[讨论]评一棵小草的《谈谈轮图的作用》

雷明85639720

与一棵小草、梁增勇谈轮图的作用
雷  明
（二○一三年三月十六日）
3013,3,16,我以对一棵小草的博文进行评论的形式，在其博客的评论栏中发表了《评一棵小草〈谈谈轮图的用处〉一文》一文：
一棵小草朋友，看了你的《谈谈轮图的用处》一文，有几个问题想与你交换，也可以说我与你的观点并不相同，与其说是评论，还不如说是辨论。请看后有什么意见，也请提出来再交换。
1、你有一句“‘可着色的定义’----对颜色数的重新再分配”的话，这句话你没有再更多的加以说明。什么是“可着色的定义”，你在波折号后面的“对颜色数的重新再分配”是一个什么样的概念，也没有说明白。从你的“‘可着色的定义’----对颜色数的重新再分配”这句话看，按中文习惯，波折号后面的“对颜色数的重新再分配”就应是对“可着色的定义”的解释或定义，难道“可着色的定义”就是“对颜色数的重新再分配”吗，这是不对的。好象这句话应该说成“可着色”的定义就是“对颜色数的重新再分配”，但这也不太合适。“着色”本身就是对“颜色”在“进行分配”，用了“几”种颜色对某图进行了符合要求的着色（相邻的顶点不用同一种颜色）时，就可以说该图是“几”—“可着色”的。对一个图的着色，就是对某几种颜色在该图顶点之间的分配，是对“颜色”的“分配”，而不是对“颜色数”的分配，是在“进行”分配，而不是“重新”分配，也不是“再”分配。所以说你以上的那句话应该 改成是“着色——对颜色进行的分配”，这样就可以理解成“着色就是对某些颜色在图的顶点间进行的分配”。
2、你还有几句话：“前者没有用到‘最少可着色’的定义”。……，“前者导致出现了5色定理。而加入最少可着色的定义之后，才能使‘4cc’的证明趋于更合理化！”你在这里的“前者”是指什么呢，后者又是指什么呢，不太明确。“最少可着色”的概念不清，应说成是“最少可着的颜色数”，这不就是图的“色数”或者叫作图的“着色数”的定义吗。当然我把你的文章看到后面时，也发现了你又把“最少可着色”改成了“最少可着色数”。这一改就对了。关键的问题，往往一字之差，意思可能就会不同，给读者难以理解。又从“前者导致出现了5色定理”一句看，似乎“前者”是指坎泊的证明方法——颜色交换技术。难道是坎泊的这一技术导致出现了“五色定理”吗。显然不是。坎泊与赫渥特心里都很明白“色数”就是“最少可着的颜色数”，但他们二人却都没有把赫渥特的图“可着的颜色数”降到“最少”的地步，因而才导致了所谓“五色定理”的出现。其实赫渥特图的“最少可着色数”是4 而不是5，所以说那个所谓的“五色定理”是错误的。这一点，我们大家现在已经都很清楚，在整整的一百年之后才真正的对赫渥特图进行了4—着色。但并不因为赫渥特图能够4—着色这一点就说明四色猜测是正确的，而是还需要进一步的从理论上给以证明。用一个图可以否定四色猜测，但要说明四色猜测是正确的，非得经过严密的理论上的证明不可，因为四色问题说的是任意的平面图的色数都是不大于4的。你后面说的“加入最少可着色的定义之后，才能使‘4cc’的证明趋于更合理化！”这句话也很不明白。对于“4CC”的证明，什么样的证明是合理化的，什么样的证明是不合理化的，你在这里也并没有说明。我想对于某个证明来说，并不存合理不合理的问题，只要能说能问题，能说明任意的平面图的色数都不会大于4，就是合理的证明，是正确的证明。现在四色爱好者的证明方法非常之多，可有谁来给大伙评论谁是谁非呢。所以我说，不知道你这里所说的“证明趋于更合理化”是指一个什么样证明呢。
3、轮图的着色数不大于4这是对的，但他不能代表任意的平面图的色数也都是不大于4的，要说明任意平面图的色数都不大于4，没有严密的正明是不行的。
4、“用了轮图，使‘最少可着色数’进入了证明”这一句也不知说的是什么意思。“已知的4色的重新再分配可以给外围5邻点着3色，v着上4色之一色的。图的结果仍是4-可着色的。”这句话是不是指的就是坎泊的证明呢，或都说就是指我们这些四色爱好者近二十年来对赫渥特图进行的4—着色呢。我认为坎泊采用的证明方法就是对除去了待着色顶点外，在其他顶点中对颜色的“重新再分配”，使得待着色顶点V的“外围5邻点着3色，V着上4色之一色”。“四色爱好者”对赫渥特图的着色不也是在进行着这一工作吗。但这又与“用了轮图，使‘最少可着色数’进入了证明”又有什么联系呢。
5、你说“现在我用它来研究任意简单平面图的最外层顶点所构成的环的‘着色数’。怎么研究？不用别的，就用对偶原理---在图外取一点v,以v为轮图中心，并与简单平面图最外层顶点（n个）连线，于是构成（n+1）阶轮图。当然可依据该轮图的阶数，知道轮图的色数i。于是简单平面图最外层顶点构成的“环的着色数”可以推出为：(i-1)!
“当取i=4，有i-1=4-1=3 。这是简单平面图最外层顶点构成的环的最多着色数！”
你研究的是“任意简单平面图的最外层顶点所构成的环的‘着色数’”，当然这个环与“在图外取”的“一点V”构成了一个“以V为轮图中心，并与简单平面图最外层顶点（n个）连线，于是构成（n＋1）阶轮图。”这个（n＋1）阶轮图的色数一定不会大于4，这是不用说明的，但这与这个（n＋1）阶轮图以外的其他顶点也是否可以用四种颜色着色又有什么关系呢。这里你只是得到了“简单平面图最外层顶点构成的环的最多着色数”都是小于4 的，只说明你“在图外取”的那“一点V”是可以着上四种颜色之一的，而并没有对图中所有的顶点都进行着色，也并不能说明这个图就一定是4—可着色的。这个（n＋1）阶轮图以外的其他顶点能否进行4—着色，还没有得出结论呢。
由于图具有拓扑的性质，平面图也不例外。所以不必要象你说的“在图外取一点v,以v为轮图中心，并与简单平面图最外层顶点（n个）连线，于是构成（n+1）阶轮图”，而是从图中的任何一个面中都可以得到这样一个“（n+1）阶轮图”。
6、你在《数学中国》网上发贴已经指出了梁增勇《四色定理最新证明》一文有循环论证的问题，即从四色定理出发论证四色猜测，怎么你在这里又与梁的观点相同了呢。你单用你在上面得到的“简单平面图最外层顶点构成的环的最多着色数”都是小于4 的这一结论，就得出任意平面图的色数都不大于4，不能不让人认为你也有循环论证的嫌疑，你就凭这一点就能说明任意平面图的色数都是不大于4的吗。
7、你说“先把v的邻点依照轮图的着色规律着成3色，然后再着图的其它部分。这样得到的图作为归纳假设4-可着色的图，由此出发再去论证，第(n+1)个点也是4-可着色的。显然，这样处理只是改变了着色的次序而已，没有什么不允许的！由于归纳假设前n个顶点的图已是4-可着色的，而v的外围已着3色，轻而易举地推出给v着上4色的另一色即可。”
“先把v的邻点依照轮图的着色规律着成3色，然后再着图的其它部分。这样得到的图作为归纳假设4-可着色的图，由此出发再去论证，第(n+1)个点也是4-可着色的。”请问，这还要去证明吗，既然V的邻接顶点只用了三种颜色，那么你直接就给V着上第四种颜色不就行了吗。关键的问题是你那n个与V邻接的顶点以外的其他顶点是如何着色的，你证明没有证明这些顶点就一定能够4—着色呢。如果证明了它们也是能够4—着色的，你的归纳法假设才是成立的，否则，证明不了它也是能够4—着色，这样的假设本身就是错误的。连假设都是错误的，还能得到正确的结论来吗。你好好的想一想。
“显然，这样处理只是改变了着色的次序而已，没有什么不允许的！由于归纳假设前n个顶点的图已是4-可着色的，而v的外围已着3色，轻而易举地推出给v着上4色的另一色即可。”
你在这里的n与前面的（n＋1）阶轮中的n有点混淆了，这里的n是指除了“在图外取”的那“一点V”外的所有顶点，而在（n＋1）阶轮中n却只指（n＋1）阶轮除去其中心顶点V外的n个轮沿顶点，这里的n一定是大于等于（n＋1）阶轮中的n的。你这一混淆，就误把（n＋1）阶轮是可4—着色的，当成了除了待着色顶点V以外的其他顶点也是4—可着色，也把（n＋1）阶轮是可4—着色的当成了归纳法的假设。
