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本帖最后由 蔡家雄 于 2023-2-26 21:57 编辑
判定梅森质数的卢卡斯序列
卢卡斯级数的通项公式
Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]
L1=2,
L2=7,
L3=97,
L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607,
并且:2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。
即有:2^30*(2^31 -1) 与 2^606*(2^607 -1) 都是 完全数。
L5=708158977,
L6=1002978273411373057
=(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)
=127*7897466719774591,
已证:127 和 7897466719774591 都是素数,
已证:2^127 -1 是素数,据此 7897466719774591 是梅森素数,
即有:2^126*(2^127 -1) 是完全数,
以及:2^7897466719774590*(2^7897466719774591 -1) 是 完全数。
卢卡斯定理
设 p为>=5的奇素数,
若 L(p-1) mod (2^p -1) ≡ 0, 则 L(p-1) = (2^p -1) (2^p*q -1)
蔡家雄猜想
若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.
s = 0;
For[p = 5, p <= 100, p++,If[(PrimeQ[p]) && (PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2),
s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (4^p - 1)/3, "-----", PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2]]]
素数倒数最大循环节长定理
设 k 为非负整数,
若 30k+7 和 120k+29 都是素数,
则 1/(120k+29) 具有最大循环节长d= 120k+28.
蔡氏完全循环节问题
设 n>=3,
设 P 和 2^n*P+1 都是素数,
且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除,
若 2^n*P+1 ≡ 17或33(mod 40),
则 10 是 2^n*P+1 的原根,
则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .
设 k 为正整数,t 为非负整数,
若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)+1 都是素数,
则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)+1 的原根。
若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)+1 都是素数,
则 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)+1 的原根。
设 k 为正整数,t 为非负整数,
若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)+1 都是素数,
则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)+1 的原根。
若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)+1 都是素数,
则 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)+1 的原根。
设 k 为正整数,t 为非负整数,
若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)+1 都是素数,
则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)+1 的原根。
若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)+1 都是素数,
则 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)+1 的原根。
设 k 为正整数,t 为非负整数,
若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)+1 都是素数,
则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)+1 的原根。
若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)+1 都是素数,
则 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)+1 的原根。
梅森素数与蔡氏完全循环节问题
设 素数 p >=7,
且 (2^p -1)=30k+1 或 (2^p -1) =30k+7 也是素数,
若 (2^p -1)*16^m+1=(2^p -1)*2^(4m)+1 是素数,
则 10 是素数 (2^p -1)*16^m+1 的原根,
则 1/((2^p -1)*16^m+1) 具有最大循环节长d= (2^p -1)*16^m .
最新编程验证:
s = 0;
For[k = 0, k <= 1000000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29], s = s + 1;
Print[s, "-----", k, "-----", 30 k + 7, "-----", 120 k + 29, "-----", PowerMod[10, 60 k + 14, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]
蔡家雄猜想:
设P和2P+1都是素数,
若 (2P+1) mod 40 ≡ 7或19或23,
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。
蔡家雄猜想
设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,
使 n!+n<素数(n!+p)<n!+n^2
s = 0;
For[n = 2, n <= 1000 , n++, NextPrime[n! + n];
If[NextPrime[n! + n] < n! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[n! + n], "-----", NextPrime[n! + n] < n! + n^2]]]
一个改进了的蔡家雄猜想
设 n >=5,
在 (2n)! +2n 与 (2n)! +n^2 之间有一个素数,
即 (2n)! +2n < 素数P < (2n)! +n^2
s = 4;
For[n = 5, n <= 100, n++, NextPrime[(2 n)! +2 n];
