[原创]修改后的《集论法证明哥德巴赫猜想》

雷明85639720

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集论法证明哥德巴赫猜想
雷 明
（ 一九九五年初稿，二○○九年五月五日修改搞 ）
摘  要：用集合论方法对自1742年提出至今已有两个半世纪之久的哥德巴赫猜想进行了证明。
关键词：哥德巴赫猜想  素数  奇素数  集合  可数集合
哥德巴赫猜想有两部分内容：第一部分是任何大于等于4的偶数都是两个素数的和，即“１＋１”；第二部分是任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。这表面上看，似乎是只数论里的一个问题，实际上它也是集合论里的一个问题。以前人们不管是采用的什么办法，都是试图把一个很大的偶数写成两个素数的和，由于偶数是无穷无尽的（一个无穷集合），始终不能得到“任意的”偶数都是两个素数的和的结论。本文就试用集合论的方法对哥德巴赫猜想进行证明如下。
本文中要用到的集合分别用以下的字母表示：自然数集合用Ｎ表示：Ｎ＝｛1，2，3，……｝；素数集合用Ｓ表示：Ｓ＝｛2，3，5，……｝；奇素数集合用Ｘ表示：Ｘ＝｛3，5，7，……｝；偶素数集合用Ｙ表示：Ｙ＝｛2｝。
1、几个关键性的可数集合——素数集合Ｓ与奇素数集合X
∵ Ｓ是无穷集合（欧几里德和欧拉早已证明素数有无穷多个），
又Ｓ是可数集合——自然数集合Ｎ的子集合（可数集合也叫可列集、可数的无穷集等），
∴ 素数集合S也是可数集合（定理：可数集合的任何无穷子集合是可数集合）。
又∵ S的子集合Ｙ＝｛2｝是有穷集合，
∴ S与Y的差集X＝S－Y，即奇素数集合Ｘ也一定是可数集合（定理：可数集合与它的有穷子集合的差集是可数集合）。
（本文中所用到的有关集合论的定理、定义、专业术语等均见肖鹏一著的《集合与逻辑代数》，1985年科学出版社）。
2、证明哥德巴赫猜想的关键
任何大于等于6的偶数是否都是两个奇素数的和是证明哥德巴赫猜想的关键。
猜想第一部分的正确提法是任何大于等于4的偶数都是两个素数的和。而任何偶数写成两素数之和时，要么是两个偶素数的和，要么是两个奇素数的和。偶数4只能写成唯一的偶素数2自身的和，而不可能写成两个奇素数的和（因为数值最小的奇素数是3，其自身的和是6，比4要大了，其它的奇素数自身的和比4就更大了）；而大于等于6的偶数，只能写成两个奇素数之和的形式（因为唯一的偶素数2自身的和是4，比6要小了）。所以证明任何大于等于6的偶数是否都是两个奇素数的和，就成了证明哥德巴赫猜想的一个关键。
3、任意两个奇素数的和都是大于等于6的偶数
奇素数集合Ｘ可以表示成如下：
        Ｘ= { a1，a2，a3，……，an，…… } = {3，5，7，……，an，…… }
把Ｘ中的每一个元素ai都和别的所有元素相加一次，也包括它自身相加的一次在内，可得到可数个可数集合（分别用带下角的Ｑ表示）：
    集合1：  Q 1  = {a1+a1，a1+a2，a1+ a3，……，a1+an，…… }
                 = {3+3，3+5，3+7，……，3＋an，…… }
                 = {6，8，10，……，3＋an，……  }
    集合2：  Q 2  = {a2+a1，a2+a2，a2+ a3，……，a2＋an，…… }
                 = {5+3，5+5，5+7，……，5＋an，…… }
                 = {8，10，12，……，5＋an，……  }
                　……………………………………………
    集合n：  Q n = {an+a1，an+a2，an+a 3，……，an＋an，…… }
                 = {an+3，an+5，an+7，……，an＋an，…… }
                　……………………………………………
若这些集合的并集为A，则
        A = Q 1∪Q 2∪……∪Q n∪……
          = {6，8，10，12，……，an+3，an+5，an+7，……，an＋an，…… }
Ａ仍是可数集合（定理：有限个或可数个可数集合的并集仍是可数集合）。
又由于A里的元素都是由Ｘ里的两个奇数（奇素数）相加而来，所以A中的元素全都是偶数。
又因为Ｘ中数值最小的元素是3，而3＋3＝6，所以A 中数值最小的元素是偶数6，其它元素的数值都是大于6的偶数。
所以，A是一个其中所有元素都是大于等于6的偶数的可数集合。
4、任意两个奇素数的和包含了所有大于等于6的偶数
集合A的特点：
1、A是一个可数的无穷集合；
   2、A中有无穷多个元素；
3、A与自然数集合N等势，即A～N（根据可数集合的定义，可数集合均与自然数集合等势）；
4、A中所有的元素都是偶数，且大于等于6；