象你前面说的对颜色进行“重新再分配”一样，一般的证明都是先假设除V以外的所有顶点都是可4—着色的，然后再对图中的颜色进行“重新再分配”，使与V相邻的顶点最多只点用三种颜色，然后把第四种颜色给V着上。可你在这里却是“先把v的邻点依照轮图的着色规律着成3色，然后再着图的其它部分”。而没有说给其他的顶点能不能4—着色，也没有证明其他的顶点能不能4—着色，就把“这样得到的图作为归纳假设4-可着色的图”，这是不正确的。既然V的邻接顶点只用了三种颜色，给V就可以直接着上四种颜色之一，还需要你证明干什么呢。所以我认为这个“着色的次序”是不能“改变”的，这样的“改变”是“不允许的”。归法的假设不但要假设除V外的其他顶点只用了四种颜色且是附合着色要求的，还要假设与V 所邻接的顶点已占用完了四种颜色。只有这样，才能使用你所说的对颜色的“重新再分配”，把V周围的顶点所用的颜色由四种减少到三种，给V着上四种颜色之一。这才叫归纳法证明。
8、为什么坎泊和大家都只证明到待着色顶点的度是5的情况，即5—轮的情况，是因为任何平面图中都一定存在着一个顶点的度是小于等于5 的，这已是图论中已经证明了是千真万确的事实。所以着色时一定可以找到一个度小于等于5 的顶点留作待着色顶点，然后再通过坎泊的颜色交换技术或者是你所说的颜色的“重新再分配”，从待着色顶点的邻接顶点中空出一种颜色给V。这就是采用“着色法”证明猜测时为什么只证明到待着色顶点的度是5时就可以得出结论的原因。这也是把一个无穷的问题转变成了一个有穷问题的关链所在。
9、一些网友提出要看看你“是怎样由4色变为3色的”“过程”，这难道不应该吗，你既已由4色变到了3色，总是要有一个“过程”的，你写出来让大家看看有什么不可以呢。难道大家要的“过程”就是你在后面回答的那种“先把v的邻点依照轮图的着色规律着成3色，然后再着图的其它部分。这样得到的图作为归纳假设4-可着色的图，由此出发再去论证，第(n+1)个点也是4-可着色的”吗。这算是什么对颜色的“重新再分配”的“过程”嘛。你这里根本就没有出现V的邻接顶点占用了4 种颜色的情况，如何能称作“由4色变为3色的”“过程”呢。你的观点吧，你的逻辑吧，或者叫做你的证明吧，要是能被别人心悦口服，人家就得要看到你对颜色的“重新再分配的“过程”，你这样不叫人家看到这个“过程”的做法总是不太合适吧。你的所谓“用规律不用看过程”的说法是错误的，你却把它说成是“科学的方法”，这完全是错误的。
10、我还是要进一步宣传我的观点，用着色的方法是不可能最终证明猜测是正确还是不证确的，必须使用图论的方法，不对任何图进行着色就应该使猜测的正确与否得到彻底的证明。自猜测1852年提出后，1879年坎泊给了一个证明，得出结论认为猜测是正确的；1890年赫渥特构造了一个图，其与坎泊两人都不能对其进行4—着色，对坎泊的证明进行了否定；一九九○年以后，业余数学爱好者多人都对赫渥特的图进行了4—着色，说明赫渥特的图不是不可4—着色的，其中雷明的方法叫“断链法”；米勒也对赫渥特的图进行了4—着色，他用的方法叫“逆时针赫渥特颠倒”，但他后来又构造 了一个图，用他的“逆时针赫渥特颠倒”在对他的图进行着色时，自认为出现了循环，不可能给他的图中的未着色顶点着上已用过的四种颜色之一，从而又对自已的方法和猜测的正确性怀凝了起来；张彧典原来认为除了他的八个构形以外，再没有别的构形了，而他对这八个构形都用他的“Z换色程序”进行了4—着色，但用他的这种方法对米勒图进行着色时，却得不到结果，他却用别的方法对米勒图进行了4—着色，所以张又把这一方法叫做“Z＇换色程序”，又把米勒的图与他原来的八种构形一起统称为九大构形，认为这就是平面图的不可避免集（至于张先生的“换色程序”与这个构形集是否正确与我在这里要谈的问题则是两码事）；没完没了的。现在还不知道以后会不会再构造出什么图来，以前的着色方法还能不能对其进行4—着色。如果再没有人能对新构造出的图进行4—着色时，是不是又要对目前爱好者的证明还要进行否定呢。如此这样不断的否定下去，那猜测还要不要得到证明呢，何时是个头，何时才能证明完而得出正确的结论呢。永远也是不可能完的，永完也是得不出正确的结论的。所以我不主张用着色的方法对猜测进行证明，作为研究着色的方法去进行研究还是可以的，但做为对猜测的证明去进行研究则是万不可以的。只要不用着色的方法能证明了猜测是正确时，就是将来再有人对他构造的图不能4—着色，也就不可能再对猜测的正确进行怀凝了。这好比10×10＝100，而有些人水平差一点，得到的结果尽管不是10×10＝100，而不能再怀凝10×10＝100是否正确的道理是一样的。
雷  明
二○一三年三月十七日于长安
附：一棵小草的回复：
2013,3,18,一棵小草留言：
雷明：最近看到您正在评论张彧典的文章，我就没来打扰您，只是时常来学习。今天看到您对本人《轮图的用处》的大篇幅的评论，很高兴。不知您现在对轮图的观点怎样？我的文章基本没人来看。只有“您好”先来看，并做了简单明了的沟通！他认为不是轮图。对您的评论我正在学习，看看您有什么新观点？
我为什么说梁增勇有循环论证呢？根据是---他的的帖子（略）。
定理4 极大平面图图色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。
其中他在定理4 的最后，写到：“这也是四色定理成立的理论的必要条件。”我是根据他这段文字，而下的结论！如果没有这段文字，而只有“外围色数< 、=3”那我就不能断定他是循环论证了。
2013,3,19,一棵小草评论说：
雷明：
我的文章质量实在是欠佳，您的有关订正都是非常正确的，十分感谢。不过，您的大部分内容已看懂；我很欣赏您的理解力。
1）我为什么说梁增勇有循环论证呢？根据是---他的的帖子：
一、四色定理的证明1（理论基础）：平面图正常着色的的唯一条件和四色定理的本质：
定理1  顶点和边在颜色关系中的限制和隔离作用。
定理2  圈在颜色关系中的限制和隔离作用。
定理3  三角形结构仅有延伸和轮形两种邻接方式。延伸方式（即一个三角形结构增加一个顶点和两条边构成新的三角形结构）子图色数=3。轮形方式构成的子图色数=4。
（2）轮形：在间隔的或首尾两个顶点间增加一邻接边形成一个新的轮图（封闭），当外圈为偶圈，子图色数=3；而当外圈为奇圈，子图色数=4，如图4：
定理4 极大平面图图色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。
定理5 连通图分支（块）的顶点颜色可以互换调整，颜色（正常着色）关系不变。
定理6 连通图图色数≤4，外圈色数≤3。
定理7（四色定理）任何复杂的平面图的色素集合是所有子图的色素子集的并集，且图色数由色数最大的子图（连通图）所决定。因此，任何平面图图色数≤4。
其中他在定理4 的最后，写到：“这也是四色定理成立的理论的必要条件。”我是根据他这段文字，而下的结论！如果没有这段文字，而只有“外围色数< 、=3”那我就不能断定他是循环论证了。
想通了吗，朋友？
2） 在《谈谈轮图的用处》一文，我并没有去证明----“任意平面图的色数都是不大于4的。”如果说有证明的话，那只能说围栏顶点色数不大于3 ！其中用的方法是“对偶原理”。我看到您有几处都提到，我没有证明*****，我的目的是只讲轮图的用处。
3）首先告诉您，本文不使用交换法；因此您不必往交换上理解。如果想理解也可以，要知道Kempe的交换法并没有最后解决问题。这也是我写这篇文章的原因。
4）通篇文章的实质都是在围绕如何理解归纳假设---用图论已有的知识检查Q构形的已知条件，这是我的第一个例子。我选择的是轮图的色数定理；有不同意者您也可选择别的什么。不认为是轮图的，那个接口起码还是个“圈”吧，用“偶圈”来检查已给的圈是不是达到了要求？为什么检查呢？不检查，如果归纳假设都错了，您还能往下进行吗！？图论发展到今天，已经有了好用的工具；不能停留在肯普的时代了！
