谈谈用“勾股定理”正整数解不能证明费马猜想的原因 王德忱

wangdechenn

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          谈谈用“勾股定理”正整数解不能证明费马猜想的原因
                       王德忱
    有人企图利用“勾股定理”正整数解或其公式“勾股弦数”证明费马猜想，都是不可能实现自己激动心愿的。误认为(2ab)^n +（a^2 - b^2)^n = (a^2 + b^2)^n没有正整数解，或者(2ab)^2n +（a^2 - b^2)^2n = (a^2 + b^2)^2n没有正整数解。“勾股定理”的正整数解公式“勾股弦数”有一个重要特点：
        x^2 + y^2 = z^2
其中x、y一个必为偶数另一个为奇数，z必为奇数。由此决定了用“勾股定理”的整数公式“勾股弦数”必使
        x^n + y^n = z^n
相同x、y一个为偶数另一个为奇数，z为奇数。然而，n为奇数时存在x、y两数为奇数z为偶数使x^n + y^n = z^n等式成立的条件。
     证明：设x、y为奇数，z为偶数：
        x = 2h – 1，y = 2d – 1，z = 2f
有
        （2h – 1)^n + (2d – 1)^n = (2f)^n
因为n为奇数，展开上式（系数组合用C1，C2，…，C（n-1）表示）：
    2^nh^n– C1 2^(n-1)h^(n-1) +…–C（n-2）2^2h^2 +C（n-1）2h – 1 +
       2^nd^n –C1 2^(n-1)d^(n-1) +…–C（n-2）2^2d^2+C（n-1）2d – 1 = 2^nf^n
整理
    2^(n-1) [h^n+d^n]-C1 2^(n-2)[h^(n-1)+d^(n-1)] +…–C（n-2）2[h^2+d^2]
                 + C（n-1）[h +d]–1 = 2^(n-1)f^n  ……… [F（h，d）式]
因为n ≥ 3，所以[F（h，d）式]右边一定是偶数，左边“2^(n-1) [h^n +d^n] – C1 2^(n-2)[h^(n-1) + d^(n-1) ] +…–C（n-2）2[h^2+d^2]”也一定是偶数，那么所余项
        C（n-1）[h +d] – 1
是什么样的数呢？显然C（n-1）= n是奇数。因为h、d取什么正整数x、y均为奇数，如果h、d同时取偶数或同时取奇数使
        C（n-1）[h +d] – 1
均为奇数，则[F（h，d）式]左边为奇数，右边为偶数，不能为等式；如果h、d一个取偶数另一个取奇数使
        C（n-1）[h +d] – 1
为偶数，则[F（h，d）式]左边为偶数，右边为偶数，从这一关系上等式存在可能成立的条件。至于h、d的取值与f的关系使[F（h，d）式]是否为等式成立这正是要证明的正整数解的问题。
     所以，当n为奇数时存在x、y两数为奇数z为偶数使x^n + y^n = z^n等式可能成立的结果。而用“勾股定理”的正整数解公式“勾股弦数”只能使x、y两数为一奇一偶的部分条件，根本不能证明费马猜想。