由于由所有大于等于6的偶数所构成的可数的无穷集合B也是与自然数集合N等势（B～N）的，根据集合的传递性，也有A等势与B，即A～B，即A与B有一一对应的关系。由于所有的可数集合的势都是相同的，都是α，所以A与B的元素个数相同或A与B的元素一样多。可以肯定，A中的元素一定都是属于B的，即B包含A，也即A是B的子集合。
大于等于6的偶数与自然数一样，也是有无穷多个。A与B中的那无穷多个元素，也都分别是大于等于6的偶数，再加上集合中元素的不重复性（即不存在两个以上相同的元素），所以，A只有是包含了所有大于等于6的偶数时，才能使“A与B的元素个数相同或A与B的元素一样多”。
B中的所有大于等于6的偶数有无穷多个，A中的大于等于6的偶数也有无穷多个，所以无论是A还是B，其元素（大于等于6的偶数）个数都应该是与自然数一样多的，它他的一一对应就是两集合中具有相等数值的偶数可以进行互相配对。
A与B是同一个集合的证明：
（1）采用A与B中的元素相互配对的证明（反证法）：
假如A中没有完全包含所有大于等于6的偶数，则把A和B中相同数值的元素进行配对时，B中就必然有剩余下来的元素，A与B就不可能等势，这与上面所得到的A～B是矛盾的，应该否定假设，A中应该是包含了所有大于等于6的偶数。
（2）采用A中元素排队的办法证明（反证法）：
根据定理：集合X为可数集合的充分与必要条件是可以把X的元素按一定的法则f连续的编号为：
X＝｛x1，x2，……xn，……｝。
这就使集合X中的元素与自然数集合中的元素有了一一对应的关系。既然上面得到的并集A是可数集合，那么它一定也能够按某一法则f把其中的元素进行编号，与自然数集合建立一一对应的关系。如果上面得到的那个并集A是所有大于等于6的偶数集合，则这个法则就是
        f：    an＝f（n）＝4＋2n   （n≥1，n是自然数）
如果A 不是所有大于等于6的偶数的集合，则其中必然至少会缺少某一个大于等于6的偶数。如果A中的元素在排队中，在第n项后缺少一个偶数an＋1（＝4＋2（n＋1）），这时，集合A与自然数集合的一一对应关系f将分成两个：即
    f1：    an＝f（n）＝4＋2n   （1≤n＜n＋1，n是自然数）
    f2：    an＝f（n）＝6＋2n   （n≥n＋1，n是自然数）
这时集合A也就分成了两个子集合A1和A2，A1与自然数集合的一一对应关系是f1，A2与自然数集合的一一对应关系是f2。子集合A1与自然数集合的一一对应关系f1，显然和所有大于等于6的偶数集合B与自然数集合N的对应关系是一模一样的，都是f：an＝f（n）＝4＋2n（1≤1，n是自然数），至少可以说A的子集合A1与B也是等势的，或者说A1＝B，或者说A和B就是同一个集合，那么A1也是一个可数集合，其中包括了所有大于等于6的偶数；因为A中的元素都是大于等于6的偶数，所以A的子集合A1就是集合A本身，而A的另一个子集合A2则是一个空集Φ；这就说明了集合A中的元素包括了所有大于等于6的偶数。这与上面的假设“如果A 不是所有大于等于6的偶数的集合”就产生了矛盾，应否定假设。到此也就证明了“A与B的元素个数相同或A与B的元素一样多”，说明了B中的元素也一定都是属于A的，即A包含B，也即B是A的子集合。
    因为前边有：A中的元素一定都是属于B的，即B包含A，也即A是B的子集合（已知）；
现在这里又有：B中的元素也一定都是属于A的，即A包含B，也即B是A的子集合；
因为两个集合相等或者是同一个集合的充要条件是：两个集合互为子集合，也即两个合互相包含。所以就有集合A与集合B是同一个集合或者两个集合相等，即A＝B。两集合相等就说明两集合中的元素全部相同。到此，就证明了A中是包含了所有大于等6的偶数。到此也就证明了上面得到的并集A也是所有大于等于6的偶数的集合。
5、任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和
    上面已经证明了A＝B，或者说A和B是同一个集合。B是所有大于等于6的偶数的集合，A中的元素都是两个奇素数的和，这时也就有任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和。即
2n＝S1＋S2                                    （1）
（1）式中，n为自然数， n≥3，S为奇素数，S1，S2≥3。
这就证明了任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和。
6、证明哥德巴赫猜想的第一部分“１＋１”
哥德巴赫猜想第一部分是任何大于等于4的偶数都是两个素数的和。
∵  A（或B）是所有大于等于6的偶数的可数集合，4是有限集合｛4｝中的唯一元素，
∴  ｛4｝∪A＝C就是所有大于等于4的偶数的集合（可数集合）（定里：一个有限集合与一个可数集合的并集仍是可数集合）。
又∵  A中的每个元素（偶数）都是两个奇素数的和，偶数4又是唯一的偶素数２自身相加的结果（2＋2＝4）
∴  任何大于等于4的偶数都是两个素数的和的命题是成立，也即有
