[原创]多面体欧拉公式的拓宽

雷明85639720

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雷明85639720

多面体欧拉公式的拓宽
——多面体万能公式的推导
雷  明
（二○○八年六月二十七日）
   
欧拉以前在得到凸多面体欧拉公式时，主要是总结了正多面体的顶点、边（棱）和面之间的关系面得出的。由于任何多面体都对应着一个图，所以现在就从图的角度首先推导出适用于任何图的欧拉公式，再进一步推导出适用于任意多面体的欧拉公式。
1、连通平面图的欧拉公式
（1）平面图中顶点、边和面三大要素间的关系：
㈠ 极大图中顶点、边和面三大元素之间的关系：
极大图是各个面均为3—圈的平面图，由于其各个面均是3—圈，所以在顶点数想同的平面图中，极大图的边和面是最多的。现在就从极大图开始研究。
极大图（v≥3）的边数e与顶点数v以及面数f与顶点数v的关系的导出如下表：
序号n  顶点数v   边数e   en+1－en   面数f   fn+1－fn   
1        3          3        /         2        /
2        4          6        3         4        2  
3        5          9        3         6        2
…………………………………………………………………   
n＝v－2     v        3v－6      3       2v－4      2
从上表中可以看出：极大图的顶点数每增加1，图仍要保持还是一个极大图时，图的边数就增加3，面数也就增加2。可见表中“边数e”列和“面数f”列分别是两个等差数列，公差分别是de＝3和df＝2，把n＝v－2，de＝3，df＝2，e1＝3和f1＝2分别代入等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）•d得极大图的边数和面数的通项公式分别是：
极大图的边数：e＝3＋（v－2－1）×3＝3v－6         （1）
    极大图的面数：f＝2＋（v－2－1）×2＝2v－4         （2）
式（1）和式（2）就是在v≥3时的连通单纯图中，极大图的边数e和面数f分别与顶点数v的关系。
     ㈡ 平面图的边数e、面数f与顶点v数的关系：
由于极大图的顶点数v≥3，其边数和面数又是同顶点数的平面图中最多者，所以就有任意平面图的边数e及面数f与顶点数v的关系分别如下：
    平面图的边数：e≤3v－6                            （3）
    平面图的面数：f≤2v－4                            （4）
只要是v≥3的连通的单纯平面图，不管是极大图还是非极大图，它的三大要素v、e、f之间一定有（3）式和（4）式的关系。
（2）连通平面图的欧拉公式：
用式（1）减式（2）或用 （3）减式（4）得e－f＝v－2，再移项整理得到
v＋f＝e＋2                                     （5）
（5）式就是极大平面图（v≥3）的欧拉公式。若给图中减少或增加一条边，只要不产生交叉边，同样也就减少或增加了一个面，公式两边同增同减，公式仍成立。或者给图中增加或减少一个顶点，同样也就增加或减少了与该顶点相连接的d条边，也增加或减少了d－1个面，这时公式（5）的左边，顶点与面的变化量之和是Δ＝1＋d－1＝d，公式（5）的右边，边的变化量也是Δ＝d，（5）式两边同增同减，公式仍然成立。所以式（5）也就是意任连通平面图（v≥1）的欧拉公式。
  2、任意连通图的欧拉公式