2013,3,19，我回复说：
朋友，是你错了，我没有说过梁增勇是对的。
1、你在《数学中国》网上发贴指出梁增勇是循环论证后，我紧跟上就也重复了我以前对他的循环论证的看法，这本是支持你的观点的，没有说你说得不对，所以，你给我的那些解都是多余的。梁的定理4说“极大平面图图色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”这本来就是错的，是矛盾的。既是极大图，各个面一定都是3—圈，不存在他说的所谓“外圈”；这里他的“外圈色数≤3”说明他所说的图的“外圈”的顶点数是大于等于3的。既是有“外圈”，且“外圈”的边数（也即顶点数）是大于等于3的，这不就与前提“极大平面图”有了矛盾吗。极大图若有“外圈”，这个圈也一定只能有三个顶点，那么，在这个“外圈”以外增加一顶点，这个顶点必然可以用第四种颜色了。但这个图还仍是一个极大图。实际上梁增勇所指的图的“外圈”是大于3个顶点的，且是只最多占用了三种颜色。如果这个“外圈”占用了两种颜色，则这个“外圈”至少要有四个顶点，但这又能叫极大图吗。看来在这里梁是把图中的无限面根本就没有认为是图的一个面。
2、四色定理成立的条件只能是所研究的图是平面图，即图的格是0，除此，再没有别的条件。如果再列举别的条件，那还叫什么对于任意的平面图来说其色数都不大于4吗。
3、朋友，我的文章虽“欠隹”，但你又说我的“有关订正都是非常正确的，十分感谢”，之后你又补充说你对我的“大部分内容已看懂；我很欣赏您的理解力”。可能是我的理解能力差吧，你的回复文章最后一段有：“不认为是轮图的，那个接口起码还是个“圈”吧，用“偶圈”来检查已给的圈是不是达到了要求？为什么检查呢？不检查，如果归纳假设都错了，您还能往下进行吗！？”我读了几次，也不知你在说什么。你这里的“接口”是指什么，又为什么是个“圈”呢，如何用“偶圈”来检查“已给的圈”是不是达到要求了呢，这里的“要求”又是什么呢，“为什么检查呢”是指什么呢，是谁“不检查”呢，谁的“归纳假设都错了”呢，你是在问谁“还能往下下进行吗”。这一些你都说和没头没脑的，叫人该怎么给你回答呢。
雷明，2013,3,19,
2013,3,19,我再次回复：
朋友，你还说“图论发展到今天，已经有了好用的工具；不能停留在肯普的时代了！”这里请你说说“好用的工具”是什么。是的，不能停留在坎泊的时代，但你说说你的颜色“重新再分配”与坎泊的颜色交换有什么曲别呢。你的“重新再分配”，不也是要在某些链中进行颜色交换吗。难道叫个不同的名称不，实质就不同了吗。请你说说你的颜色“重新再分配”是怎么个“重新”和“再”“分配”的方法，把你的过程想得明白一些。雷
2013,3,20,我再次回复一棵小草：
1、关于轮图色数与四色猜测的关系问题：
轮图是平面图的一种，是子集合，是部分，平面图则是整体，其中包含着轮图在内。适合于整体的东西也一定适合于部分，但适合于部分的东西不一定适合于整体。比如平面图中团的顶点数都不大于4，这也适用于轮图，因为轮图中团的顶点数是不大于3的；但轮中团的顶点数不大于3，却不能说明平面图中团的顶点数也都不大于3，因为平面图中还有含有K4团的图，K4团中的顶点数就4就是大于3的。还有，轮图的密度（图中最大团的顶点数）不大于3，但不能说平面图的密度也不大于3，因为平面图中还有密度是4（图中最大团的顶点数是4，即K4团）的图；轮图的色数不大于4，但不能说明任意平面图的色数也不大于4；只有证明了平面图的色数不大于4 时，轮图的色数不大于4也才有基础，也才能成立。
2、关于梁增勇所谓的定理4的问题：
梁说“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”这是错误的。四色猜测成立的必要条件就是图是平面图，再无别的条件了。首先“极大平面图的色数≤4”他没有证明；另外按梁的意思就是说只有图是极大图，或者外圈色数≤3，即外圈的顶点数≥3时，四色猜测才是成立的；而当图是非极大的平面图，或者外圈的顶点数是不大于3的平面图时，四色猜测就不成立了；这么说，你还费这么大的力气在这里证明什么呢，这不就明明白白的说明了并不是对于所有的平面图来说四色猜测都是成立的了吗；你干脆就直接否定了四色猜测不成吗。另外，我在这里把梁的两个条件还只是认为是单独满足的，如果这两个条件要同时满足时，你看看这是一个什么样的图。两个条件成了对立的了：既是极大图，图中就不可能有顶点数大于3的圈；既是存在有顶点数大于3的圈，那么图就不可能是极大图。梁把这两个条件用在这里，并不说明该两个条件是一个什么关系，是不应该的。
雷明，2013,3,20
2013,3,20,刘福（即一棵小草）回复说：
《只有证明了平面图的色数不大于4 时，轮图的色数不大于4也才有基础，也才能成立。》
这么说轮图的色数定理就有问题了？它在离散数学中早就有了，在这之前，从来没有听说“谁”“证明了平面图的色数不大于4.”
雷明下帖《但决不能说轮图的色数是小于等于4 的，就说明任意平面图的色数就是小于等于4 的》这是从何而来的问题呢？！
请问，“轮图的色数定理”的存在是有目共睹的，您怎么解释？
2013，3,20,我回复：
正因为没有听见过谁证明了平面图的色数不大于4，大伙才都在寻找着证明的方法嘛。如果已经证明了，我们现在还在研究什么呢。我的那句话我也觉得不太妥，但决不能说轮图的色数是小于等于4 的，就说明任意平面图的色数就是小于等于4 的，这是要经过证明的。你也不要叫我举例，我也举不出来，但不能因为我举不出来色数大于4 的平面图，就说明四色猜测对于任意的平面图都是正确的。如果我能举出来，那不就是对猜测的否定吗。要证明猜测对于任意的平面图都是正确的，必须要从任意的平面图出发。
2013,3,20,任在深回复：
快说道点子上了！
》》》要证明猜测对于任意的平面图都是正确的，必须要从任意的平面图出发。《《《
2013,3,20,一查小草回复我：
在数学中国，梁增勇帖子的后面，您是在支持我的看法，我早就看出来了。这是我第一次向您解释；希望解除误会。以后咱们都不要计较这个！这一次在回复您的评论中，我再一次提到关于“循环论证”的问题----使用了“设问”，并没有我不满意的意思！我是感到您不懂得“我为什么说他有循环论证”。是希望您再想一想，彻底搞明白。就是现在，我也认为您还没有弄明白。我不是瞧不起您，我对您还是比较了解的；当我感到要必须帮助对方的时候，我是不怕费口舌的。不过一般情况下，我不轻易说出别人的缺点。尤其是学术上，因为理解不同是很普遍的现象，一方往往误判。您在下文谈的四色定理成立的“条件”，根本就不是梁在定理4 中的条件。它不是字面上的意思，它是【甲推出已，已是甲的必要条件】的意思。
暂时到这。
2013,3,20,我再次回复：
如果说可以根据轮图的色数≤4，就能直接得出任意平面图的色数也是≤4的，那么也可以说可以根据圈图的色数≤3，也可以直接得出任意平面图的色数也是≤3的，或者再根据树图的色数是2，也可以直接得出任意平面图的色数也是2，甚至还可以根据平凡图K1的色数是1，也可以直接得出任意平面图的色数也是1，这是不可能的，也是错误的。只有证明了任意平面图的色数是≤4时，那么以上属于平面图的轮图，圈图，树图及平凡图的色数也都可以说是≤4的。这完全可以说明只适用于部分的东西，不一定都适用于全体，而对于适用于全体的东西也一定必然适用于部分。可现在的问题是适用于全体的结论还没有得到，即四色猜测还没有证明是正确还是错误。尽管有了适用于部分的东西，但它却是不一定能适用于全体的。因此，我们才费大力气在研究这个适用于全体的东西——四色猜测是否正确的问题。雷明
2013,3,20,一棵小草回复：
