四色定理的拓扑证明

朱明君

四色定理的拓扑证明
四色定理证明的关键可以归纳为二维平面内两条直线相交的问题。1.将地图上不同的区域用不同的点来表示。2.点与点之间的连线用来表示地图上两区域之间的相邻逻辑关系，所以，线与线之间不可交叉（即不可存在交叉而没有公共交点的情况），否则就超越了二维平面，而这种平面暂时称它为逻辑平面，它只反应区域之间的关系，并不反应实际位置。
通过以上的变换处理，可以将对无穷尽的实际位置的讨论，变为有条理可归纳的逻辑关系的讨论，从而提供了简单书面证明的可行性。如果证明可以用一句话来说，那就是：“二维平面不存在交叉直线，只存在共点直线。

二维平面不存在交叉直线，只存在共点直线，且每一个面都是三边形，所以这要计算出二维平面图中三边形的个数，就等于证明了四色定理

证明：计算二维平面图中3边形的个数，
设：二维平面图中的点数的个数为a,其中外围点数(即X+1圈上的点数)为b，
则(a-2)+(a-b)=c

①,设C为二维平面图中的三边形个数，
a为二维平面图中点的个数，
b为二维平面图中的外围点数，即x+1圈上的点数，
则C=(a-2)+(a-b),

②,设C为二维平面图中的共点直线的条数，
a为二维平面图中点的个数，
b为二维平面图中的外围点数，即x+1圈上的点数，
则C=2a+(a-b-3),

③设C为二维平面图中的n个N一轮构形的辐线之和，即辐线条数，
a为二维平面图中点的个数，
b为二维平面图中的外围点数，即x+1圈上的点数，
d为与x+1圈上的相邻的点数，即x圈上的点数，
则C=6(a-b-1)+(b-d),




从图一开始，每增加一个点就会得到1个三边形，将图四两点连接就会得到1个闭合的圈，所以二维平面图上的面都是三边形，不存在交叉直线。


在2维平面图中除X+1圈外，圈内的每个顶点都是1个N一轮构形中的中心顶点。即在任意1张2维平面图中，都是有n个N一轮构形中的部分点边或全部点边叠加而成，所以这要我们解决N一轮构形的着色问题，就等于解决了四色问题



N一轮构形着色：偶圈为四种颜色中的任意两色，余下的两种颜色中的任意1色为中心顶点着色。大于4的偶圈可着三色，奇圈为四种颜色中的任意三色，余下的一种颜色为中心顶点着色。



图一除X+1圈外，圈内的顶点数4个，则该图一可分解为4个N一轮构形。即构形1辐线3条，构形2辐线5条，构形3辐线6条，构形4辐线5条，3+5+6+5=20条辐线，即图一可化为1个20一轮构形。这样就容易解决了四色问题。


计算图一中的三边形个数
公式：(a-2)+(a-b)=c
图一中的顶点数共计9个，
X+1圈上的顶点数计5个，
代入公式得
(9-2)+(9-5)=11个(三边形)

计算图一中的共顶直线条数
公式：2a+(a-b-3)=c
图一中的顶点数共计9个，
X+1圈上的顶点数计5个，
代入公式得
2×9+(9-5-3)=19条(共顶直线)

计算图一中的4个构形的辐线之和
公式：6(a-b-1)+(b-d)=c
图一中的顶点数共计9个，
X+1圈上的顶点数计5个，
X圈上的顶点数计3个，
代入公式得
6×(9-5-1)+(5-3)=20条(辐线)

朱明君

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