图1，a是一个非平面图，如果把交叉边之一1—3（如图中的边e）去掉时，就是一个平面图。如果把这条交叉边画在与画图的平面N相交的另一个平面M内时，如图1，b和图1，c，则原画图的平面N内的图就是一个平面图，以上公式（5）的欧拉公式一定适用于它。那一条位于平面M内的交叉边e，则与面M和N的交线m—n共同构成了位于平面M内的一个面，这个面就是边e和顶点1、2、3及其之间的边1—2和边2—3构成的3—圈（如图1，b。在画图时，把边1—2和边2—3与面M和面N的交线m—n有意重合在了一起）或者是e和顶点1、4、3及其之间的边1—4和边4—3构成的3—圈（如图1，c）。这样来看，图1，a的图，虽然多了一条交叉边，但也多了一个面，而面和边又分别位于公式（5）两边，两边同增同减，仍是相等的。所以就可以认为公式（5）不仅只适用于平面图，而且也是适用于非平面图的。
如图1，a中的非平面图，图中的顶点v＝8，边e＝14，面f＝8，代入公式（5）的欧拉公式得
左边＝v＋f＝8＋8＝16
右边＝e＋2＝14＋2＝16
公式左右两边相等，公式（5）也适用于非平面图。由此可以说以上的公式（5）也就是任意连通图的欧拉公式。
3、多分支图的欧拉公式
对于分支数为n的多分支图来说，若把每一个分支都看成一个单图时，每个单图一定都适合任意连通图的欧拉公式（5）式，这时则有
     ｖ１＋ｆ１＝ｅ１＋２
ｖ２＋ｆ２＝ｅ２＋２
　　 ………………………
　　 ｖｎ＋ｆｎ＝ｅｎ＋２
ｎ个等式。把这ｎ个等式相加得
        （ｖ１＋ｖ２＋……＋ｖｎ）＋（ｆ１＋ｆ２＋……＋ｆｎ）
　　　   ＝（ｅ１＋ｅ２＋……＋ｅｎ）＋２ｎ　　　　　    （6）
因为
ｖ１＋ｖ２＋……＋ｖｎ＝ｖ
　　 ｅ１＋ｅ２＋……＋ｅｎ＝ｅ
　　 ｆ１＋ｆ２＋……＋ｆｎ＝ｆ＋（ｎ－１）
ｆ１＋ｆ２＋……＋ｆｎ＝ｆ＋（ｎ－１）是因为把ｎ个单图看成一个图（一个多分支图）时，其无限面则由ｎ个减少到了１个，也就是说ｆ１＋ｆ２＋……＋ｆｎ中包含有ｎ个无限面，而ｆ中却只含有一个无限面。若把ｆ１＋ｆ２＋……＋ｆｎ和ｆ中的无限面都去掉时，其不是无限面的面数应该是相同的。即ｆ１＋ｆ２＋……＋ｆｎ－n＝f－1，整理后就可得到ｆ１＋ｆ２＋……＋ｆｎ＝ｆ＋（ｎ－１），把ｖ、ｅ、ｆ＋（ｎ－１）代替（5）式中的ｖ１＋ｖ２＋……＋ｖｎ，ｅ１＋ｅ２＋……＋ｅｎ和ｆ１＋ｆ２＋……＋ｆｎ得
          ｖ＋ｆ＋（ｎ－１）＝ｅ＋２ｎ
移项后为
ｖ＋ｆ＝ｅ－ｎ＋１＋２ｎ
              ＝ｅ＋ｎ＋１                     （7）
（7）式就是多分支图的欧拉公式。式中ｎ是多分支图的分支数。
公式（7）的多分支图的欧拉公式，对于非平面图来说也应该适用，因为在导出它时所用的任意连通图的欧拉公式（5）式本来也是适用于非平面图的。
当图的分支数ｎ＝１时就是一个连通的单图，（7）式就变成了任意连通图的欧拉公式（5）式。所以（7）式也就是适用于任意图的欧拉公式。连通图是多分支图的一个特例，即是分支数ｎ＝１的多分支图。
4、简单多面体的欧拉公式
凸多面体和一部分凹多面体对应的图都是连通的平面图，我们把对应图为连通平面图的多面体统一叫做简单多面体。把任意连通平面图欧拉公式（5）中的v、e、f，分别用多面体中的顶点数V，面数F，和边数E代替得
     V＋F＝E＋2                                   （8）
（8）式就是立体几何中的凸多面体欧拉公式。现在它再也不是只从几个正多面体得出的公式了，而是从图论的角度经过了严密的数学推导而得到的。它不仅适用于正多面体和凸多面体，而是也适用于包括一部分凹多面体在内的任何简单多面体。
5、组合多面体的欧拉公式