雷明：（1）《如果说可以根据轮图的色数≤4  ，就能直接得出任意平面图 的色数也是≤4的》这是从哪里拿来的命题？！我的文章里有吗？（2）您说《【只有】证明了平面图的色数不大于4 时，轮图的色数不大于4也【才】有基础，【也才能成立】》。请问，现在（也就是当下）轮图色数不大于4是否成立？按您的意思，是不成立。那就谈不到什么应用了！（3）您的评论都很有特色，有许多我力不从心、本人水平所限，我需要认真学习消化后再回复，请耐心等待。您提出的问题最好是我的文章里的。
2013,3,21,我回复：
朋友，第1点，我认为你是想通过轮图的色数不大于4来证明四色定理的，你现在说你没有这种想法，那就说明我们的观一致的，也就没有辨论的必要了。第2 点的前半部分，我已在《数学中国》中回复了你（LIUFU） ，不再重复；后半部分，我没有说过轮图色数不大于4 不成立，我只是说不能因为轮图的色数不大于4 ，也就得出任意平面图的色数是不大于4的；现在这样回答是否可以。第3点，我就耐心的等待。雷明
2013,3,21,我又回复：
我现在再把我3月20日在《数学中国》上回复LIUFU的话转发如下：（略）
2013,3,20,刘福说：
值得深思的命题：
《只有证明了任意平面图的色数是≤4时，那么以上属于平面图的轮图，圈图，树图及平凡图的色数也都可以说是≤4的》。
2013,3,21,我回复：
以上这句话是否可以改成这样更好一些：“只有证明了任意平面图的色数是≤4时，也就包含了轮图，圈图，树图及平凡图的色数。”；或者说成“只有证明了任意平面图的色数是≤4时，轮图，圈图，树图及平凡图的色数也就在其其中了。”
2013,3,21,一棵小草回复：
雷明：
看了21日您的回复才知道，原来命题（1）是您说的。
（1）轮图的色数不大于4，但不能说明任意平面图的色数也不大于4；（2）只有证明了平面图的色数不大于4 时，轮图的色数不大于4也才有基础，也才能成立。
这里分号前的判断（命题）明显是假命题。分号后可看成是前命题的逆命题。我搞不清楚它们有什么因果关系。诸如后面您用类比的方式写出的这些：
如果说可以根据轮图的色数≤4，就能直接得出任意平面图的色数也是≤4的，
（3）那么也可以说可以根据圈图的色数≤3，也可以直接得出任意平面图的色数也是≤3的，
（4）或者再根据树图的色数是2，也可以直接得出任意平面图的色数也是2，
（5）甚至还可以根据平凡图K1的色数是1，也可以直接得出任意平面图的色数也是1，【这是不可能的，也是错误的】。
您自己都说【是错误的】，怎么能拿来推理呢？！这就是对命题的关系还不清楚造成的！同理它们的逆命题与原命题也没有因果关系。
你又用判断“只有证明了任意平面图的色数是≤4时，那么以上属于平面图的轮图，圈图，树图及平凡图的色数也都可以说是≤4的”推理得出：
这完全可以说明只适用于部分的东西，不一定都适用于全体，而对于适用于全体的东西也一定必然适用于部分。可现在的问题是适用于全体的结论还没有得到，即四色猜测还没有证明是正确还是错误。尽管有了适用于部分的东西，但它却是不一定能适用于全体的。因此，我们才费大力气在研究这个适用于全体的东西——四色猜测是否正确的问题。
雷明同志，现在【四色猜想】解决了吗？然而---轮图、圈图、树图、平凡图的色数却都有了，怎么解释？
您用的思维方式，真是别具一格；我看不出因果关系来。我只求保留我的继续学习的权力。
2013,3,21,梁增勇回复：
1、轮图的色数≤4在图论中已成定理。
“不难证明以下几条色数的性质：
(3)偶圈色数为2，奇圈色数为3，奇阶轮图的色数为3，偶阶轮图的色数为4。”
这是抄自《离散数学》（屈婉玲等著）一书。
《图论》（王树禾著）一书也有“奇轮色数为3，偶轮色数为4”的叙述（92页）。
其实证明确实不难(我是作为引理使用)，搞图论着色研究的人不会去质疑这种小case。
2、“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”
在本文中似乎没有这个说法，假如有是不妥的。
我的主导思想和提法是：
“三角形结构平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”
这也一定是对的。假如做不到这样，也就是说非得三角形结构平面图的外圈色数 = 4 才是正确的，那么再在这个三角形结构平面图的外面增加一个顶点，该顶点与三角形结构平面图的外圈的顶点有邻接边，那么该图的色数就等于5了。那样就不是四色定理的证明了。
3、我没有说“证明轮图色数≤4，就已经证明平面图的色数≤4 。”
本文只证明了三角形结构平面图的不可避免构形集只有延伸结构和轮形结构，且它们的色数都≤4 。这是根据使用不可避免构形集的证明方法做了第一步和第二步。
我的观点是还差最后一步，证明以这两种构形为基础在组成复杂的三角形结构平面图G中可以使图G的色数≤4 ，不会产生颜色冲突，那么就大工告成了（这步是最难的，鉴于时间关系，同时也想把握论文的严谨性，所以第二篇论文还不能出笼）。
最后，谢谢各位给我那么多的评论，共同探讨寻找正确的四色定理证明的理论方法。
2013,3,22,一棵小草回复：
雷明：接前面（4）（即一棵小草3,19,回复中的（4）——雷注）
5）您在（7）中谈到“关键的问题是你那n个与V邻接的顶点以外的其他顶点是如何着色的，你证明没有证明这些顶点就一定能够4—着色呢。如果证明了它们也是能够4—着色的，你的归纳法假设才是成立的，否则，证明不了它。”我的雷明同志，难道“归纳假设”还要证明吗？您怎么质问到这里了！我写文章就是用轮图来处理归纳假设的接口问题！您从头看看我的文章，有没有“这相当于”-----。
归纳假设是归纳法第二步，不需证明，它来自于证明本身的逻辑关系；虽然不用证明，但有个关键问题是（以Q构形为例)给出的接口有问题,在不使用换色法的情况下如何处理呢？用轮图色数定理检查接口（5个邻点）的着色数。如果您不认为（归纳假设图）是论图的，可用偶圈色数来检查。用“色数”来规范着色！
您这里谈的与我文章的三有关---即对归纳假设的变通。其实对于像您这样的高级读者（在您的评论5中）已具有图形拓扑变换的能力是不需要变通的。我这一节是专门写给对归纳假设有模糊认识的人。没成想起到画蛇添足的作用。比如您证明4cc，归纳假设就是【假设平面图G四色成立】，这时候您总得画一个图出来，并且带着5个邻点，做上颜色标记，让读者参考。您去做过这一过程没有，把图画出来总有个先画什么后画什么吧。一般书上给您的就是一个图（看不画图出过程）。不管您怎样画，应该都是允许的！文章中的允许也是这个意思。如果当您见到的接口给出了4色，您不要以为这是唯一的一种！您想一下，Kempe为什么要用交换法，因为4色多了，需要减掉。我的文章不需要换色法，用轮图色数定理判断接口的色数！这就是我要告诉大家的。由于用色数定理，没有了演示的过程，网友看不到，又不去思考----我想到这些后----才写上一节变通的。根本就没有人来问我---要看看过程（不存在像您的评论（9）说的那样。我从梁的文章中，看得出来他画过，才得到了定理4.要想看懂，自己得有这个过程。否则，丈二和尚摸不着头脑！您要想理解这个过程，把这个归纳假设用的图自己画一个，顺序您自己定。因为不需证明，您就从5邻点开始画，一定要用最少着色，根据是轮图；不承认是轮图的就用圈的色数---只要是色定理就行。如果您认为这个大图里的轮图不能用轮图定理，哪就是观点的问题了，随您的便。如果您不会这样变通，使用拓扑变换也是可以的----本无内外圈之别的。如果您的思维就不想去变通，那是在上当受骗；书上给出的5邻点4着色，就是让您上当！
2013,3,22,一棵小草又回复：
雷明：接（5）
说白了，书上给的图是有错误的---用可4-着色迷人。证明者只要有眼力---给指出来就是成功----干嘛非得去交换----就用图论中的定理多好。今天梁在他的文章后面第一条就写出轮图的色数，并指出他曾当引理使用。
2013,3,22,梁增勇回复：