If[NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n], "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2]]]
若 C(2*n, n) mod n^2 ≡ 2, 则 n 一定是素数。
蔡家雄猜想
设 n >= 5,
若 C(n^2, n) mod n^5 = n, 则 n 一定是素数。
编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^2, n], n^5] == n, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]
蔡家雄猜想:n>=3,
方程 a^n+n+b^n= c^n 无正整数解。
蔡家雄猜想:n>=5,
方程 a^n+nab+b^n= c^n 无正整数解。
s = 0;
For[b = 2, b <= 1000000, b++,
For[a = 1, a <= 10000, a++,
For[n = 5, n <= 10, n++,
If[IntegerQ[(a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)] && (a < b), s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", a, "-----", b, "-----", (a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)]]]]]
\(n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3\) 隐藏的特殊解公式
\(n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3\)
\(n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3\)
\((n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3\)
\((n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3\)
\((3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3\)
\((3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3\)
\((3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3\)
蔡家雄猜想:n 为正整数,
\(n^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解。
\(1^3+236^3+1207^3= (1207+3)^3\)
\(2^3+b^3+c^3= (c+3)^3\) 有正整数解,
\(3^3+18^3+24^3= (24+3)^3\)
\(4^3+17^3+22^3= (22+3)^3\)
\(5^3+7144^3+201274^3= (201274+3)^3\)
\(6^3+51^3+120^3= (120+3)^3\)
\(7^3+11066^3+388028^3= (388028+3)^3\)
蔡家雄奇数猜想:n 为奇数时,
\(n^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解。
\(1^3+b^3+c^3= (c+2)^3\) 有正整数解,
\(3^3+695^3+7479^3= (7479+2)^3\)
\(5^3+44253^3+3800479^3= (3800479+2)^3\)
定义:一对孪生素数(p, p+2r)中间的那个数字(p+r),称为广义孪中。
广义孪中比猜想:
设 r=1, 则 正整数N 均可表为两个广义孪中之比。且 解数无穷。
设 r>1, 且 r与N 互素,则 N 可以表为两个广义孪中之比。且 解数无穷。
广义孪中差猜想:
设 r与3互素,则 仅有偶数6n 可以表为两个广义孪中之差。
设 r =3k 时:则 所有偶数2n 均可表为两个广义孪中之差。
设 r =6k 时:则 特定偶数6k 均可表为两个广义孪中素数之差。
推论:两个广义孪中素数 同时+6k 与 同时 -6k 都是素数。
定义:若 15X±2 和 15X±4 是 四生素数,则称 15X 为 双中数。
奇数双中比猜想:一奇数均可表为两个双中数之比。
对称8生连续素数15X±2, 15X±4, 15X±8, 15X±16 有 无穷多组。
定义:孪生素数(p, p+2)的中项(p+1),叫:孪中数。
孪中比猜想:正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。
定义:若 15X±2 和 15X±4 是 四生素数,则称 15X 为 双中数。
双中比猜想:(2a+1)/(2b+1) 均可表为两个双中数之比。( a, b >=0 )
蔡家雄猜想:设 p为素数,
素数差(首项差2d)等比2,3 的k生素数是存在的。
素数差(首项差2d)等比h=d+1 的k生素数是存在的。
则 p+2d*(h^k - 1)/(h - 1) 均为素数。(k=1,2,3,...,k-1)
最接近某类数的四生素数
其一:最接近三角数的四生素数:x(x+1)/2±2 和 x(x+1)/2±4
其二:最接近n个连续等差奇数的乘积的四生素数
(等差2d,首奇数 r,)
其三:最接近3次方数的四生素数:x^3±2 和 x^3±4
素数p >3,最接近p次方数的四生素数:x^p±2 和 x^p±4
存在无穷个 x^2, 满足
从素数2开始,前 x^2 个连续素数的和,仍是素数!
从素数p开始,有 x^2 个连续素数的和,仍是素数!
素数方阵猜想
设 n>=2, 求 n^2 个连续素数的和 = 完全平方数,均有解。
蔡家雄猜想
设 x为任意正整数,R为奇素数,
若 p为4k*R+1型素数,且 g是素数p的原根 ,
则 p*x+g 与 p*x -g 都不是R次方数。
蔡家雄猜想
设 x为任意正整数,R为奇素数,
设 p为4k*R+1型素数,且 1<r<p-1,
若 r^(2R - 2) mod p ≠ 1,(不同余于1)
则 p*x+r 与 p*x -r 都不是R次方数。
定义:孪生素数(p, p+2)的中项(p+1),叫:孪中数。
孪中比猜想:正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。
推广:三整数连比 均可表为 三个孪中数连比。
即:a : b : c = A : B : C
—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,都是孪生素数。
推广:四整数连比 均可表为 四个孪中数连比。
即:a : b : c : d = A : B : C : D
—— 等式右边的A加减1,B加减1,C加减1,D加减1,都是孪生素数。
蔡氏8生素数猜想
8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 3p+8, 3p+10, 3p+14, 3p+16 有 无限多组 !!!
8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 5p+16, 5p+18, 5p+22, 5p+24 有 无限多组 !!!
8生素数 p, p+2, p+6, p+8, 7p+24, 7p+26, 7p+30, 7p+32 有 无限多组 !!!
蔡氏8生素数猜想
8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 有 无限多组 !