图2，a就一个是组合多面体，这是一个立方体，在其上顶面有一个向下凹进（虚体，当然也可以向上凸出成为实体）的小立方体，且两个立方体的任何棱都不重合，而只有两个立方体的上顶面重合成一个面。这样的多面体就是组合多面体，它对应的图是一个不连通的多分支图，如图2，b。外面的立方体叫做组合多面体的母体，那个小立方体叫做组合多面体的子体。
组合多面体是由多个简单多面体通过面与面的重合，但面的边界（边或棱）却不重合而组合在一起的多面体。这种多面体的特征是其中至少有一个面有两条闭合的边界，它所对应的图是一个多分支图。组合多面体至少要有一个组合部分（母体）是实体，其他部分（子体）可以是实体（凸组合），也可以是虚体（凹组合）。这种多面体所对应的多分支图中各元素与该组合多面体各元素间的对应关系仍是ｖ＝Ｖ，ｅ＝Ｅ，ｆ＝Ｆ。把多分支图的欧拉公式（7）中的ｖ、ｅ、ｆ，分别用多面体的顶点数V、边数E、面数F代替即可得到
        Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋ｎ＋１                            （9）
（9）式中，ｎ在这里则是多面体的组合部分数。已知这种多面体是由n个简单多面体面与面的重合，但边并不重合组合而组成的，这两个多面体间面与面的重合就必然形成一个有两条闭合边界的面，其形状似环形，不妨把它叫做“环形面”。环形面的数量与组合部分数n的多少有关。若用Φ来表示环形面数，则Φ与n有下列关系
        ｎ＝Φ＋１  或  Φ＝ｎ－１                   （10）
（10）式中的“1”也可以认为是组合多面体有1个母体。把ｎ＝Φ＋１代入（9）式得
　　　　Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋Φ＋２　　　　　　               （11）
（11）式就是组合多面体的欧拉公式。式中Φ是多面体中的环形面数。
图2的组合多面体，V＝16，F＝11，E＝24，Φ＝1，代入公式（11）得
    左边＝V＋F＝16＋11＝27
    右边＝E＋Φ＋2＝24＋1＋2＝27
公式的左右两边是相等的，公式成立。
简单多面体中无环形面，把Φ＝０代入（11）式，则得到简单多面体的欧拉公式（8）式，所以（11）式也是所有非管状多面体的欧拉公式。简单多面体是组合多面体的一种特例。
6、管状多面体的欧拉公式

