Eratosthenes(埃拉朵斯染尼氏)筛法和Goldbach(哥德巴赫)猜想

赵光斗

             Eratosthenes(埃拉朵斯染尼氏)筛法和Goldbach(哥德巴赫)猜想
                                      赵光斗
                         哈尔滨电子仪器厂    工程师（150001）

  摘要 本文用 Eratosthenes筛法证明了，2^2＜Ou＜3^2的偶数可表为两素数之和。
  关键词    组数      素数      Ou     中项
  中图法分类号     O 156.1

                   ERATOSTHENES  SIEVE  METHOD  AND  GOLDBACH  POSTULATE
   
                                     Zhao  Guang  Dou
                         Harbin  Electronic  Instrument  Factory

    Abstract    The  thesis  Proves  for  Eratosthenes  sieve  method,that  each  even  number  Ou  existed  at  2^2<Ou<3^2  can  be  snowed  as  the  sum  of  2  prime  number.
    Keyword     setnumber    Ou    mediant
    MR         11N61

                             一、引                   言
    1742年哥德巴赫（Goldbach)在给欧拉（Euler)的信中，提出了关于整数表素数之和的两个猜想，简略叙述为：
    （A）    每一个≥6的偶数，都是两个奇素数之和；
    （B）    每一个≥9的奇数，都可表为三个奇素数之和。
    对（A）和（B）两命题，由于由（A）可以推出（B），所以解决歌德巴赫猜想的关键，就在于证明命题（A）。[1]
    对于这一问题的证明，从命题“每一充分大的偶数都能表示为一个素数及一个不超过a个素数的乘积之和”论起，当前最好结果是陈景润教授给予加权筛法以重要改进，从而推出“每一个充分大的偶数，都是一个素数及不超过两个素数的乘积之和。”后由王元、潘承洞、丁夏畦等教授有若干简化证明。[2]
    除此文以外，目前偶数表两素数之和的正确性，只能靠验证得到。尹定曾验算至5×108猜想（A）是正确的。[3]
    我们论证的起点是，多大的偶数可表为两素数之和。从这一新的思想开始，可以得到以下结论：
若用Ou表示偶数，则可得
    结论一、    Eratosthenes筛法可以证明：
    2^2＜Ou＜3^2的每一个偶数，都可表为两素数之和；
    结论二、由《素数的序号筛法》可以证明：
    3^2＜Ou＜5^2的每一个偶数，最少可表为一组两素数之和;
    结论三、    由素数的矩阵筛法对于每一个大于25的偶数，可以得到下式：
      “Z（O ）＞      O                                    （Δ）
其中     p＜O＜p
Z(O)     为给定O数表为两素数之和的组数；
（Δ）式中   当O ≡0 (mod p )时为（p-1)；当 O ≡\0 (mod p )时为（p-2)
p（r=1.2.3…k)走过小于p  的所有奇素数；即p =3。”
（注：“”内的（Δ）内容由于用txt文本很难表示，故用wps Office2000转换后暂时保留以上内容，以后有新的方法后再行补记。）
    由（Δ）式可以得到如下两个推论：
    推论1    每一个大于25的偶数，最少可表一组两素数之和；
    推论2    大偶数最少可表为C组两素数之和。
    本文只作为定理给出结论一的证明。对于结论二和结论三的论证及证明它们所用的新筛法，《素数的序号筛法》和《素数的矩阵筛法》，还将在相应文中论述。
                               二、定    义    和    定   理
    定义1    等差数列a_1. a_2.… a_n  简记为｛a_n｝当n为奇数时a_(n+1/2)一项；n为偶数时a_n/2和a_(n+2/2)两项，称为等差数列中项，简称等差中项或中项。
    引理1    ｛a_n｝中当n=2m-1,则(1)式成立；若n=2m,则（2）时成立
      a_1 + a_n = a_2 + a_(n-1) = … = a_(n-1) + a_(n+3/2) =2a_(n+1)/2   (1)
      a_1+a_n=a_2 +a_(n-1) = … =a_(n-2/2)+a_(n+4/2)=a_(n/2)+a_(n+2/2)      (2)
