[原创]什么是构形及其不可避免集

雷明85639720

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什么是构形及其不可免集
雷  明
（二○一三年九月十五日）
1、在对四色猜测证明过程中，由坎泊很早以前就提出的构形，实际上就是一个只有一个区域未进行染色的地图或只有一个顶点未着色的平面图，且认为该地图和平面图中已经染色的区域或顶点均为无限多，并且只用了四种颜色，符合着色要求——两个有公共边界的相邻区域或者两个有边相邻的顶点都是具有不同的颜色。没有染色的地图或没有着色的平面图不能称为构形，他们只能叫做地图或平面图。
2、地图是一种特殊的3—正则平面图，其中每一个顶点的度都是3,即每个顶点都连着三条边。地图的一个构形就是只有一个区域未染色的地图，平面图的一个构形就是只有一个顶点未着色的平面图。作为构形来说，在地图或平面图中是有无限多的。但任何地图中却至少存在着一个区域的相邻区域数是小于等于5的，任何平面图中也至少存在着一个顶点的度是小于等于5的。所以说对于任何一个地图来说，被一个区域所包围的区域（国中之国），被两个区域所包围的区域（两国夹国），被三个区域所包围的区域（三国环国），被四外区域所包围的区域和被五个区域所包围的区域，该地图中总是不可避免的要含有其中的一种区域；而对于任何一个平面图来说，度为0的顶点（K1），度为1 的顶点（悬挂顶点），度为2 的顶点（两国夹国型区域的对偶中的所夹国对应的顶点，即2—轮的中心顶点），度为3的顶点（3—轮的中心顶点），度为4的顶点（4—轮的中心顶点）和度为5的顶点（5—轮的中心顶点），该平面图中也总是不可避免的要含有其中的一种。
3、这就分别构形了地图和平面图的不可免构形集：
地图的不可免构形集：｛国中之国型构形，两国夹国型构形，三国环国型构形，四国环国型构形，五国环国型构形｝
平面图的不可免集：｛0—轮构形（K1），1—轮构形（悬挂顶点），2—轮构形（2—度顶点），3—轮构形，4—轮构形，5—轮构形｝
4、对于任一个构形来说，不管其围栏以外的区域或顶点是无限多，还是只有几个围栏区域或顶点，都是同等的，比如说地图中一个四国环国型构形，其外围区域是无限多，还是只有四个，以及平面图中一个5—轮构形，其外围的顶点是无限多，还是只有5—轮的5个轮沿顶点，同样都是四国环国型构形和5—轮构形。一个国家与其外围的四个国家可以是一张地图，在四个外围国家外面的国家数再多一至无穷，也是一张地图，两张地图中都同样含有这样一个周围只有四个国家的国家的构形；一个5—轮可以是一个平面图，5—轮以外的顶点再多一至无穷，也是一个平面图，这两个平面图中同样都含有这样一个5—轮构形。
5、前面说了，作为构形来说，在地图或平面图中是有无限多的，这样就不可能用染色或着色的办法把所有的构形都证明完，看其是不是都是可约或者是不是都是4—可染色（着色）的。但有了地图和平面图的不可免构形集，就可以把一个无限的问题变成一个有限的问题，可以使我们只对有限种构形进行证明，就可以得出任何地图或任何平面图是不是可约的或4—可着色的结论。
6、四色猜测的证明只是对于构形而说的，并不管构形中的区域或顶点有多少个。只要证明了五国环国型构形的地图是可约的，即是4—可染色的，那么不管地图中就是只有这六个国家，还是在这六个国家以外还有无数个国家的地图，这两张地图都是4—可染色的，可约的；只要证明了5—轮构形是可约的，即是4—可着色的，那么不管只是一个5—轮的平面图，还是在5—轮外还有无数个顶点的平面图，这两个平面图都一定是4—可着色的。
7、我们通过运用坎泊所创造的颜色交换技术，可以证明地图和平面图的不可免构形集中的任何一个构形都是可约的，即是4—可染（着）色的，那么任何地图的任何构形，或任何平面图的任何构形，也都是可约的或4—可染（着）色的，因为我们总可以把相邻区域数小于等于5的区域和度数小于等于5 的顶点放到最后来染色（着）色。这就分别证明了地图和平面图的四色猜测都是正确的。
雷  明
二○一三年九月十五日于长安