“只有证明了任意平面图的色数是≤4时，也就包含了轮图，圈图，树图及平凡图的色数。”；或者说成“只有证明了任意平面图的色数是≤4时，轮图，圈图，树图及平凡图的色数也就在其其中了。”
这中说法是错的！
轮图，圈图，树图及平凡图是局部的结构，它本身的色数与全局无关！
例如三角形的色数就是3，你放到任意平面图（全局）它本身的色数还是3！
所以才有轮图色数≤4的定理。我们在说轮图的色数都是以一个轮图（单元）来说的。
当然，在平面图中，各个三角形的顶点颜色不一定相同，有的可能是（1，2，3），有的可能是（1，3，4），...。但就单个三角形结构的色数还是3！注意：色数与颜色的种类无关！
2013,3,22,我回复梁增勇：
梁增勇朋友：
1、轮图的色数是不大于4，圈图的色数是不大于3，圈图的色数等于2，平凡图的色数等于1，这都是对的，这些色数一定都是包含于任意平面图的色数之内的。但任意平面图的色数至今还未能得到证明是否是不大于4 的。不能说“轮图，圈图，树图及平凡图”只“是局部的结构，它本身的色数与全局无关！”而应该说他们的色数是决不会大于任意平面图的色数的。你在“所以才有轮图色数≤4的定理”一句后面补充说“我们在说轮图的色数都是以一个轮图（单元）来说的。”这是对的，就正是因为“轮图的色数都是以一个轮图（单元）来说的”，所以才很难保证在着色时能做到使每一个顶点的相邻顶点所构成的轮的轮沿顶点都只占用三种颜色，这就产生了着色到最后只剩下一个顶点未着色时，与其相邻的顶点有可能点用完了四种颜色的可能，这才要我们去证明能否把这四种颜色变成三种，空出来一种给未着色的一个顶点着上。
2、你的文章中是否说过“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”我没有注意，你贴中一说，我上翻了一下，的确你在一楼一开头是说过的。但我在这里的引用是从一棵小草那里来的。我认为“极大平面图”与你后来更正的“三角形结构平面图”应是一回事，因为极大平面图的各个面都是三边形面，而你这里说的“三角形结构”的各个面也是三边形面，二者应是一样的，望你想想是否是样。当然如果你认为你的“三角形结构平面图”里至少有一个面的边数是大于3的，我也就没必要再多说了。我不知你这里的“外圈色数≤3”是不是要说明：在这个外圈中增加一个顶点，使其与外圈各顶点构成一个轮，这个顶点的颜色就可以用四种颜色这一了。如果是这样的话，你上面的话应说成是“由于三角形结构平面图的色数≤4（这一结论如何证明的我没有注意看到你证明了没有），所以当图的外圈的色数≤3时，四色猜测是成立的。”这样就说明这是一个只适用于部分图的色数定理，但这个定理比轮图色数定理又要靠近任意图一些了。但还没有证明四色猜测就是正确的，因为你把它只是作为一种定理在应用，目的还是想得到解决四色问题的办法。祝你早日找到解决的办法，早日成功。但不能象有些人那样，认为轮图的色数不大于4，对一个任意图着色时，外圈的色数就一定也能不大于4，就把第四种颜色给V着上就可以了。这还要去证明什么呢。难道着色时，所谓的外圈的色数就只能≤3，而不能有大于3 的可能吗。遇到了这种情况又如何处理呢，这不还是要我们去证明吗。
3、看来你的文章我还得再好好的学一学，以后我们有机会再聊。
3013,3,22,我又回复一查小草：
一棵小草：
1、轮图的色数不大于4，但不能说明任意平面图的色数也都不大于4。这是对的。适用于部分的东西不一定就能适用于整体。这也是对的。轮图的色数不大于4是对的，圈图的色数不大于3 也是对的，树图的色数等于2也是对的，平凡图K1的色数是1也是对的。可对于任意的平面图来说，是不是色数一定不大于4 ，目前还没有被证明是正确的。尽管宣布自已已经证明了猜测的人很不少，但都没有被数学界所公认。尽管你在前贴中也不认为因为轮图的色数不大于4 ，就可得出任意平面图的色数也是不大于4 的，但我还是要重复我的这一观点。如果能从轮图的色数不大于4，就直接得出任意平面图的色数也是不大于4 的，那不就说明四色问题就已经解决了吗。那我们大家还在这里费这么大的力气，还在证明什么四色猜测正确不正确呢。
2、四色问题没有解决，难道就不能得出轮图，圈图，树图和平凡图的色数了吗。你问：“现在【四色猜想】解决了吗？然而---轮图、圈图、树图、平凡图的色数却都有了，怎么解释？”看来你是认为轮图，圈图，树图和平凡图的色数都有了，就说明四色问题也已经是解决了。你既然说了“如果说可以根据轮图的色数≤4，就能直接得出任意平面图的色数也是≤4的”这句话在你的文章中没有，那么就说明你也不认为直接从轮图的色数不大于4 可以得出任意平面图的色数也是不大于4 的，也说明了四色问题还是没有解决嘛。怎么你昨天又发出上面的问话呢，这不是前后矛盾吗。今天（22日）和前天（20日）不是矛盾吗。
3、我的思维方式也没有什么特别，你“看不出因果关系来”就慢慢的看，我们再慢慢的交流。我的文章发到网上，就是让人看的，谈不上学习，我们只能是互相学习。不过我很早大胆的的提出了用不对任何图着色的方法而用图论的方法证明四色猜测，也有点与人不同，不过这也不是什么稀奇的事，科学技术的发展不就是在这样的与众不同的构思中不断的向前发展的吗。现在不是有好一些人走上了不用着色的方法对猜测进行证明的道路吗。你不是也说了你的文章“不需要换色法”吗。不过我总感到你最近的思想有点混乱，一会儿这样，一会儿那样，从你的文章和你的回复中，看不出你到底是一个什么想法，我着摸过来着摸过去，还是弄不明白。比如，除了上面的矛盾外，还有你在《谈谈轮图的作用》一文中认为要对颜色进行“重新再分配”，而今天的回复中又说“我的文章不需要换色法，用轮图色数定理判断接口的色数！这就是我要告诉大家的。”
4、归纳法的假设不但要假设除V外的其他顶点只用了四种颜色而且是附合着色要求的，还要假设与V 所邻接的顶点已占用完了四种颜色。只有这样，才能使用你所说的对颜色的“重新再分配”（实质上还是要用坎泊的颜色交换法的），把V周围的顶点所用的颜色由四种减少到三种，给V着上四种颜色之一。这才叫归纳法证明。这是我的认识。而你却是先给所谓的外圈着上三种颜色（这是完全能办到的），再给其它顶点着色，且假设是可4— 着色的。我问你，在你没有假设其它顶点是可4—着色的之前，不是可以直接给V就可以着上第四种颜色了吗，还要后面的假设其它顶点是4—可着色的干什么呢。已经都把V着上了四种颜色之一，后面再补充归纳法假设，有这样的逻辑吗。我也不知道你说的“这相当于……”是说什么，我查了我的评论里的７，也没有发现什么“这相当于……”的句子。对于未着色顶点V来说，可能与其相邻的顶点只占用了一种颜色，也可能只占用两种颜色，也可能占用三种颜色，也有可能占用四种颜色。占用一种，两种，三种颜色时，V都可以着上四种颜色之一，这是不需要证明的。只有当V 的邻接顶点占用了四种颜色时，才需要证明能不能从中空出一种颜色来给V着上。能空出颜色，猜测就被证明是正确的，否则猜测就不正确。可你却认为V的邻接顶点就不可能存在占用四种颜色的可能，我认为这是不对的。
5、你“用轮图色数定理检查接口（5个邻点）的着色数”，认为V 的5 个邻点只可能占用三种颜色。但这对一个单独的轮来说，一定只能占用三种颜色，现在是一个整体的平面图，不只是一个单独的轮。现在的问题应是已假设除了V以外的其它顶点是已经４—可着色的，且V的邻接顶点已占用完了四种颜色；下一步是如何要从V的５个邻接顶点中的四种颜色中空出一种来给V。而你却是先已对外圈着了三种颜色，当然其中的待着色顶点V就可以用第四种颜色了，V已能着上应着的颜色，还要再补充说明假设其它顶点是４—可着色的还有什么用呢。现在我终于明白了，你是认为轮图的色数是不大于４的，待着色顶点是处于轮的中心，所以该轮的轮沿顶点就一定得用三种颜色，这样待着色顶点V直接就可着上第四种颜色。看来要不要归纳法的假设，或者要不要用归纳法，甚至者要不要去证明，只要有轮图的色数是不大于４的，任意平面图的色数也就是不大于４的了，四色问题也就解决了。你也不要认为你没有直接这么说，但从你的回复中看得出来就是这回事，难怪你问我“‘四色问题’解决了吗？然而---轮图、圈图、树图、平凡图的色数却都有了，怎么解释？”呢。我们两人的看法主要的分歧就在这里，看来一下子谁也说服不了谁，只有慢慢的来吧。