其中  a_(n+1/2)、a_(n/2)和a_(n+2/2)为等差中项,公差为d。
   证     对于｛a_n｝ ，由于
               a_1 = a_1
            a_n = a_1 +（n-1)d
故     a_1 + a_n =2a_1 + (n-1)d
又     a_2 = a_1 + d
         a_(n-1) = a_1 +（n-1-1)d = a_1 +（n-2)d
故     a_2 + a_(n-1) = a_1 + a_n = 2a_1 + (n-1)d
                  …  …  … …  … …
    顺序首末相对两项项数和都为 2 a + ( n - 1) d直到中项。
    对于中项，当n=2m-1时   a_(n+1/2) = a_m
        2a_m = 2a_(n+1/2) = 2[a_1 + (n+1)/2 -1)d]= 2a_1 + (n-1)d
当n=2m-1时（1）式成立。
    当n=2m时，对于a_(n/2) + a_(n+2/2)有
      a_m + a_(m+1) = a_(n/2) + a_(n+2/2) = a_1 + (n/2 - 1)d + a_1 + (n+2/2 - 1)d
      =2a_1 + (n-1)d
故当n=2m时（2）式成立。引理1获证。（注：以上也可以用数学归纳法进行证明，这里略。）
    定义2     ｛a_n｝中, 当n=2m-1时、 m=n+1/2 ，当n=2m时、m=n/2,称m为｛a_n｝中两两相加之和的组数，用Z（x)表示。
    引理2    若q_α 和 q_β都为奇数，Ou表示偶数
                Ou = q_α + q_β                    (3)
则以下关系，成立
    （Ⅰ）   当Ou≡0（mod 4)时
   Z（Ou）= Ou/4   
    （Ⅱ）   当Ou≡2（mod 4)时
                 Z（Ou）=(Ou+2)/4
此处Z（Ou）表示（3）式中q_α与q_β之和的组数。
    证    用Ou表示偶数，显然、只有：
       Ou≡0（mod4）或Ou≡2(mod4)两种情况，（3）式、当q_α=1时必
q_β= Ou-1则
          1、3、5……Ou -1
之奇数为一等差数列，公差为2，项数n=Ou/2   
     (Ⅰ)   当Ou≡0  (mod4)时，n=Ou/2为一偶数，由定义2，m=n/2 故
            Z（Ou)= m = n/2 = Ou/4      
     (Ⅱ)   当Ou≡2  (mod4 )时， n=Ou/2 为一奇数， m=(n+1)/2  故
            Z（Ou）= (n+1)/2 = (Ou/2+1)/2 = (Ou+2)/4           
由（Ⅰ）（Ⅱ）引理2获证。
    引理3    除1以外每一个小于3^2的奇数都是素数。
    证   “2所能整除之数，谓之偶数；非偶数之整数为奇数。”故所有奇数都不是2的倍数。
    根据爱氏（Eratosthenes)筛法，由3^2起筛去一切3的倍数，故小于3^2=9的奇数都不是3的倍数。
    又   3是继2以后的最小奇数，所以小于3^2=9的奇数，除了1以外，都只能被1和本身整除。根据素数的定义，引理3获证。
                            三、定   理   的   证   明
    定理    2^2＜Ou＜3^2的每一个偶数，都可表为两素数之和。
    证    2^2＜Ou＜3^2的偶数，只有6和8，下面分别证明：
    （Ⅰ）  当Ou=6时  由于6≡2（mod4)  由引理2的（Ⅱ）,6表两奇数之和的组数为：
             Z(6) =(Ou+2)/4 =(6+2)/4 = 2
就是说除了1和另1奇数相加等于6以外，还有一组两奇数和等于6，由引理3，另一组必为两素数和。
    （Ⅱ）  当Ou=8时，由于8≡0(mod4)由引理2（Ⅰ）表两奇数和的组数为：
             Z(8) = Ou/4 = 8/4 = 2
除了1和一奇数相加等于8外，由引理3，另一组奇数和，必为两素数和。
    由（Ⅰ）（Ⅱ）定理获证。
                              四、  结                论
    由Eratosthenes筛法可证：
    当   2^2＜Ou＜3^2时的每一个偶数，都可表为两素数之和。

                       参考文献
   
    [1][2][3]  王    元     哥德巴赫猜想研究    （黑龙江教育出版社  1987年11月  第一版  1，18）

hxw

[这个贴子最后由hxw在 2008/11/12 08:23pm 第 1 次编辑]