蔡氏偶数分拆
设 2n >=64,且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数,
则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。
蔡氏偶数分拆
设 2n >=280,且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -210 , p4=p1+210 都是素数,
则 2n -210=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+210=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。
蔡氏偶数分拆
2n>=2^16=(p)+(2n-p)=(p+30)+(2n-p-30)=(p+210)+(2n-p-210)=(p+2310)+(2n-p-2310) 均有解。
注:p, 2n-p, p+30, 2n-p-30, p+210, 2n-p-210, p+2310, 2n-p-2310 均为素数。
4生素数 p, p+30, p+210, p+2310 有 无穷多组,
8生素数 p, p+30, p+210, p+2310, p+30030, p+510510, p+9699690, p+223092870 有 无穷多组,
同邻距的三生素数,
且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项,
最小解:p=7, ( p, p+30, p+100 ) 与 ( 3p+130, 3p+160, 3p+230 )
最小解:p=11,( p, p+20, p+120 ) 与 ( 3p+140, 3p+160, 3p+260 )
最小解:p=13,( p, p+10, p+30 ) 与 ( 3p+40, 3p+50, 3p+70 )
最小解:p=17,( p, p+150, p+560 ) 与 ( 3p+710, 3p+860, 3p+1270 )
最小解:p=19,( p, p+40, p+180 ) 与 ( 3p+220, 3p+260, 3p+400 )
最小解:p=23,( p, p+20, p+90 ) 与 ( 3p+110, 3p+130, 3p+200 )
最小解:p=23,( p, p+30, p+260 ) 与 ( 3p+290, 3p+320, 3p+550 )
最小解:p=29,( p, p+30, p+80 ) 与 ( 3p+110, 3p+140, 3p+190 )
最小解:p=29,( p, p+30, p+110 ) 与 ( 3p+140, 3p+170, 3p+250 )
最小解:p=29,( p, p+30, p+740 ) 与 ( 3p+770, 3p+800, 3p+1510 )
最小解:p=31,( p, p+30, p+160 ) 与 ( 3p+190, 3p+220, 3p+350 )
最小解:p=31,( p, p+30, p+490 ) 与 ( 3p+520, 3p+550, 3p+1010 )
最小解:p=37,( p, p+30, p+520 ) 与 ( 3p+550, 3p+580, 3p+1070 )
最小解:p=37,( p, p+30, p+1150 ) 与 ( 3p+1180, 3p+1210, 3p+2330 )
最小解:p=41,( p, p+20, p+150 ) 与 ( 3p+170, 3p+190, 3p+320 )
最小解:p=43,( p, p+30, p+250 ) 与 ( 3p+280, 3p+310, 3p+530 )
最小解:p=47,( p, p+80, p+270 ) 与 ( 3p+350, 3p+430, 3p+620 )
最小解:p=53,( p, p+30, p+620 ) 与 ( 3p+650, 3p+680, 3p+1270 )
最小解:p=59,( p, p+30, p+350 ) 与 ( 3p+380, 3p+410, 3p+730 )
最小解:p=61,( p, p+40, p+600 ) 与 ( 3p+640, 3p+680, 3p+1240 )
最小解:p=67,( p, p+30, p+400 ) 与 ( 3p+430, 3p+460, 3p+830 )
最小解:p=71,( p, p+30, p+920 ) 与 ( 3p+950, 3p+980, 3p+1870 )
最小解:p=73,( p, p+30, p+1420 ) 与 ( 3p+1450, 3p+1480, 3p+2870 )
最小解:p=79,( p, p+30, p+280 ) 与 ( 3p+310, 3p+340, 3p+590 )
最小解:p=83,( p, p+30, p+290 ) 与 ( 3p+320, 3p+350, 3p+610 )
最小解:p=89,( p, p+60, p+2450 ) 与 ( 3p+2510, 3p+2570, 3p+4960 )
最小解:p=97,( p, p+60, p+880 ) 与 ( 3p+940, 3p+1000, 3p+1820 )
这种 同邻距的三生素数 有 无限多组 !!!
稀有的三连同邻距的三生素数,
且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项,
(222337, 222367, 222437) 与 (667141, 667171, 667241) 及 (2001553, 2001583, 2001653)
(5021, 5171, 5581) 与 (15773, 15923, 16333) 及 (48029, 48029, 48179, 48589)
猜想:罕见的四连同邻距的三生素数 存在 !!!!
若 m 为正整数,p1 , p2 均为素数,
则 42m=素数(14m+p1)+素数(14m+p2) 均有解。
蔡氏偶数分拆
大于6的两个相差6 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
大于6的两个相差12 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
大于6的两个相差18 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
大于6的两个相差24 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
大于8的两个相差30 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
.........................................................................................................