图3，a是在一个长方体中有两个空心四棱柱穿过的多面体，即其中有两个孔洞的多面体，其形状向管子一样，所以叫“管状多面体”。管状多面体对应的图一般是一个不连通的多分支图，但也有对应图是连通图的管状多面体。如图54，a的管状体所对应的图就是一个多分支图，而图3，b的管状体所对应的图则是一个连通图。管状多面体中有孔洞从中穿过，把在多面体中穿过的孔洞数叫做多面体的亏格，并用N来表示，则多面体中有几个孔洞穿过，多面体的亏格数N就等于几。这样看来，简单多面体与组合多面体的亏格就是0，因为简单多面体和组合多面体中没有孔洞穿过。
（1）不连通型管状多面体的欧拉公式：
这种多面体对应的图是一个不连通的多分支图，图与多面体各元素之间的对应关系是ｖ＝V，ｅ＝E，ｆ＝F＋N。ｆ＝F＋N说明图的面比多面体的面多了N个，其原因是因为多面体中每个孔洞的两个洞口在多面体中都不是面，而在对应的多分支图中显示出的却是面，其中一个洞口显示的面是一个无限面，它与管状体母体对应的无限面重合，成为多分支图的共用无限面，而另一个洞口则显示的是一个实实在在的内部面。管状体有N个孔洞，或者说管状体的亏格是N，就多显示出了N个面。把多分支图的欧拉公式（7）中的ｖ、ｅ、ｆ分别用V、E、F＋N代替得
    Ｖ＋Ｆ＋Ｎ＝Ｅ＋ｎ＋１                         （12）
这种多面体对应图的分支数n与多面体的亏格数Ｎ有下列关系
        ｎ＝Ｎ＋１                                    （13）
同样，（3）中的“1”也表示管状体有1个母体。把ｎ＝Ｎ＋１代入（12）式得
        Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋２                                （14）
显然（14）式与简单多面体的欧拉公式（8）成了相同的了，而这里的多面体却不是简单的多面体，看来公式还要进一步变形。
这种管状多面体中不但有孔洞，还存在环形面，每一个洞口的外围就是一个环形面，其数量Φ与亏格数Ｎ有如下关系
        Φ＝２Ｎ                                      （15）
这是因为每一个穿透孔洞在多面体表面均能形成两个环形面。先把（14）式变形为：
Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋Φ－Φ＋２
在上式中，令―Φ＝―２Ｎ，代入上式则有
        Ｖ＋Ｆ＝Ｅ＋Φ－２Ｎ＋２
移项整理得
Ｖ＋Ｆ＋２Ｎ＝Ｅ＋Φ＋２                      （16）
（16）式就是不连通型管状多面体的欧拉公式，它把这种管状多面体的特征，如环形面数Φ和亏格数Ｎ，都体现出来了。
图3，a中的不连通管体，V＝24，F＝14，E＝36，N＝2，Φ＝4，代入公式（16）得
    左边＝V＋F＋2N＝24＋14＋2×2＝24＋14＋4＝42
    右边＝E＋Φ＋2＝36＋4＋2＝42
公式左右两边相等，公式成立。
（2）连通型管状多面体的欧拉公式：
这种多面体对应的图是一个连通的单图，图与多面体各元素间的对应关系也是ｖ＝V，ｅ＝E，ｆ＝F＋N。ｆ＝F＋N同样也说明图的面比多面体的面多了N个，其原因也是因为多面体的N个孔洞各有一个洞口在图中显示出的是一个实实在在的内部面。同样的，把连通图的欧拉公式（5）中的ｖ、ｅ、ｆ分别用V、E、F＋N代替得
    Ｖ＋Ｆ＋Ｎ＝Ｅ＋２                             （17）
这种多面体中也有环形面Φ，但（17）式里却没有反映，同样也需要再变形。在这种管状多面体中，环形面Φ与亏格Ｎ有如下关系
        Φ＝Ｎ                                        （18）
这则是因为这种穿透孔洞的孔洞口在多面体表面只能形成一个环形面的原因。同样也先把（17）式
变形为：
Ｖ＋Ｆ＋Ｎ＝Ｅ＋Φ－Φ＋２
在上式中，令―Φ＝―Ｎ，代入上式并移项整理得
      Ｖ＋Ｆ＋２Ｎ＝Ｅ＋Φ＋２                       （19）
（19）式就是连通型管状多面体的欧拉公式。它也把管状多面体的特征，如环形面数Φ和亏格数Ｎ，都体现出来了。
图3，b中的连通管体，V＝12，F＝9，E＝20，N＝1，Φ＝1，代入公式（19）得
    左边＝Ｖ＋Ｆ＋２Ｎ＝12＋9＋2×1＝12＋9＋2＝23
    右边＝Ｅ＋Φ＋２＝20＋1＋2＝23
公式左右两边相等，公式成立。
（19）式和（16）式的形式完全相同，他们都是亏格不为０的管状多面体的欧拉公式。当亏格数Ｎ＝０时，两式都变成了组合多面体的欧拉公式（11），可见（16）式和（19）式也适用于亏格为0的组合多面体；再当环形面数Φ也等于0时，两式都进一步变成（8）式，即变成了简单多面体的欧拉公式，可见该两式同样也适用于简单多面体。
以上研究的都是对应图为平面图时的多面体，所以（16）式与（19）式都可以又叫做平面型多面体的欧拉公式。
7、非平面型管状多面体的欧拉公式
还有一种管状体，其对应的图不是平面图而是一个连通的非平面图，也是属于亏格不为0的多面体。如图4。在图4中，顶点与边的对应关系很明显，仍是ｖ＝Ｖ，ｅ＝Ｅ，但多面体的面与图中的面的对应关系却不太明显，需要进一步分析。