雷　明，2013,3,22
2013,3,24,一查小草回复：
雷明：不是单独的轮，也无妨；起码是个奇圈（5邻点），还是可以着3色的！那个奇圈在一个大图里有什么妨碍？没有的。“您好”的理由，就是不承认是轮图。有此想法的人，请注意我文章中的“对偶原理”，弄明白它！
您该帖子中的三个要不要，还是要的！那是个很有用的过程。这与从“轮图的色数不大于”直接到“任意平面图的色数也不大于4”----即若轮图的色数不大于4，则任意平面图的色数也不大于4.是不同的判断！这最后一句是假命题！
您帖子中的“但从你的回复中看得出来就是这回事”的“看得出来”，那永远不是推理的根据。
2013,3,24,梁增勇回复：
1、我说的：“轮图，圈图，树图及平凡图是局部的结构，它本身的色数与全局无关！”是针对你们说的“《只有证明了任意平面图的色数是≤4时，那么以上属于平面图的轮图，圈图，树图及平凡图的色数也都可以说是≤4的》。”而言。“轮图，圈图，树图及平凡图是局部的结构，它本身的色数与全局无关！”这句话也没有错误！你已经认为“轮图的色数是不大于4，圈图的色数是不大于3，圈图的色数等于2，平凡图的色数等于1，这都是对的”，但你应该好好学习色数的定义，轮图、圈图都已经确定结构类型的子图（对与复杂的平面图来说），它们的色数是固定的！不管你是否把它放在大图里面。所以说，“它本身的色数与全局无关！”。但在大图中色数是3的圈图（子图）也会用到第四色，这与它的色数永远是3根本是两码事。如果不看到这点你对色数的定义还是不清楚。
2、“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”是不妥，但不错。怎么理解？因为极大平面图的外圈顶点只有3个，那么外圈色数=3，不是≤3。应该说：所有平面图的外圈色数都能等于3或等于2（看情况），那么才有可能所有平面图的色数≤4，四色定理才可以成立！而我论文在讨论三角形结构平面图的色数中说：“三角形结构平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”这也是对的。还有即使说“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”也没有错。为什么？？这就要复习必要条件与充分条件的定义和区别了，...（就说到此没有时间说太多了）。
3、补充：“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”是错的。因为它的外圈色数就是3，不可能小于3。从这个角度看是错的。应该说“极大平面图的色数≤4，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”才对。
2013,3,28,梁增勇再回复：
你上面的话应说成是“由于三角形结构平面图的色数≤4（这一结论如何证明的我没有注意看到你证明了没有），所以当图的外圈的色数≤3时，四色猜测是成立的。”你又误解我的话了。我是说当“我的主导思想和提法是：“三角形结构平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。””
其实这个条件是很苛刻的！也就是说能够证明“三角形结构平面图的色数≤4，外圈色数≤3”，就已经证明了四色定理！它是充要条件！而不像你说的“这样就说明这是一个只适用于部分图的色数定理”。这说明你还没有了解三角形结构平面图 G';的色数≥连通平面图 G 的色数，（图 G';是图 G 增加边的到）。
又补充说：（图 G';是任意连通平面图 G 增加边得到的三角形结构平面图）。
2013,3,28,我回复梁增勇：
1、轮图、圈图、树图和平凡图的色数都是包含在平面图的色数之中的，因为这些图都是平面图；如果证明了平面图的色数是不大于4 的，当然也就可以说这些图的色数也都是不大于4 的。也可以说，以上这些图的色数一这是小于等于任意平面图的色数的，不能其与全局没有关系。
2、“极大平面图的色数≤4，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”从“这也是”三字看，这还不是叭一的条件，而是其中之一。现在的主要问题就是要证明“极大平面图的色数≤4”，因为由极大图变成非极大图后的色数是不可能再增加的。这也就是在对猜测进行证明的过程。
3、“在大图中色数是3的圈图（子图）也会用到第四色，这与它的色数永远是3根本是两码事。”这是对的。但现在的问题是假设以上的图是可4—着色的，若在这个用了四种颜色的子图——圈内再增加一个顶点V时，能不能从圈中已用过的四种颜色中空出一种来给V着上，这就是用数学归纳法进行证明四色猜测的关链。我们再假设除了V 的外围这个用一四种颜色的圈外的其他面都是三边形面，V又与这个圈的所在顶点都相邻，那么当V能着上图中已用过的四种颜色之一时，也就是证明了“极大平面图的色数≤4”，这样就可以说“极大平面图的色数≤4，这就是四色定理成立的必要条件。”
4、我是还不了解你的三角形结构平面图是什么样的图，它与极大图（也是三角形结构的平面图）之间是一个什么关系。但我感到你的“三角形结构平面图 G';的色数≥连通平面图 G 的色数，（图 G';是图 G 增加边的到）。”的说法不妥。你这里并没有说明G的色数是多少，如果G的色数已是4 时（这完全是有可能的），那么“三角形结构平面图 G';的色数≥连通平面图 G 的色数”这一说法就不大合适了，它与四色猜测也不相符了。如果你认为这个命题正确无误，那么就可以说四色问题就不需要再证明了，因为从你这里已经可以看出平面图的色数是有可能大于4 的了。朋友，你想想是不是存在这个问题。
2013,3,28,1 回复一棵小草：
你说“不是单独的轮，也无妨；起码是个奇圈（5邻点），还是可以着3色的！那个奇圈在一个大图里有什么妨碍？没有的。”这不还是与以前你说的所谓外圈是3 色的，在外圈中再增加一点V构成的轮是4 可着色的是一样的道理吗。把增加的这个顶点V着上第四种颜色不就行了吗。还要再假设除V外的图是4 可着色的干什么呢，还要去证明什么呢，V不是已着上了四种颜色之一了吗。
2013,3,28,一棵小草回复：
雷明
这不还是属于“归纳假设”的变通的问题吗。那个变通是给那些弄不明白：“5邻点已着了4色，为什么还要变为3色”的人看的。您在数学中国上的第3条写到----【在大图中色数是3的圈图（子图）也会用到第4色，这与它的色数永远是3根本是两码事。这是对的。】看来您已经明白了！弄明白了，就不需要看变通了！
2013,3,28,梁增勇回复：
1、子图的形状定了，即顶点和边定了，它的色数就定了，与大图无关！你在不理解也没办法了。各自保留观点吧。
2、连通平面图和三角形结构平面图见下图：（他画了两个图，一个只有一个面的边数大于3,这就是无限面，他把这个图就叫三角形结构平面图，另一个图中有两个以上的面的边数是大于3 的，这就是他的连通平面图。——雷明注）
三角形结构平面图的内圈一定是三角形。连通平面图的内圈不一定是三角形，有多边形。极大平面图的所有圈（包括外圈）都是三角形。
三角形结构平面图的色数≥连通平面图的色数，但都是平面图，所以按照四色定理它们的色数也是≤4。并不是当连通平面图的色数=4 ，三角形结构平面图的色数就是5。
在例图中，图G';比图G 多了两条边v1v5和v3v4，顶点v1和v5原来没有邻接边，可以同色，但增加边v1v5后，必须异色，所以说三角形结构平面图的色数≥连通平面图的色数。G的色数是4，经过调整颜色，G';的色数还可以是4。OK?