大于14的两个相差210 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
蔡氏偶数分拆
大于10的三个相差30 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
则 2m+30=素数p1+素数(30+p2) 与 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 均有解。
蔡氏偶数分拆
大于10的三个相差60 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
则 2m+60=素数p1+素数(60+p2) 与 2m+120=素数p1+素数(120+p2) 均有解。
蔡氏偶数分拆
大于10的三个相差150 的偶数分拆,可以有一个相同的素数,
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
则 2m+150=素数p1+素数(150+p2) 与 2m+300=素数p1+素数(300+p2) 均有解。
非等差的三个蔡氏偶数分拆存在
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
设 30C =300,600,2700,3600,3900,6000,7200,9000,
则 2m+30 =素数p1+素数(30+p2) 与 2m+30C =素数p1+素数(30C+p2) 均有解。
非等差的三个蔡氏偶数分拆存在
设 10 <= 2m=素数p1+素数p2,
设 60C =3300,3900,4500,6000,7200,9000,
则 2m+60 =素数p1+素数(60+p2) 与 2m+60C =素数p1+素数(60C+p2) 均有解。
设 n 为固定正整数,k 为正整数,t 为固定正奇数,
且 2n > t,及 ( n, t ) = 1 .
求证:数列2n*k+t 中的差2n素数对有无限多对,
则有无限多个k,使得 2n*k+t 与 2n*(k+1)+t 均为素数。
有无限多对四生素数 p, (p+2), (p+6), (p+8) ,
使得:p+30, (p+2)+30, (p+6)+30, (p+8)+30 也是 四生素数。
使得:p+210, (p+2)+210, (p+6)+210, (p+8)+210 也是 四生素数。
使得:p+2310, (p+2)+2310, (p+6)+2310, (p+8)+2310 也是 四生素数。
使得:p+30030, (p+2)+30030, (p+6)+30030, (p+8)+30030 也是 四生素数。
【再生差2n素数对 有 无限多组】
设 n, k 均为 固定正整数,且 n 与 k 互素,
设 p1 < p2,且 p1, p2 是 差2n素数对,
使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是 差2n素数对。
【再生差2n素数对 有 无限多组】
设 n, k 均为 固定正整数,且 n 与 k 互素,
设 p1 < p2,且 p1, p2 是 差2n素数对,
使 (p1+n)*k -n =p3 与 (p1+n)*k+n =p4 也是 差2n素数对。
及 (p1+n)*k^2 -n =p5 与 (p1+n)*k^2+n =p6 也是 差2n素数对。
【再生等差30的四生素数对 有 无限多组】
设 k 为 固定正整数,且 15 与 k 互素,
设 (p, p+30, p+60, p+90) 是 等差30的四生素数对,
使 (p+45)*k -45, (p+45)*k -15, (p+45)*k+15, (p+45)*k+45 也是 等差30的四生素数对。
例 k=4 时的两对 再生等差30的四生素数对 有 无限多组,
(397429, 397459, 397489, 397519) 与 (1589851, 1589881, 1589911, 1589941)
(2219123, 2219153, 2219183, 2219213) 与 (8876627, 8876657, 8876687, 8876717)
(3686561, 3686591, 3686621, 3686651) 与 (14746379, 14746409, 14746439, 14746469)
(4076951, 4076981, 4077011, 4077041) 与 (16307939, 16307969, 16307999, 16308029)
(4661717, 4661747, 4661777, 4661807) 与 (18647003, 18647033, 18647063, 18647093)
(4968149, 4968179, 4968209, 4968239) 与 (19872731, 19872761, 19872791, 19872821)
(5842841, 5842871, 5842901, 5842931) 与 (23371499, 23371529, 23371559, 23371589)
(7043173, 7043203, 7043233, 7043263) 与 (28172827, 28172857, 28172887, 28172917)
(8682209, 8682239, 8682269, 8682299) 与 (34728971, 34729001, 34729031, 34729061)
【再生等差2310的六生素数对 有 无限多组】
设 k 为 固定正整数,且 1155 与 k 互素,
设 (p, p+2310, p+4620, p+6930, p+9240, p+11550) 是 等差2310的六生素数对,
使 (p+5775)*k -5775, (p+5775)*k -3465, (p+5775)*k -1155, (p+5775)*k+1155, (p+5775)*k+3465, (p+5775)*k+5775 也是 等差2310的六生素数对。
例 k=13 时的两对 再生等差2310的六生素数对 有 无限多组,
有 (267857, 270167, 272477, 274787, 277097, 279407)
与 (3551441, 3553751, 3556061, 3558371, 3560681, 3562991)
有 (2517227, 2519537, 2521847, 2524157, 2526467, 2528777)
与 (32793251, 32795561, 32797871, 32800181, 32802491, 32804801)
三素数猜想(加3型)
设 2n+1 >=61,且 p1, p2, p3=2*p2+3 都是素数,
则 2n+1=p1+2*p2 与 2n+4=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。
三素数猜想(减3型)
设 2n+3 >=9,且 p1, p2, p3=2*p2 -3 都是素数,
则 2n+3=p1+2*p2 与 2n=p1+p3 至少有一组素数(p1, p2, p3)解。
蔡氏三素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏四素数猜想