在前面研究连通图的欧拉公式时已经知道，图的欧拉公式不仅仅只适用于平面图，而且也适用于非平面图。图4中，该管体所对应的图有v＝12个顶点，e＝24条边，f＝14个面（在前面已经讲到了，非平面图中的交叉边可以看成是位于另外一个与画图的平面相交的平面内的，有一条交叉边也就相当于增加了一个面。所以图4中的多面体所对应的图中，画图的平面内共有10个面，位于另外的4个与画图的平面分别相交的平面内的面还有4个，这就是因4条交叉边所增加的4个面，共计14个面），分别代入任意连通图的欧拉公式（5）得
    左边＝ｖ＋ｆ＝12＋14＝26
    右边＝ｅ＋２＝24＋２＝26
公式左右两边相等，公式是成立的。这里再一次证明了图的欧拉公式不仅仅只是适用于平面图，也适用于非平面图。
图4中的非平面管体的面Ｆ＝12，而图中的面ｆ＝14，ｆ比Ｆ多两个，这正好是多面体亏格数Ｎ的２倍，这是因为这种多面体的孔洞洞口在多面体中不是面，而在图中却成了面，一个孔洞有两个洞口，图中就成了两个面。即有
     ｆ＝Ｆ＋２Ｎ                                  （20）
把图与多面体中元素的对应关系ｖ＝Ｖ，ｅ＝Ｅ，ｆ＝Ｆ＋２Ｎ代入任意连通图的欧拉公式（5）得
        Ｖ＋Ｆ＋２Ｎ＝Ｅ＋２                          （21）
（21）式就是非平面型管状多面体的欧拉公式。这种多面体中没有环形面，所以（21）式中就没有Φ这一项，所以它只适合于这种连通的纯非平面型多面体。
图4中的非平面管体，V＝12，F＝12，E＝24，N＝1，代入公式（21）得
    左边＝Ｖ＋Ｆ＋２Ｎ＝12＋12＋2×1＝12＋12＋2＝26
       右边＝Ｅ＋２＝24＋2＝26
公式左右两边相等，公式成立。
把前面的管状多面体的欧拉公式（16）式或（19）式与这里的（21）式比较一下，可以发现，当（16）式与（19）式中的Φ＝０时，（16）式和（19）式都变成了（21）式，两式也都适用于图4中的这种纯非平面型的多面体。所以（16）式和（19）式也就是适用于任意多面体的欧拉公式。
（21）式的非平面管状多面体的欧拉公式Ｖ＋Ｆ＋２Ｎ＝Ｅ＋２在《中国大百科全书（数学卷）》和别的书中已出现过，其中把N也叫做多面体的亏格，其举例子的多面体也是类似于本节图4的非平面管状体，但它那里没有明确指出这种多面体就是非平面管状多面体。
8、多面体万能公式
由于管状多面体的欧拉公式（公式16和19）对于任何多面体都是适用的，所以这里就叫它叫做“多面体万能公式”。即多面体万能公式是
     Ｖ＋Ｆ＋２Ｎ＝Ｅ＋Φ＋２              （16）和（19）

