再给杨老师的信

雷明85639720

再给杨老师的信
雷  明
（二○一三年七月十日）
杨老师：
1、你多次说我的出发点就是错误的，我不得其解，请明示我是错在那里。由于图是多种多样的，有无穷无尽的图，所以不可能把每个图都着色完，四色问题也就无法证明是正确还是错误。所以我不主张用着色的办法对猜测进行证明，而走不对任何图进行着色就想解决四色问题的道路。我的根据就是：图顶点着色的色数与图的最小顶独立集数以及最小完全同态的顶点数都是相同的。所以只要求出了任意图的最小全同态的顶点数，也就等于求得了任意图的最小顶独立集数和顶点着色的色数。我想这一点不会是错的。因为，着色时相邻顶点是不能着同一颜色的，而相邻的顶点也是不能划分到同一个顶独立集内的，正好，图的同化运算也是把不相邻的顶点同化在一起而成为一个顶点。图的最小完全同态的每一个顶点都是由若干个不相邻的顶点同化而来的，这若干个顶点着同一颜色也是符合着色要求的。所以说图的最小完全同态有几个顶点，该图顶点着色时也就得用几种颜色。我想这一点也不会是错的。
我所得到的任意图的最小完全同态的顶点数是与图的密度是有关的，尽管有Mycielski—图与我所得结论不符，但所有的Mycielski—图却都是非平面图，这些图却与我们研究的四色问题是无关的。而我所得到的任意图最小完全同态的顶点数与图的密度的关系对于平面图却是适用的，再加上平面图的密度只有有限的1～4四种，这就把对图的密度来说的一个无穷的问题变成了一个有穷的问题，这是解决四色问题的一个关键。
按我所得的图的最小完全同态的顶点数与图的密度的关系，对于密度小于等于3的平面图来说，其最小完全同态的顶点数都是不会大于4的，而密度是4的平面图中根本就不可能存在不可同化道路，其最小完全同态的顶点数当然也就不会大于4了。
由于图的最小完全同态是一个完全图，各顶点均是相邻的，其着色时一定得要用与其顶点同样多的颜色数。而平面图的最小完全同态的顶点数均不大于4，所以任何平面图的最小完全同态着色时的颜色也就不会大于4。把已着了颜色的最小完全同态的各顶点，连同其已着上的颜色，再按原来同化时的相反方向返回到原图中的位置时，这个图就已着色完毕，各相邻的顶点就均保证了没有使用同一颜色。
2、你说“‘同化道路理论’是没有意义的。首先这只是同态定义的基本应用，你思想为化归思想，这是数学的常识性思想之一，所以没有任何启发性可言”。既然同化运算和我的思想是“数学的常识性思想之一”，那么应该说是没有错的。同化运算也并不是我提出的，图论里早就有这种运算了，只不过是叫法不同罢了。以前图论中把同化一词叫做“收缩”，我认为不妥，收缩按汉语意义上讲是把两个顶点（事物）沿着某种已定的线路收到一起，这条已定的线路就是两个顶点之间的连线——边。而我们现在是把两个不相邻的（没有边相连的）顶点凝结在一起，用收缩一词就不太恰当了，所以我采用了《图论的例和反例》一书中的术语速——同化一词。只不过是应用同化理论寻求图的最小完全同态而已，得出了图的最小完全同态的顶点数与图的密度间的关系。这在以前可能是没有的，我觉得它还是具有“启发性”的。至少我得到的结论把图特别是平面图的最小完全同态的顶点数，最小顶独立集数，顶点着色的色数与图的密度联系起来了，而密度却是任何一个图中的一个最重要的参数。
其次，你还说“不可同化道路的定义很苛刻，不可能有任何有意义的应用，至少对于四色猜想而言的边数较少的图。”不可同化道路就是对图中的某条道路无论怎么进行同化，该道路中总有一个顶点不能同化到图的某一个最大团中去。有一个顶点同化不到最大团中去，图同化的最终结果——最小完全同态一定是一个比图中的最大团的顶点数多1的完全图，当然着色所用的颜色数一定是会比其密度——最大团的顶点数要大的。图中有不可同化道路，说明图的最小完全同态的顶点数和色数一定大于图的密度，否则则说明图的最小完全同态的顶点数和色数一定与图的密度相同。奇圈中有一条不可同化道路，所以密度是2的奇圈的最小完全同态和色数是3，大于密度2；奇轮中也有一条不可同化道路，所以密度是3的奇轮的最小完全同态的顶点数和色数是4，也大于密度3。这怎么能说是“不可能有任何有意义的应用”且是“至少对于四色猜想而言的边数较少的图”是这样呢。我弄不明白这个定义“苛刻”在什么地方。我想如果没有这样苛刻的条件，那不就不存在不可同化道路了吗，不就成最大团外的所有顶点都可以同化到最大团中去了吗，也不就成了任何图的色数都与其最大团的顶点数相等了吗。但事实上并不是这样，这样的不可同化道路的确是存在的，的确有些图的色数是比其密度（最大团的顶点数）大的，比如我上面所说的奇圈和奇轮就是这样的，其中存在着符合我的苛刻条件的不可同化道路，色数的确是比其密度大的。
请杨老师把以上的问题能否说得能具体一点。就象你举Mycielski—图时一样。
再附两篇关于证明猜测的文章：
1、平面图顶点着色色数的上界
2、任意平面图的最小完全同态
雷  明
二○一三年七月十日于长安
说明：
7月20日一位名叫“鉴宝”的朋友要求“雷明，请你把杨卫华这次回信的全文，公布出来！谢谢！”
7月20日我因为杨老师在信中专门提出“以上所述仅为个人看法，不合适之处请见谅。本邮件仅为给你个人之建议，请勿公开。Ywh”，所以我回复道“对不起，这次信中杨老师特意说明了，这次信不要在网上公开。”
我的这封信发出后，杨老师同样也来了回信，未得到别人的允许我在这里也不便公开。至于什么时候公开，要等到我认为适当的时候，也还要征求杨老师的意见后才能进行。