◎ 和为偶数N的素数对对数的最低值与√N/4

尚九天

[这个贴子最后由尚九天在 2008/12/21 05:42pm 第 1 次编辑]

    √N/4, 是和为偶数N的素数对 对数的最低值, 对不同的偶数,这个最低值是可以提高的.
    例如,对于 840 , 就可以提高到：
                                  √840/1.25 ,
志明先生：
    不和您以为如何?
                --------------------------------------------------
    遵照志明先生意见，改为现在的标题。

志明

[这个贴子最后由志明在 2011/04/06 05:31pm 第 1 次编辑]

当偶数大到一定的程度，和为偶数N的素数对数量的最低值必定会大于√N/4，并且随着偶数的继续不断增大，偶数N的素数对数量的最低值大于√N/4的数值也会相对不断增大。
分析如下：
1、N/2×1/2×1/3×3/5×5/7×7/9×9/11×11/13×13/15×……×(P-2)/P=N/4P………①式
可知：当N是任意一个偶数，P是小于√N的最大素数时，N/4P＞√N/4，即：①式＞√N/4
2、当偶数N不能被任何一个小于√N的奇素数整除时，此时根据连乘积公式得出的计算式是：
N/2×(1-1/2)×(1-2/3)×(1-2/5)×(1-2/7)×(1-2/11)×(1-2/13)×(1-2/17)……×(P-2/P)……②式
②式= N/2×1/2×1/3×3/5×5/7×9/11×11/13×15/17×……×(P-2)/P
可知：连乘积公式≥②式
3、因为①式比②式多出了7/9、13/15、19/21……这些分母是奇合数的分数，并知这些分母是奇合数的分数都是小于1的纯分数，因此，②式＞①式
根据①式＞√N/4、连乘积公式≥②式、②式＞①式可得出：
连乘积公式≥②式＞①式＞√N/4，
在“①式＞√N/4”中，①式大于√N/4的值有可能非常之微小，因此 “连乘积公式≥②式”和“①式＞√N/4”在分析过程中可忽略不考虑，只需分析“连乘积公式”和“②式＞①式”就可以。
分析“连乘积公式≥②式＞①式＞√N/4，”
㈠因为运用连乘积公式可计算出任意一个偶数素数对数量相对合理的近似值，因此其误差是有限的。这一点是最根本、最重要的。
㈡随着偶数的不断增大，奇合数的数量也会不断增大，并且奇合数所占的比例也会不断增大，因而，①式比②式多出的小于1的纯分数的数量也会不断增大，并且在①式中小于1的纯分数所占的比例也在不断增大，因此②式大于①式的值是随着偶数的不断增大而不断增大的一个无限过程。
显然，当偶数不断增大并且大到一定的程度时，随着偶数不断增大而不断增大的（②式－①式）的值必定能大于连乘积公式相对合理的有限误差。因此，根据“连乘积公式≥②式＞①式＞√N/4，”可知：当偶数大到一定的程度，和为偶数N的素数对数量的最低值必定会大于√N/4，并且随着偶数的继续不断增大，偶数N的素数对数量的最低值大于√N/4的数值也会相对不断增大。事实情况也是如此，形成这一现象的原因是：能计算出任意一个偶数素数对数量相对合理的近似值的“连乘积公式”，与“布朗筛法”同根同祖，有“容斥原理”这一数学原理支撑。

尚九天

    谢谢先生不吝赐教!

尚九天

志明先生：您好!
    您的论述十分详尽，能否对“连乘积”的起源，或者说是根据，简早扼要地说明一下。
                                                          尚九天
                                                              2008.12.18
      

lusishun

①N/2×1/2×1/3×3/5×5/7×7/9×9/11×11/13×13/15×……×(P-2)/P=N/4P
②式= N/2×1/2×1/3×3/5×5/7×9/11×11/13×15/17×……×(P-2)/P
的得来过程，是个什么过程，要表述清楚，有问题的话，就在根据什么得来的公式①②？

志明

下面引用由lusishun在 2008/12/19 10:32am 发表的内容：
①N/2×1/2×1/3×3/5×5/7×7/9×9/11×11/13×13/15×……×(P-2)/P=N/4P
②式= N/2×1/2×1/3×3/5×5/7×9/11×11/13×15/17×……×(P-2)/P
的得来过程，是个什么过程，要表述清楚，有问题的话，就在根据　...

