欧拉常数(欧拉常数发现的历史)

阿钟

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阿钟

                     欧拉常数(欧拉常数发现的历史)
     欧拉常数(Euler-Mascheroni constant)
　　欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。
    它的定义是调和级数与自然对数的差值。
　　学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：
　　由于ln(1+1/n)<1/n （n=1，2，3，…）
　　于是调和级数的前n项部分和满足
　　Sn==1+1/2+1/3+…+1/n  >  ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
　　== ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
　　== ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]
    == ln(n+1)
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥ lim ln(n+1)（n→∞）=+∞
　　所以Sn的极限不存在，调和级数发散。
　　但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
　　Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n) > ln(1+1)+ln(1+1/2) + ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
　　==ln(n+1) -  ln(n) == ln(1+1/n)
　　由于
　　lim Sn（n→∞）≥ lim ln(1+1/n)（n→∞）=0
　　因此Sn有下界
　　而
　　Sn-S(n+1)==1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n) - [1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
　　==ln(n+1) - ln(n)-1/(n+1)==ln(1+1/n)-1/(n+1) > ln(1+1/n)-1/n>0
　　所以Sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知Sn必有极限，因此
　　S==lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
　　于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，
    目前还不知道它是有理数还是无理数。在    微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，
    如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。
    例如求 lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]（n→∞）
，
    可以这样做：
　　  lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)]   （n→∞）
   ==lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)]   （n→∞)
    - lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]      （n→∞）   
    + lim[ln(n+n)-ln(n)]
                                       （n→∞）
   ==γ-γ+ln2=ln2

   该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章
   De Progressionibus harmonicus observationes 中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，
   并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家
   马歇罗尼(Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。
   但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。
　　目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，
   那么它的分母位数将超过1.0E242080(Havil,第97页)