2013,3,30,我回复梁增勇：
1、你3月28日的贴子用了短短的几句话，把你的所谓三角形结构平面图与极大图及你的所谓连通图才表达清楚了，即极大图是所有面都是三角形的平面图，所谓三角形结构平面图只有一个面是边数大于3的多边形，而其他面全是三角形的平面图，你的连通平面图是指有两个以上的面是边数是大于3的多边形的平面图。如果你早就这么说明了的话，也就不会产生前面的讨论了。你在最近（2013年2月25日）发表的《三角形结构连通图的两大不可避免构形类集》一文中，画了那么多的图，也没有讲明白以上三者的关系，只有3月28日的贴子说得最明白。
2、你在一楼最早的贴子（2011年5月21日）中提的是“定理4 极大平面图图色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”又是你在最近才又更正为“三角形结构平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”并说：“‘极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。’在本文中似乎没有这个说法，假如有是不妥的。”
3、你3月24日的贴子说：“我的主导思想和提法是：‘三角形结构平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。’其实这个条件是很苛刻的！也就是说能够证明‘三角形结构平面图的色数≤4，外圈色数≤3’，就已经证明了四色定理！它是充要条件！”我明白了，你现在的目的是要寻找如何证明“三角形结构平面图的色数≤4”，且“外圈色数≤3”这样的条件成立，如果成立，那当然四色猜测也就是正确的了。当然可以说“它是充要条件！”了。看来你在《三角形结构连通图的两大不可避免构形类集》一文中只是提出了任务，要完成这一任务，用你的话来说“这步是最难的”。是的，是最难的。也祝你早日成功，完成这最难的一步。
2013,3,30,我回复一棵小草：
不管我对那个具体问题是否明白，也不管别人对同样的问题是否明白，你写出来的文章都一定要让别人能看明白你的意图，明白你是有说什么，是说给谁的，只有这样也就不会有以上的辨论发生了。
2013,3,30,一棵小草回复我：
雷明：
您提的很好，我向您学习，提高写文章的质量；以后有机会，我把此文遵照您的订正再修改一遍，或请您与我合作发表！您看如何？
2013,3,30,1我回复一棵小草：
朋友，我们俩向来都是通过可以说是激烈的辨论后都最终得到了认识上的基本统一，我们在计论的过程中实质上是在相互学习，合作我是非常欢迎的，但还是你的文章，我只是帮你改一下。我建议你把我的订正先吃透，然后再修改一次，发到我的信箱中我看一看，我若有意见，一定还会与你交流的。只要我能看明白，我想别人也应是可以看明白的了。
2013,3,30,一棵小草回复：
雷明：我每一次都有新的认识，但愿您也有提高。我最挂念的是您对问题的思维逻辑上，总与众不同。例如，轮图色数定理，都是定理了，用起来您还有那么多的顾虑！您的这种思维模式不符合命题的逻辑：一个命题不成立，它的逆命题不一定就成立！不是一个命题不成立，它的逆命题就一定成立。您的这个毛病不改，是影响交流的。
2013,3,30,我回复：
我是对逆否命题不太明白，但我想无论怎么说总是应让读者明白文章是在说什么，不管是对的还是错的，让读者一看就知道作者是在说什么，这就达到了写文章的目的。
2013,3,30,梁增勇回复：
雷明，你好！
谢谢你的评议。
1、关于《三角形结构连通图的两大不可避免构形类集》一文我把三角形结构连通图的定义没有写，因为我以前的论文已经说过，同时在中外教科书都有定义，我以为这大家都懂，忽略了。经你提醒，我觉得是应该补上更好。同时你解释的定义也是大家比较容易理解的，用面作为单元来表述很容易理解，因为懂得平面图欧拉公式的人，对面是什么概念都清楚。
2、“《三角形结构连通图的两大不可避免构形类集》一文中只是提出了任务”不是这样的。我说过：
第一步要证明，任何复杂的平面连通图可化为三角形结构连通图讨论，同时后者的色数要≥前者。这很容易证明，或直接引用有关论述就行。
第二步要证明三角形结构连通图只有两大不可避免构形类集--延伸结构和轮形结构，同是它们的色数不大于4。这是与阿佩尔的计算机证明方法理念是一样的。但阿佩尔归纳了1450个不可避免构形，其实这是不科学的。另外他认为再用计算机验证这些构行是可约的（即色数≤4 ，就认为证明了四色定理。这也是错误的，难怪有数学家不承认。）
其实，这两步还是对证明的严谨性是必不可少的两个关键证据或步骤。
当然，下一步的任务就是要证明这两大不可避免构形可以在任意复杂平面图中完成四色正常着色, 也是最最困难的最后一步了。
下一篇论文不久即可出笼，感谢你的支持！
2013,3,30,我回复：
祝你成功！
2013,3,30,我回复梁增勇：
通过这一段的争论，我对梁先生解决四色问题的思维过程归纳如下：首先给一个任意的连通平面图，通过增加边的办法（图中每增加一条边，也同时就增加了一个面，欧拉公式仍然适用），使图变成一个只有一个面的边数是大于3的所谓三角形结构平面图；然后证明这类图不但可以4 着色，而且该边数大于3的圈中各顶点所点用的颜色数是小于等于3的；这样再在该圈中增加一个顶点，使图变成一个极大平面图；这增加的一个顶点一定是可以着上图中已用过的四种颜色之一的；由于极大图是同顶点数的平面图中各顶点相邻关系中复杂的，边数也是最多的，再由极大图通过减边的办法，使之变成任何非极大图时，其色数也决不会再增加，这样也就证明了四色猜测是正确的。这是一种很与众不同的独特方法，道理上是能够说得通的，思路是正确的。望梁先生努力，一定要争取成功。
2013,3,31,一棵小草加回复：
雷明：
我的文章很差劲，基本没人来看；到现在就您一个人不辞辛苦地阅读。能有一位像您这样的读者，我也很高兴了。有机会，我一定与您合作。学习一点逻辑知识，对我们都有好处。若不然，自己瞪着眼睛犯错误，自己还不知道。
2013,3,31,我回复一棵小草：
您也太谦虚了。你的提议我同意，以后我们共同学习。
2013,3,31,梁增勇加回复：
你说的有点像。
是“首先给一个任意的连通平面图，通过增加边的办法（图中每增加一条边，也同时就增加了一个面，欧拉公式仍然适用），使图变成一个只有一个面的边数是大于3的所谓三角形结构平面图；然后证明这类图不但可以4 着色，而且该边数大于3的圈中各顶点所点用的颜色数是小于等于3的”这样就够了。
因为：
1、极大平面图也是三角形结构平面图。
2、外圈色数=3，另一色是预留给外面的一个顶点用（它可以和原图的外圈所有顶点邻接使用另一色，当五大洲和海洋的关系不就是这样吗？----一个顶点和5个连通平面图的外圈所有顶点邻接）
2013,3,31,我回复梁增勇：
我说了，你的这种思路也是一种证明猜测的方法，并说了预祝你成功。但你的文章还要进一步修改。写文章的目的是面向读者，光是作者自已心里明白还是远远不够的，也是达不到目的的。写文章的目的是要使广大的读者都能看懂，看明白。所以你在用到自已的专业术语时，一定要提前说明白你的术语的定义。另外，文章力争要通俗易懂，这样才能吸引更多的人去看，以至于接受你的观点。证明不一定很复杂，但要逻辑性强，文章前后不要有矛盾的地方，或者衔接不上的地方。不管你的观点正确与否，要让读者从前到后能顺利的读下去。只要文章能达到这样的程度，读者才能理解，也才能从中发现问题，也才能评价你的文章中的观点是错还是对。否则，看一段后，看不明白在说什么，他也就不想再看下去了，这样就失去了读者，也就失去了支持者。雷明
2013,4,1,梁增勇回复：
谢谢！
我以前试过很多方法：
1、几个色块包围一个色块最原始的方法。
2、双迹法。
3、接口法。
4、细胞形结构法。
5、两大不可避免构形集法。
第三种方法的证明给专家看，专家的意见是“特例”。同时也劝我不要再搞了，因为四色定理的证明是很难很难的。他的好心我理解，但我并不服气。
两年后我又将第5种方法的论文给专家看。专家的意见是：三角形结构平面图只有两大不可避免构形集是“显而易见的”，只有证明四色定理才是最难的。言下之意，论文观点是正确的，只是还没有证明四色定理。其实，我的论文宗旨也只是证明：1、三角形结构平面图只有两大不可避免构形集；2、这两大构形的色数都不大于4。
就像你说的下一个任务就是证明四色定理了。
但我不是用在一个图的外面增加新顶点的办法，因为我已经尝试过，增加一个新顶点，回牵连一大片，甚至整图，就像使用双迹法。
我现在采用的方法是发挥结构的作用，以增加一个结构来讨论。这样调整顶点颜色的范围就小得多了。
本想打”谢谢“就OK。但”出错“（网主不同意），不能帖几个字。所以就罗嗦讲了一大堆。
雷明，你的有关任意图着色的文章也是有建树的，也祝你成功！
2013,4,1,我回复：
    谢谢你们！
2013,4,8,我给一棵小草留言：
一棵小草朋友，你企图使用轮图色数定理来证明四色猜测，我想了一下，不是没有可能。我认为猜测证明的方法一定很多，不只是一种或某几种。我现在给你提供一个思路，供你参考。