①式并不是连乘积公式，①式只是在推导连乘积公式＞√N/4的过程中用来做比较用的式子。
②式的得来过程在http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=579的“分析四”中。

志明

[这个贴子最后由志明在 2008/12/19 02:46pm 第 2 次编辑]

2、布朗筛法
  1920年挪威数学家布朗根据容斥原理创立的一种理论性的新筛法，使之不必进行详尽的计算就能预先知道某个任意间隔内素数的某些情况，而不管这个间隔是否大得无法计算。例如，一万亿亿之内的素数有多少？布朗筛法至少能算素数个数的近似值。
根据容斥原理，我们知道：
ㄧA∪B∪Cㄧ=ㄧAㄧ+ㄧBㄧ+ㄧCㄧ－ㄧA∩Bㄧ－ㄧB∩Cㄧ－ㄧA∩Cㄧ+ㄧA∩B∩Cㄧ
这里A、B、C表示集合，ㄧAㄧ、ㄧBㄧ、ㄧCㄧ表示相应集合中元素的个数。
……
布朗筛法的筛选思想是筛去已知间隔内的所有合数，剩下的便都是素数了，而筛去的所有合数则可以通过容斥原理计算出来。
例6：试确定1至120的整数中合数的个数。
解：由于√120＜√121=11，故而不超过120的合数必是2、3、5、7的倍数，
已知：
ㄧS1ㄧ=[120/2]=60，ㄧS2ㄧ=[120/3]=40
ㄧS3ㄧ=[120/5] =24，ㄧS4ㄧ=[120/7]=17；
ㄧS1∩S2ㄧ=[120/（2×3）]=20， ㄧS2∩S3ㄧ=[120/（3×5）]=8，
ㄧS1∩S3ㄧ=[120/（2×5）]=12， ㄧS1∩S4ㄧ=[120/（2×7）]=8，
ㄧS2∩S4ㄧ=[120/（3×7）]=5，  ㄧS3∩S4ㄧ=[120/（5×7）]=3，
ㄧS1∩S2∩S3ㄧ=[120/（2×3×5）]= 4，
ㄧS1∩S2∩S4ㄧ=[120/（2×3×7）]= 2，
ㄧS1∩S3∩S4ㄧ=[120/（2×5×7）]= 1，
ㄧS2∩S3∩S4ㄧ=[120/（3×5×7）]= 1，
ㄧS1∩S2∩S3∩S4ㄧ=[120/（2×3×5×7）]=0，
可知：
ㄧS1∪S2∪S3∪S4ㄧ=（60+40+24+17）－（20+12+8+8+5+3）+（4+2+1+1）－0=93，
这说明，在不超过120的正整数中，是2、3、5、7的倍数的数共有93个，但其中含有2、3、5、7本身，故合数的个数为93－4=89（个）
120扣去单位数1及所有合数，即得素数个数为120－1－89=30（个）
将例6与例5比较，似乎布朗筛法不比厄拉托塞尼法简便，但其优越性主要表现为能处理任意两个极大数之间素数的个数。然而，对于一个大的间隔，涉及到的集合数可能成千上万，要精确计算该间隔内素数个数也是非常繁难的，可是布朗筛法的优越之处恰恰在于可运用容斥原理的近似公式来计算合数，并可按计算的精确度要求选用不同的近似公式求得相对合理的近似值。
……
以上内容摘自上海人民出版社2000年10月出版的《初中生数学辞海》1166页至1168页。
分析：
在1至120的整数中筛除2的倍数后余下的整数数量是：
120－120/2=120×（1－1/2）=120×1/2=60
在1至120的整数中筛除2、3的倍数后余下的整数数量是：
120－（120/2）－（120/3）+120/（2×3）
=120×（1－1/2）－120/3×（1－1/2）
=120×（1－1/2）－120×（1－1/2）×1/3
=120×（1－1/2）×（1－1/3）
=120×1/2×2/3=40
当筛除的次数增加后，由多项式化简到连乘积的过程很繁琐。下面用另外一种思路进行分析推理：
已知在120－120/2这个多项式中，120表示从1至120的整数数量，120/2表示应筛除的2的倍数的数量。
已知：在从1至120的120个整数中，3的倍数有120×1/3个，2×3的倍数有120/（2×3）个，