　 2n＝S1＋S2                                     （2）
（2）式中，n为自然数，n≥2，S为素数，S1＝S2时，S1，S2≥2；S1≠S2时，S1，S2≥3。
到此，哥德巴赫猜想的第一部分“1＋1”就得到了证明是正确的。
7、证明哥德巴赫猜想的第二部分
哥德巴赫猜想第一部分是任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。
给公式（2）的两边同时加上一个大于等于3的素数（奇数）S32n＋S3＝S1＋S2＋S3                                      （3）
因为S3≥3，且是奇数，把（3）式左边的S3用2n－1（n≥2）表示得
4n－1＝S1＋S2＋S3                                 （3，）
（3，）式中，n为自然数，n≥2，S为素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3。
∵  当n≥2时，（3，）式中的4n－1就是大于等于7的奇数
∴  任何大于等于7的奇数都是三个素数的和的命题也是成立的。
这就是哥德巴赫猜测想第二部分的内容——任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。
当n≥2时，4n－1就是大于等于7的奇数的证明：
已知：S1＋S2≥4，S3≥3
两式相加得：S1＋S2＋S3≥3＋4≥7
        证毕。
按习惯表示法，把（3，）式中的4n－1改成2n－1（n≥4），则（3，）式就成为
    2n－1＝S1＋S2＋S3                              （3，）
（3，）式中，n为自然数，n≥4，S为素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3。
8、结论：哥德巴赫猜想是正确的
（1）任何大于等于4的偶数都是两个素数的和；
（2）任何大于等于7的奇数都是三个素数的和；
关于哥德巴赫猜想的另外一种提法，任何“大于等于6的偶数都是两个奇素数的和”与任何“大于等于9的奇数都是三个奇素数的和”，前者已在5中证明了，后者可以给5中的公式（1）的两边分别加上一个大于等于3的奇素数，就可得到证明。
                                  雷      明
    （一九九五年初稿于金堆城，二○○九年五月五日第十五次修改于长安）

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个别网上留着“哥德巴赫猜想证明”方面雷明你抄袭的东西，足以能让你的抄袭侵权行为人尽皆知，你还好意思炫耀吗？
知错就改知道“立即收兵”,立即停止侵权这才是正道！这样将会少惹许多是非！否则你就等着承担法律责任吧!
雷明你自己说：“拿不出来证椐就不要再说了”！
那么，雷明你就应该拿出来：早于别人的“哥德巴赫猜想证明”方面的“论文发表证明”，早于别人的国家权力机构给你颁发的“哥德巴赫猜想证明”方面的“科技成果完成者证书”，早于别人的国家权力机构给你颁发的“查新报告”，早于别人的录入国家成果库的证明，早于别人的国家权力机构请的相关专家做出的“专家评价意见”，早于别人的“哥德巴赫猜想证明”方面的“论文版权证书”。否则凭什么说你的“被别人以前已有的的思想方法或见解观点涵盖（包含），而内容上部分抄袭，或改头换面的文档”不是抄袭来的？你以为别人都跟你一样，信口开河？
  还用你自己打自己嘴巴的话说：你“拿不出来证椐就不要再说了”！
“什么叫没有证据”？即根本不存在或谁也找不到。
证据在那里放着，铁证如山！人人可以看到。录入国家科技成果库里的成果， 中国科技论文在线也有论文，百度文库也转载了，谁看不到？雷明你装啥哪?
人人都可以去查阅看到的文章用我拿出来吗 ? 这不是证据是什么 ？你想让我也和你一样非法侵权吗？你是何用心?:``
你以为“盗铃掩耳”有用吗？看起来你就是想等着承担法律责任的吧？
什么是“自已的观点”？
在学术上指的是：不被别人以前已有的观点涵盖（包含），而有自己独到的思想方法或见解，才能算“自已的观点”。请大家少微做以比较，看看雷明的文档不是抄袭是什么？
百度等文库已删除了你的文档还能否认吗？个别网上留着“哥德巴赫猜想证明”方面你抄袭的东西，足以能让你的抄袭侵权行为人尽皆知，你还好意思炫耀吗？
你以为大家都看不见？不会评？
人人有权指责抄袭之人！   
凭什么说雷明你的“被别人以前已有的的思想方法或见解观点涵盖（包含），而内容上部分抄袭，或改头换面的文档”不是抄袭来的？不管别人的文章“是正确还是错误”你都不应该抄袭侵权，抄袭的东西有自己的“观点”吗？还在做白日梦，抄袭来的东西却竟然梦想什么认可？
“别人已经获得了证书”的照片百度等多个网站都转帖有图片，大家人人可以查阅到，用我拿吗？
   还用雷明你自己打自己嘴巴的话说：你“拿不出来证椐就不要再说了”！