      1、轮图的色数小于等于4；
      2、极大图的每一个顶点都是处于一个轮的中心；
      3、如果一个极大图中的每一个轮的色数都小于等于4，那么这个极大图所用的颜色数也一定是不会大于4 的；
      4、把极大图通过去边的办法得到的非极大图的色数只会比原极大图减少而不会增多；
5、这也就能够证明任意平面图的色数是不大于4 的或是小于等于4 的；
      6、现在的观键问题就是如何能证明极大图中每一个轮（分子图）的色数都不大于4。
      是否可行，请交换意见。雷明      
2013,4,8,一棵小草回复：
雷明：谢谢您提供的参考。我不想自己写出猜想的证明，我的观点都写在《谈谈轮图的用处》一文中了。

附：一棵小草的《谈谈轮图的用处》一文与梁增勇2011年5月21日的贴子：
1、一棵小草的《谈谈轮图的用处》
一、用轮图处理Q、 R构形
什么是Q、R构形，在《警钟长鸣》中，有：（3）第 1，2，3 种证明方法，不能成立的原因，可见B。韦斯特。图论导引（第 2 版）。第 204-207 页（同上）。（注意 ---- 设一个面 V 有 4，5 个相邻面的构形分别为 Q，R。构形 Q 中只有“非 H 图”（不类似 Heawood 图的），而构形 R 中除有“非 H 图”外，还有多种“类 H 图”（类似 Heawood 图的）。当年，Kempe 用同一种着色方法（必须如此），证明“非 H 图”的 V 面可着 4 色中的某一色，为可约的，但却不能同时证明多种“类 H 图”也是可约的！尽管能用另一种着色方法，证明 Heawood 图也可着 4 色！于是，人们才去另辟新径，见 N.Robertson 等人的文章，可点击  www.docin.com/p-90614570.html  
这里讲到Q、R构形，也指出当年Kempe的解决方法。
    我觉得在学习古人东西的同时，也要结合现代图论已有的基础知识。这样就不易走弯路。
就说Q构形吧，也可以不用换色法；因为已知“V的4邻点，已用完4色了。”这相当于：给了4种颜色，如何使v也着这4种颜色的其中某一色？
    首先考虑4邻点构形的具体情况，一种可能：4邻点互相独立，呈繁星状（需2色）；再有：邻点相邻，呈轮图结构（需3色）；相比较看，后者需要颜色数较多些；故为稳妥，考虑轮图结构为好（这等于考虑4邻点的导出子图）。这是一个5阶轮图，是3色图。在已知是4种颜色的条件下，可分给外围2色，给V1色，还空1色；显然是可以办到给v着上4色之一色的！
    如此，我们用了“可着色的定义”----对颜色数的重新再分配----给解决了。上面这个结果，用图论的术语也叫4-可着色的。
    表面上看，这两种方法都得到了同一个结论---图是可约的。但它们有很大的不同。前者没有用到“最少可着色”的定义，而后者用到了。前者导致出现了5色定理。而加入最少可着色的定义之后，才能使"4cc"的证明趋于更合理化！
    同样道理，也可以解决R结构的问题：5邻点，4着色，如何给v着4色之一色呢？
    5邻点与v构成6阶轮图，是4色图。请注意：用了轮图，使“最少可着色数”进入了证明。已知的4色的重新再分配可以给外围5邻点着3色，v着上4色之一色的。图的结果仍是4-可着色的。
    在上面的讨论中，我们用到轮图的色数定理：奇圈和奇数阶轮图都是3-色图，而偶数阶轮图为4-色图。这是现在《离散数学教程》中就有的定理！
    我个人认为，由于时代的变化，在图论基础知识发展的今天，已经产生了很多管用的定理。结合数学归纳法，可以组织非常有力的四色猜想的证明。每一个熟悉这两方面的人都可以写出证明来，“4cc”的证明不再是专家学者的专利啦！
    大家在前面已经看到了我对两个构形，是使用“轮图”这个特殊的工具来处理的。轮图能不能胜任这项任务呢？我通过一个例子负责任的告诉大家，完全胜任！首先得承认，轮图定理是真的，千真万确！有书为证，家喻户晓。
    二、用轮图研究外层顶点所构成环的着色数
    既然它是定理，按数学的逻辑，它可以产生推论！现在我用它来研究任意简单平面图的最外层顶点所构成的环的“着色数”。怎么研究？不用别的，就用对偶原理---在图外取一点
v,以v为轮图中心，并与简单平面图最外层顶点（n个）连线，于是构成（n+1）阶轮图。当然可依据该轮图的阶数，知道轮图的色数i。于是简单平面图最外层顶点构成的“环的着色数”可以推出为：(i-1)!
    当取i=4，有i-1=4-1=3 。这是简单平面图最外层顶点构成的环的最多着色数！
     三、关于归纳假设的变通问题
    在二中得到的规律，有一些网友看到具体图时---那个环已着了4色，于是开始怀疑刚才的推导和结论；老是囿于Kempe的换色法，总想也看看“过程是怎样由4色变到3色的”。须知道，用规律不用看过程，这也是科学的方法。它的准确度不比亲眼见差分毫！那个实际上已着了4色的环，确实存在；这就说明该环上的颜色数多了，是可以调整的。在数学中国有网友梁增勇的帖子，他在《四色定理最新证明》中给出几条定理---就涉及到刚才的问题。如果网友们一定要看看出现一个3色的环，可以这样办：
    先把v的邻点依照轮图的着色规律着成3色，然后再着图的其它部分。这样得到的图作为归纳假设4-可着色的图，由此出发再去论证，第(n+1)个点也是4-可着色的。显然，这样处理只是改变了着色的次序而已，没有什么不允许的！由于归纳假设前n个顶点的图已是4-可着色的，而v的外围已着3色，轻而易举地推出给v着上4色的另一色即可。
    这样处理就比按常规，v的5邻点是后着色---已用完了4色，要好明白得多。因为此时，往往使人产生误会----以为这4色不能再动了。不是的！动还是要动，只是用的方法不同而已。不少网友就是“卡”这里，顺势数了下去，由4到5，再添一色吧！不但不能达到4-可着色，却事与愿违跑到5-可着色去了。
    通过以上的分析、比较，我觉得可以说服大家可以大胆应用轮图或者关于圈的色数定理了。它们是平面图的最常见的结构，其性质也是平面图的最基本的性质。
    现在在我们国家有很多人在搞“4CC”，有哲学方面的黎鸣、社会学者敢峰、业余爱好者董德周、雷明、张彧典......各有不同的文化背景，使用不同的方法；我觉得最可取的还是用图论的方法去学习、去发现、去解决4CC问题。我主张走：在图论中去“发现”----有没有可用的工具----这条道路。
我发现了就及时告诉大家！请大家用自己的特色写出百花齐放的好文章。
2、梁增勇的贴子
一、四色定理的证明1（理论基础）：平面图正常着色的的唯一条件和四色定理的本质：
定理1  顶点和边在颜色关系中的限制和隔离作用。
定理2  圈在颜色关系中的限制和隔离作用。
定理3  三角形结构仅有延伸和轮形两种邻接方式。延伸方式（即一个三角形结构增加一个顶点和两条边构成新的三角形结构）子图色数=3。轮形方式构成的子图色数=4。
（2）轮形：在间隔的或首尾两个顶点间增加一邻接边形成一个新的轮图（封闭），当外圈为偶圈，子图色数=3；而当外圈为奇圈，子图色数=4，如图4：
定理4 极大平面图图色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。
定理5 连通图分支（块）的顶点颜色可以互换调整，颜色（正常着色）关系不变。
定理6 连通图图色数≤4，外圈色数≤3。
定理7（四色定理）任何复杂的平面图的色素集合是所有子图的色素子集的并集，且图色数由色数最大的子图（连通图）所决定。因此，任何平面图图色数≤4。
二、四色定理的证明2（应用实施）：（1）三角形结构图的简化  任意平面图的形式是千变万化的，为了实现书面证明方法，必须将图的无限表达形式进行归纳为为数不多的典型子图。为了保证证明的正确性和普遍性，本文制定了图形简化的原则:①不影响证明结果的正确性;②具有代表性;③基本构造相同④越简单越好。
（2） 细胞形结构的不可约构形类集：1、制定不可约构形类的判定标准: ①元素类相同: ②构造特征相同；③含不同颜色的顶点相同；④子图色数相同。2、通过子图的简化手段，将细胞形结构归纳为六个不可约构形类的构形集。由此六大不可约构形类集我们可以通过子图的合并组合各式各样的复合细胞形结构子图，子图色数同样≤4，细胞壁结构的色数≤3。
（3） 拼图 由细胞形结构的不可约构形类集和它们组合成的复合细胞形结构为子图，我们可以通过逐个子图的合并拼成任意正常着色的极大平面图，由于所有子图色数≤4，细胞壁结构的色数≤3。，因此拼成的新子图和原图色数同样≤4，子图外圈色数≤3。
（4）由细胞性结构、拼图方法证明细胞形结构图、极大平面图、连通图的色数≤4和外圈色数≤3 。再次证明四色定理；任何平面图的色数≤4。
在第二节证明了任何极大平面图可转换成细胞形结构图进行拼图而合成色数≤ 4的原图，这是四色定理成立的充分条件，熟悉掌握这一理论，任何复杂的平面图都可以轻而易举地通过人工拼图完成四色正常着色。本文从不同的角度充分证明了四色定理成立，为四色定理的书面证明方法和四色定理的实际应用操作开辟了一条切实可行的途径。
（广西，梁增勇）