因为在120－120/2的基础上筛除3的倍数时，
必需减去3的倍数（120×1/3）个，120×1/3是用120－120/2中的120乘1/3，
根据“容斥原理”同时还必需加上被重复减去一次的2×3的倍数120/（2×3）个，120/（2×3）是120－120/2中的120/2乘1/3，
可知：120×1/3和120/（2×3）这两数是用120－120/2中的120和120/2这两个数分别乘1/3而得出的。
因为在乘法中，负数与正数相乘得负数，负数与负数相乘得正数。因此，在120－120/2的基础上筛除3的倍数后余下的整数数量，就是“120－120/2这个多项式”与“120－120/2这个多项式中的各项分别乘以-1/3的各个乘积”的总和；也就是“120×（1－1/2）”与“120×（1－1/2）×-1/3”的总和。
在1至120的整数中筛除2、3的倍数后余下的整数数量是：
120－120/2+（120－120/2）×（-1/3）
=120×（1－1/2）+120×（1－1/2）×（－1/3）
=120×（1－1/2）－1/3×120×（1－1/2）
=120×（1－1/2）×（1－1/3）
=120×1/2×2/3 = 40
因此，
在1至120的整数中筛除2、3、5的倍数后余下的整数数量是：
120×（1－1/2）×（1－1/3））×(1－1/5)
=120×1/2×2/3×4/5=32
在1至120的整数中筛除2、3、5、7的倍数后余下的整数数量的近似值是：
120×（1－1/2）×（1－1/3））×(1－1/5) ×(1－1/7)
=120×1/2×2/3×4/5×6/7
=27.4285
已知在不超过120的正整数中，2、3、5、7的倍数的数共有93个，筛除这93个数后还余下27个数，
可知：120×(1－1/2)×(1－1/3)×(1－1/5) ×(1－1/7)=27.4285该式的精确度是99.98%，        100%－(27.4285－27)÷27=99.98%
以上内容对于运用“容斥原理”推导得出“连乘积”这一问题，只是介绍了其中的数学原理和依据。
在http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=579的“分析四”和“分析五”中，对于运用“容斥原理”推导得出“连乘积”这一问题有更详细、更清晰的阐述和推导过程。

申一言

请问!
    那位大师亲自用筛法求过一万内的素数?
    有吗?
    见鬼了??                             m
  100,(2,3,5,7)                         Cn=?
  1000,(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31)
                                        m
  10000,(2.3.5.7.,,,,,,,,,,,,,,,,,99), Cn=?

尚九天

思顺老兄：
    志明先生对“连乘积”的理解很深刻，
                                      ---- 值得大家学习。

lusishun

>>>>
志明先生对“连乘积”的理解很深刻
尚九天 老兄：
       1.我相信您欢迎我说我心里的真话。
       2.我说我心里的真话，也是对老兄的真诚，对热爱哥猜的网友的真诚，

我说真话了，
  10*（1-1/2）*（1-1/3）=3.333333.....
     与筛去2，3的倍数后应剩1，5，7不符。就说明用简单连乘，是不能筛净素数的倍数。