x=5. 10. 11. 13. 15. 19. 20. 22. 23. 26. 29. 30. 31. 33. 35. 38. 39. 40. 41. 43. 44. 45时，我们得到的同余式为：
X23+1≡0  X46-1≡0  （mod47）；
可以写成指数和式：
X46K+23+1≡0  （mod47）；
X46K-1≡0     （mod47）；
当底数x=10时，指数46K+23=23. 69. 115. 161. 207……
我们可得到如下同余式：
1069+1≡0   10115+1≡0   10161+1≡0   10207+1≡0  （mod47）；
当X=20. 30. 40.  （X<47）；
我们还可以得到：
2069+1≡0    20115+1≡0    20167+1≡0   20207+1≡0
3069+1≡0    30115+1≡0    30167+1≡0   30207+1≡0
4069+1≡0    40115+1≡0    40167+1≡0   40207+1≡0   （mod47）；
……
掌握了要领，你可以千变万化，编造出许多可整除的同余式，布置一个“同余迷魂阵”，非常有趣，并在各个领域中如《通信密码学》的数学原理中有实际的应用价值。
（三）
计算方法介绍：
费马小定理：如P是素数，则2P-1-1 一定能被P整除。
用同余式改写成：
Xp-1≡1    或Xp-1-1≡0   （modp）；
符号≡1 读作余数为1；
符号≡0 读作余数为0；
Modp    读作数模P；
数模47（mod47），根据费马小定理，我们不须计算，可以直接写出同余式：
X47-1-1≡0   （mod47）；
即X46-1≡0   （mod47）；
但是根据经验，我们还可以找到P-1/2的整除式，47=2*23+1，
即47-1/2=23，于是我们开始用“余数运算法”进行计算，如：
2  25≡32， 210≡37， 220≡6，  223≡1，
45   452≡4， 453≡39， 455≡15  4510≡37， 4520≡6， 4523≡-1；
计算方法说明[1]
○125≡32，对于数模47，视同25的余数为32；
○2210，以322=1024-47n≡37;
在电子计算器上连续减n个47，得到余数37；
○3220 以372=1369-47n≡6,
○4223 以6*23=48-47≡1；
计算方法[2]
○1452=2025-47n≡4;
○2453=4*45-47n≡39;
○3455=39*4-47n≡15;
○44510=152-47n≡37;
○54520=372-47n≡6;
○64523=6*39-47n≡-1;
(此处：220*23≡6*39-47n≡-1);
于是，我们得到两个同余式：
X23-1≡0；4523+1≡0  （mod47）；
这种数模，可以写成“指数和式”，并用系数K，表示具有“放大”功能，即：
223K-1≡0，  4546K+23+1≡0，（mod47）；
底数2，指数=23. 46. 69. 92. 115. ……
底数45，指数=23. 69. 115. 161. 207. ….
通过“配对”计算：2-45；3-44；4-43；5-42；…..逐一计算，我们将可得到前面（一）、（二）的结果。
（四）
这些都是数字计算的结果，它真实可靠，却隐藏着很深的数学“秘密”。如果把它们化成某种“数学命题”或“猜想”，用抽象的数学方法一定很难证明。此文供大家欣赏和研究，有兴趣的朋友，不妨到同余王国一游。
我们提倡的数学是“通俗数学”或“计算数学”。有人曾经讲过：“数学向两极化方向发展”的问题。所谓“两极”，一极是使楼层增高的数学——楼层数学；另一极是使基础加固的数学——基础数学。
20世纪，“楼层数学”得到空前、快速的发展，它已经建立起第118层高楼；但是基础数学却欠发展，有待引起人们的重视。
同余王国，数学内容非常丰富。这里只能举出一个“数模47（mod47）”的例子，供大家欣赏。笔者向关心我国基础数学发展的公众致谢。再见！
（&not;——本文仅献给我国数学爱好者、通信密码学者和计算机编程人员参考！）
数论研究者 易衍文
2009-09-26于重庆市万州

yishaomin

广大数论研究者同志们：请振作起来，您们一定会大有用武之地！刻苦钻研，勇于探索，数论研究在诸如《通信密码学》的数学原理，《计算机编程》等实际应用上非常深远，有重要价值！眼下我们在卫星通信的编码、解码与破译通信密码等方面，在新的数学原理与方法上已经落后于美国了！我们和人民解放军一道：一定要有深切的危机感、紧迫感和责任感！让数学为祖国建设服务！易衍文敬上。
祝同志们、全国的数学老师们节日愉快！万事如意！

yishaomin

建议管理员老师考虑：像《数学爱好者论坛》一样，在《发贴栏》加入《数学公式编辑器》等相关功能！因为发觉每次文中的“指数”（还有一些数学公式）等没有正常显现！容易给人们造成错觉或看不懂！有点唐突！请多包涵！衷心感谢！
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“百花齐放，百家争鸣！”发展通俗数学或曰基础数学、计算数学等等，这才是我们的根本宗旨！让数学走进千家万户，为社会普通公众所了解，所接受！这是陈省身大师身前说的。祝老师们：国庆节愉快！易衍文  于重庆市万州。