  赵先生：你好。
你用Eratosthenes筛法证明了，2^2＜Ou＜3^2的偶数可表为两素数之和。2^2＜Ou＜3^2只有两个偶数---6，8。范围这么窄，意义在哪里？

赵光斗

1、是一个证明，不是验证；
2、给出了一个方法；
3、文中给出了其余结果。
见〔对哥德巴赫猜想论证的探索〕一文。

luckylucky

麻烦用你的引理讨论一下8到16之间的情况。如何说明，对于n ，除了n-1,和1 以外，其余的奇数对，均是素数对。当然这个观点本身就是不成立的。而这个观点是从你的引理或定理中出来的。

赵光斗

文中：
“结论二、由《素数的序号筛法》可以证明：
   3^2＜Ou＜5^2的每一个偶数，最少可表为一组两素数之和;”
遗憾没有时间将其发布到网上。原谅！
（时间到了，该下网了。）

赵光斗

偶数Ou=8文中已经证明。

luckylucky

通过你第三部分的定理的证明，是不是说，对于任意偶数2n，如果2n能被4整除，则有2n/4个素数对。如果不能被4整除。则有 (2n+2)/4个素数对？ 请问100的素数对有多少？ 26对素数对吗？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 luckylucky 在 时添加 -=-=-=-=-
我没看仔细，你的意思是100内存在25个奇数对。是不是？那么我想问你，如何证明至少存在一个素数对呢？别告诉我你打算用枚举的方案来说明。所谓枚举的方案即，你要的出在25个奇数对中，为素数对的个数，需要列出非素数对的个数。而为了列出这些个数你需要把100或其对应映射值带入公式中获得。如果代入，则等同于枚举。例如有些人这么做，100以内有3，5，7这3个素数。这实际就是枚举。更别说通过这三个数再与100做除法的工作。因为你要证明任意偶数的话，通过上出方法，等于是要列出任意偶数与所有小于其平方数的素数的关系。这和一个个数没有关系。正是因为自然数是无限的。而目前人们怎么枚举都成立，而不能穷尽艘有自然数中的偶数。所以才叫猜想。希望能通过非枚举的方法来证明。难道你改了一下枚举的方法就叫证明吗？只能说你在继续验证这个猜想，换句话说，叫做你没有给该猜想提出反例而已。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 luckylucky 在 时添加 -=-=-=-=-
“这和一个个数没有关系”打错了。是没有区别。

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2009/11/04 09:53pm 第 1 次编辑]

下面引用由luckylucky在 2009/11/03 10:38pm 发表的内容：
通过你第三部分的定理的证明，是不是说，对于任意偶数2n，如果2n能被4整除，则有2n/4个素数对。如果不能被4整除。则有 (2n+2)/4个素数对？ 请问100的素数对有多少？ 26对素数对吗？-=-=-=-=- 以下内容由 luckylu ...

    正确!
        完全正确!!
        Mn+12(√Mn-1)
L(Mn)=----------------
           Al
         100+12(√100-1)         208
L(100)=----------------------=[-----]=6(实际也是6)
        (2logMn+1)(2logMn+2)     30
   (3,97),(11.89),(17,83),(29,71),(41,59),(47,53)
         1000+12(√1000-1)      1367
L(1000)=---------------------=[-------]=24(实际28)
        (2logMn+1(2logMn+2)      56

                 Mn+12(√Mn-1)
   limL(Mn)=lim----------------=1
Mn→∞   Mn→∞(√Mn-1)(√Mn+1
       因此L(Mn)≥1.
     证毕.

赵光斗

下面引用由luckylucky在 2009/11/03 10:38pm 发表的内容：
通过你第三部分的定理的证明，是不是说，对于任意偶数2n，如果2n能被4整除，则有2n/4个素数对。如果不能被4整除。则有 (2n+2)/4个素数对？ 请问100的素数对有多少？ 26对素数对吗？-=-=-=-=- 以下内容由 luckylu ...

再认真看看然后再发表意见。

申一言

下面引用由赵光斗在 2009/11/05 07:07pm 发表的内容：
再认真看看然后再发表意见。

      你跟谁说话那?