[原创]反向思维用集论方法研究哥德巴赫猜想的要点

雷明85639720

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反向思维用集论方法
研究哥德巴赫猜想的要点
雷  明
（二○○九年八月七日）
看了moranhuishou先生的贴子和童信平先生关于评论哥德巴赫猜想证明的文章后，颇有同感，我也早就有这种感觉，“m＋n”与“1＋1”完全就是两回事，无论是“9＋9”还是“1＋2”都与哥猜测（“1＋1”）毫不相干。由于自然数、偶数、素数都是可数的集合，所以我早就萌发了走集合论道路证明哥猜的想法。我也曾将我用集合论的方法证明哥猜的论文摘要的在2006年8月9日到11日在宁夏召开的“数学三会”（ 第五届全国现代科学计算研讨会、第二届西部地区计算数学年会暨首届海内外华人青年学者计算数学交流会的简称）上作了学术论文报告，与专家们交换了意见，也曾在该网上发表过多次关于用集合论证明哥猜的文章。现在我在这里再次将该想法的主要思想与大家交流如下。
哥猜说的是任何大于等于4的偶数都是两个素数的和。过去的证明都是在想法把一个偶数写成两个素数的和，可由于偶数是一个无穷集合，永远也不可能写完，所以也就无法证明猜想正确与否。那么，“一个偶数是两个素数的和”，这句话反过来就是“两个素数的和是一个偶数”，我们能不能反向来进行思维，证明任意的两个素数的和是不是能得到所有的偶数构成的集合。我想是可以的。
偶数4是由唯一的偶素数2自身相加的结果，除去4那么就可以说“任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和”，这是没有问题的。
现在我们把奇素数集合中的任何一个奇素数都和别的所有奇素数都相加一次，包括该奇素数自身相加的一次在内，一共可以得到可数个可数集合，这些可数集合的并集仍是可数集合。由于这个并集是可数集合，那么它就与自然数集合等势，其势都是α。这也是没有问题的。这个并集中的元素全都是偶数，并且都是大于等于6的，而且有无数多个元素。这也是没有问题的。
现在的问题是要证明这个并集是不是就是所有大于等于6的偶数的集合。若是，猜想正确，否则则不正确。
我的证明方法是这样的：
已知自然数集合，所有大于等于6的偶数集合，以及上面得到的那个并集，都是可数集合，都有相同的势α。证明两集合是否为同一个集合或两集合相等。
设A是上面得到的那个并集，B是所有大于等于6的偶数的集合，根据已知条件有A～B～N，N是自然数集合。根据已知条件可以确定A中的元一定都属于B，A一定是B的子集合，即有B包含A。
（1）采用A与B中的元素相互配对的证明的方法（反证法）：
假如A中没有完全包含所有大于等于6的偶数，则把A和B中相同数值的元素进行配对时，B中就必然就有剩余下来的元素，A与B就不可能等势，这与上面所得到的A～B是矛盾的，应该否定假设，A中应该是包含了所有大于等于6的偶数。
（2）采用A中元素排队的办法证明的方法（反证法）：
根据定理：集合X为可数集合的充分与必要条件是可以把X的元素按一定的法则f连续的编号为：
X＝｛x1，x2，……xn，……｝。
这就使集合X中的元素与自然数集合N中的元素有了一一对应的关系。既然上面得到的并集A是可数集合，那么它一定也能够按某一法则f把其中的元素进行编号，与自然数集合N建立一一对应的关系。
如果上面得到的那个并集A就是所有大于等于6的偶数集合，即A＝B，则这个法则f就是
        f：    an＝f（n）＝4＋2n   （n≥1，n是自然数）
如果A 不是所有大于等于6的偶数的集合，则其中必然至少会缺少某一个大于等于6的偶数。如果A中的元素在排队中，在第n项后缺少一个偶数an＋1（＝4＋2（n＋1）），这时，集合A与自然数集合的一一对应关系f将分成两个：即
    f1：    an＝f（n）＝4＋2n   （1≤n＜n＋1，n是自然数）