举例：如图5中的多面体V＝48，Ｅ＝80，Ｆ＝33，其中有三个穿过孔洞，即Ｎ＝３，有4个面的闭合边界条数大于2，左侧面上有两条闭合边界（p1＝2），顶面上有三条闭合边界（p2＝3），底面上有两条闭合边界（p3＝2），右侧面也有两条闭合边界（p4＝2），其余的面均只有一条闭合边界。
这个图看起来很复杂，其实只要细心分析，是很容易利用任意多面体的欧拉公式进行计算的。
（1）可以推导出多面体的亏格数的确定办法是：
    N＝                                    （22）
（22）式中，N为多面体的亏格数，p为多面体中的连通孔洞数，K为每一个连通孔洞的表面洞口数，Ki－1表示从任何一个连通孔洞的一个表面洞口进入后可以由Ki－1个表面洞口出来，即Ki－1是各连通孔洞的出口数，Ki－1也就是因有该连通孔洞而形成的多面体的亏格数N。按理，一个亏格就是一个孔洞，且只有两个洞口。如果多面体中有两个孔洞，那么多面体的亏格就是N＝2。但这两个孔洞却在多面体的内部交叉，构成了一个连通孔洞，两个孔洞必然就有一个孔洞的一个洞口是处在多面体的内部面上，从多面体的表面是看不到的。这样，多面体的表面上就只有2×2－1＝3个洞口，这时这个连通孔洞的洞口数K＝3，其出口数为K－1＝3－1＝2，也即该多面体的亏格N就是2。如果由某一个洞口进去而不能从另外的洞口出来，这种所谓连通孔洞的出口数就是K－1＝1－1＝0。这实际上并不是穿过孔洞，而只是一个虚组合部分（因为虚组合部分只有一个洞口，只有进口而没有出口），该未穿过多面体的孔洞就不可能给该多面体产生亏格数。
如何确定一个连通孔洞有几个洞口K呢，这得用实验的方法进行确定。即从连通孔洞的一个洞口向内鼓（或吹）烟，若出烟的洞口数有n个，则这个连通孔洞的洞口数就是K＝n＋1。由这个连通孔洞而产生的多面体的亏格就是K－1。当所有的洞口都鼓进过烟或出过烟以后，则一共鼓（吹）了几次烟，多面体的连通孔洞数p就是几，p也是（23）式求合的项数。
图5中的多面体共有6个洞口，共鼓（吹）了3次烟，一次有2个洞口出烟，一次有1个洞口出烟，一次无别的洞口出烟，即有0个洞口出烟，所以该多面体共有3个连通孔洞，即p＝3，其中一个连通孔洞有2＋1＝3个洞口，另一个连通孔洞有 1＋1＝2个洞口，另外还有一个连通孔洞是虚组合部分，只有1＋0＝1个洞口，所以各连通孔洞的洞口数分别是：K1＝3，K2＝2，K3＝1，整个多面体共有洞口数K＝K1＋K2＋K3＝3＋2＋1＝6，与图中相符。把K1＝3，K2＝2，K3＝1分别代入到（22）式，则图5中的多面体的亏格数N是：
    N＝ ＝（3－1）＋（2－1）＋（1－1）＝3
的确，该多面体中有三个穿过孔洞穿过了，其中有两个是在多面体内部连通的。
（2）还可以推导出多面体中环形面的计算方法是：
        Φ＝                                   （23）
（23）式中Φ多面体的环形面数，F是多面体的面数，p是多面体中各个面的闭合边界的条数。
    把图5中的已知条件代入（23）式得
Φ＝
与图中实际相符合（图中的确也是有5个环形面）。在这里求和公式后面只写了4项，其余的33－4＝29项均为1－1＝0，没有写出。
（3）把V、F、E、Φ、N分别代入多面体万能公式（16）或（19）中得：
左边＝Ｖ＋Ｆ＋2N＝48＋33＋6＝87
右边＝Ｅ＋Φ＋2＝80＋5＋2＝87
公式左右两边相等，公式成立。
     9、多面体欧拉公式的用途
多面体的5个参数V、F、E、Φ、N中，只要知道其中４个，就可以通过多面体万能公式求出第５个。一个比较复杂的多面体中V、F、E、Φ四个参数都比较直观，也好计数，只有亏格数N不但不好理解，也难计数，但可以利用多面体万能公式把亏格计算出来。所以用多面体万能公式来计算多面体的亏格还是很容易的。把（16）式或（19）式变形得
        Ｎ＝                              （24）
用（24）式就可求出任意多面体的亏格。把图5中的数据代入（24）式中，得其亏格数N 为：
        Ｎ＝
＝
与利用前面的公式（22）计算的结果及实际均相符。
10、多面体万能公式的演变
多面体万能公式（或叫多面体欧拉公式）的演变过程如匡图图6。看一个多面体是属于那和中多面体，主要是看其中有没有环形面和看其亏格是否等于0。