设 2n+15 >=49,且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15 都是素数,
则 2n=p1+p3 与 2n+15=p1+2*p2 及 2n+30=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。
蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏四素数猜想
设 2n+105 >=169,且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105 都是素数,
则 2n=p1+p3 与 2n+105=p1+2*p2 及 2n+210=p1+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。
蔡氏四素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏八素数猜想
设 2n >=64,
且 p1, p2, p3=2*p2 -15, p4=2*p2+15, p5, p6, p7=2*p6 -15, p8=2*p6+15 都是素数,
则 2n -30=p1+p3, 2n -15=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+15=p5+2*p6, 2n+30=p5+p8,
至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。
蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏八素数猜想
设 2n >=280,
且 p1, p2, p3=2*p2 -105, p4=2*p2+105, p5, p6, p7=2*p6 -105, p8=2*p6+105 都是素数,
则 2n -210=p1+p3, 2n -105=p1+2*p2, 2n=p1+p4=p5+p7, 2n+105=p5+2*p6, 2n+210=p5+p8,
至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8)解。
蔡氏八素数猜想是偶数哥猜与奇数哥猜合二为一的素数解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(最小解)
设 2n >=32,且 p1, p2=p1+30, p3, p4 都是素数,
且 p3 <=p4, 且 p3 是与2n, 2n+30 都互素的最小素数,
则 2n=p1+p3*p4 , 2n+30=p2+p3*p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(最小解)
设 2n >=62,且 p1, p2=p1+210, p3=p1+630, p4, p5 都是素数,
且 p4 <=p5, 且 p4 是与2n, 2n+210, 2n+630 都互素的最小素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+210=p2+p4*p5 , 2n+630=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
蔡氏偶数(1+2)分拆(最小解)
设 2n >=62,且 p1, p2=p1+420, p3=p1+840, p4, p5 都是素数,
且 p4 <=p5, 且 p4 是与2n, 2n+420, 2n+840 都互素的最小素数,
则 2n=p1+p4*p5 , 2n+420=p2+p4*p5 , 2n+840=p3+p4*p5 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4, p5)解。
任一正整数均可表为 一个质数 与 一个平方数 的差。
64=73-3^2=89-5^2=113-7^2=233-13^2=353-17^2=......
任一质数均可表为 另一个质数 与 一个m次方数 的差。
2=11-3^2=29-3^3=83-3^4=59051-9^5=3518743763-39^6=4782971-9^7=6563-3^8
2=2357947693-11^9=59051-3^10=8649755859377-15^11=282429536483-9^12
2=2541865828331-9^13=4782971-3^14=14348909-3^15=6568408355712890627-15^16
2=762939453127-5^17=150094635296999123-9^18
2=15398217140735709790332844752065729-63^19(最小解)
【公式化的完美立方数】
设 D^3=A^3+B^3+C^3,
且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,
求证:若 m>=2,则 (m^2*(2m^2 -1)(2m^2+1))^3=A^3+B^3+C^3 是 完美立方数。
【质数立方是三质数立方之和 的完美立方数】
设 P^3=A^3+B^3+C^3,其中 P, A, B, C 都是质数,
且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,
8000以内 P, A, B, C 均为素数的组合,由 Treenewbee 程序计算,
709 = [193, [25, 68, 190]] + [461, [5, 86, 460]] + [631, [120, 207, 622]]
2767 = [103, [12, 31, 102]] + [2179, [108, 235, 2178]] + [2213, [1238, 1373, 1852]]
【质数立方是至少两组三质数立方之和 的完美立方数】
设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3,其中 P, A, B, C, D, E, F 都是质数,
且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3,B^3=b1^3+b2^3+b3^3,C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解,
及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3,E^3=e1^3+e2^3+e3^3,F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解,
求 质数 P= ? A= ? B= ? C= ? D= ? E= ? F= ? 由 Treenewbee 程序计算,
33199^3=2833^3+19081^3+30941^3=15187^3+24197^3+26647^3
49069^3=661^3+37441^3+40343^3=22307^3+37243^3+38119^3
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