    f2：    an＝f（n）＝6＋2n   （n≥n＋1，n是自然数）
这时集合A也就被分成了两个子集合A1和A2，A1与自然数集合的一一对应关系是f1，A2与自然数集合的一一对应关系是f2。子集合A1与自然数集合的一一对应关系f1，显然和所有大于等于6的偶数集合B与自然数集合N的对应关系是一模一样的，都是f：an＝f（n）＝4＋2n（1≤1，n是自然数），至少可以说A的子集合A1与B也是等势的，或者说A1＝B，或者说A1和B就是同一个集合，那么A1也是一个可数集合，其中包括了所有大于等于6的偶数；因为A中的元素都是大于等于6的偶数，所以A的子集合A1就是集合A本身（任意集合都是它自身的子集合），而A的另一个子集合A2则是一个空集Φ（空集合是任意集合的子集合）；这就说明了集合A中的元素包括了所有大于等于6的偶数。这与上面的假设“如果A 不是所有大于等于6的偶数的集合，则其中必然至少会缺少某一个大于等于6的偶数”就产生了矛盾，应否定假设。到此也就证明了不但A与B的元素个数相同，即A与B的元素一样多，也说明了B中的元素也一定都是属于A的，即A也包含B，也即B是A的子集合。
我们知道两个集合相等或是同一个集合的充分必要条件是两个集合互相包含，或互为子集合，所以就可以说A与B是同一个集合，或A＝B。这就证明了集合A也是所有大于等于6的偶数的集合。所以说所有的素数两两相加（包括自身相加的一次在内）的结果，得到的是所有大于等于6的偶数的集合。
这时再加上4是唯一的偶素数2自身的和，就得到“任何大于等于4的偶数都是两个素数的和”的结论。这就是哥德巴赫猜想的第一部分。至于哥猜的第二部分，根据以上对第一部分的证明结果，用公式推导一下就可得出其也是正确的。这就证明了哥德巴赫猜想的两个部分都是正确的，即哥德巴赫猜想也是正确的。
为什么说用这样的反向思维方式证明最合适呢。因为如果给你一个偶数，你不一定就可以马上把它能写成两个素数的和，但这时你又不可能说它就是两个素数的和，因为你现在还没有证明这个结论对不对。但如果给你两个素数，只要不是一奇一偶，你都可以直接说出他们的和一定是一个偶数，因为偶数加偶数仍是一个偶数，两个奇数的和也一定还是一个偶数。而这个结果道底是那个偶数，我们算一下就可以出来了。但前一个方法，很可能很长时间都不可能找到某两个素数相加就是所给的那个偶数。即就是你算出来了，也只是个别的，还不能说所有的偶数都可以这样做。
我也不懂什么“筛法”和“园法”，还有其他方法。你这个“筛子”要做多大才能把所有素数都“筛”出来呢，不可能的事嘛。所以我不主张用“筛法”和“园法”对哥猜进行证明，可它们可能在数论研究中有一定的作用，是一种好方法，但对证明哥猜是无用的。所以我早在一首七律中已表达了这一思想。这首七律如下：
创　　　新
——研究“1+1”有感而作
（ 一九九三年三月 ）
论证四色铭教训，欲攻难题须创新。
前世德人早猜想，当代陈氏还差一。
吾弃筛圆选数集，只寻对应求等势。
先辈经验虽应取，自拓异径更有益。
我就是在感到研究四色问题用着色法永远也不可能使四色猜测得到证明，而走上了用图论方法研究四色问题的。所以也就想到哥猜研究的对象不也就是一个无穷集合吗，这才大胆的用集论方法尝试研究对哥德巴赫猜想了。
写这首诗时，我还没有认识到“m＋n”与“1＋1”的本质区别，所以用了一句“当代陈氏还差一”，这与现在的认识还有一定的距离。
我认为自已走集合论方法证明哥猜是正确的，可以得到任何大不动声色等于4的偶数都是两面个素数的和和结论。所以接着又作一首七律：
数　　　律
——研究“1+1”有感之二
（ 一九九三年三月 ）
序数相间分偶奇，无因为素从2起。
自古虽猜其有规，至今未证总是谜。
中年改道攻难题，弃旧创新破处女。
两素之和位排双，三素必单毋置疑。
各位网友，我在上面关于对集合A＝B的证明，我总感到是不是还有些问题，心里总是不踏实，请网友们着模着模。可以在网上进行计论。

雷  明
二○○九年八月七日于长安