     11、多面体的分类和环形面与亏格的关系
多面体按其对应图的平面性可分为平面型多面体和非平面型多面体；按其对应图是否连通可分为连通型多面体和不连通型多面体；按其亏格数N大于或等于０可分为管状体（N＞0）和非管状体（N＝0）；当N＝0时，按其有无环形面Φ还可分为组合体（Φ＞0）与简单多面体（Φ＝0），当Φ＝0时，按其亏格数N是否为0又可分为纯非平面多面体（N≠0）和简单多面体（N＝0）。对应图既连通又无环形面且亏格为０的多面体叫简单多面体；对应图既不连通又含有环形面且亏格又不为０的多面体叫复杂多面体。
通过研究可以看出，各种多面体的环形面Φ与亏格Ｎ的比Φ/ N的值基本上是一定的：
1、在简单多面体中，Φ／Ｎ是0／０型（Φ＝０，Ｎ＝０）；
2、在纯非平面性多面体（非平面管体）中，Φ／Ｎ的值是０（Φ＝０，Ｎ≠０）；
3、在平面连通管体中，Φ／Ｎ的值是１（Φ＝Ｎ≠0）；
4、在平面不连通管体中，Φ／Ｎ的值是２（Φ＝2Ｎ）；
5、在组合多面体中，Φ／Ｎ的值是∞（Φ≠０，Ｎ＝０）；
6、除以上之外的各种复杂多面体中，Φ／Ｎ的值是１到２之间的，因为这种情况的多面体中环形面数Φ一定是大于亏格数N的，但也决不会达到N的２倍。
最后，还得再说几句。我们在这里所得到的多面体欧拉公式，是不需要再进行证明的。因为它的得来就是从任意的多面体出发的，是经过严密的数学推导而得到的，直接就可以在任何一个多面体中去应用。而欧拉以前提出的多面体欧拉公式（立体几何中叫凸多面体欧拉公式）只是欧拉本人从研究仅有的五种正多面体中得来的，只是一个经验公式，要确定它能否适用于任意的多面体，一定是要进行证明的。但一前的证明，均是在欧拉公式的基础上，对一个个别的多面体进行截角（即把多面体的一个多面角削掉），而增加一个与该多面角棱数相等的多边形面，这时多面体增加了比多面角棱数少1个的顶点数，多面体的增加了与多面角棱数相同数目的棱，再代入到欧拉公式中去，公式仍然适用。其实这实质上是在对多面体欧拉公式进行验证，不应该叫做证明。由于多面体的种类是无穷多的，所以这种验证也是永远也进行不完的。
雷 明
二○○八年六月二十七日于神和原
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上文中图和一些公式发不上去.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 雷明85639720 在 时添加 -=-=-=-=-
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luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/09/23 02:57pm 第 1 次编辑]

雷明85639720

卢元宏先生:可否把你的文章改用别的格式上传,看起来真是费力.雷明

changbaoyu

     明更明
上下贯通一体华·
立体平面现实中·
人脑终比电脑強·
相信自已在位中·
2009/11/17众生·

changbaoyu

     明更明
上下贯通一体华·
平面立体现实中·
人脑终比电脑強·
相信自已在位中·
2009/11/17众生·

luckylucky

建议一楼的把如何确定一个面，定义清楚。从你的文章的图1a图1b的例子中，cun在不确定描述。即，你认为m是个平面，且是m是个和N相交但不同的平面。由此你的面数增加了一，但为什么你却忽视了 顶点1，2，3组成的面，和顶点1，4，3组成的面？

luckylucky

补充7楼未说完的。建议你定义清楚如何确定一个面，不是说去学习别人的定义，当然你可以借鉴教材的定义，以使得你的理论和现有理论最大可能的相容。而是你完全也可以给出自己的定义。但我主要是想提醒你，这个定义一定要严谨，并且引用时无差异化。不能想当然的认为对后续证明合理的现象用此定义，而不合理的地方忽视此定义。
另外需要同时提醒一下的是，如果尝试从面扩展到体的角度，那么需要通过面来确定体，如同通过环来确定面。如果想只在面内讨论。特别是讨论非平面图，而不尝试引入高维概念，那么你很容易会在证明中发现有很多矛盾的地方。