[讨论]与张彧典交换意见

雷明85639720

与张彧典交换意见
雷  明
（二○一二年十月十五日）
10月6日，张彧典在我的《与一棵小草谈赫渥特图》一文后说：
尊敬的雷明先生、一棵小草先生：您好。
对于“肯普链法”，我个人的理解是：为了给待染色点v正确四染色，必须在它的4个已经四染色的邻点中有一条由两个不相邻之二色组成的回路即以v为接口的环链（简称环），这样才能保证由v的另外两个不相邻色点组成的色链不联通，从而在已知环内或外换色成功，使得v染第四色。这就表明，每一次换色都必须是在被一个环所分隔的某条相反色链上进行。否则换色不会达到目的。张彧典
10月7 日，我回复：
张先生：基本同意你的说法。但我并不认为非得要有“环”，只要是所交换的色链（坎泊链）没有与V构成“环”，就可以进行交换，一定可以空出一种颜色给V的。如一个5—轮，其轮沿顶点已用完了四种颜色，并没有任何色链与轮的中心顶点（待着色顶点）能构成“环”，难道就不能使用坎的颜色交换技术了吗，轮的中心顶点就不能着上四种颜色之一吗，难道5—轮要用第五种颜色吗。事实证明5—轮是可以4—着色的。
10月7 日，张彧典：
尊敬的博主：您好。
我认为，肯普链法就是指在被一个已知或者生成的环内外分隔的同一种色链上进行二色交换的有效方法。您说的情形应该包含在其中，因为这种开放色链加上整幅地图的公共外围不就形成一个环了吗？我在1994年发表在山西教育学院学报的文章中就已经讨论过，后来我才明白肯普的想法。               张彧典10.7.
10月7日，我回复：
老张，你应该加入到讨论中来，很有意思。图是任意的，一个单个5—轮也是一个平面图，难道就不能进行交换吗。你不要认为非得一定是一个多顶点的极大图才是平面图，即就是极大图，你能保证里面都一定有约当链吗，是否经过了证明，即就是有，极大图也只能是平面图的一个子集合，不能代表任意的平面图。所以我认为交换的链关链一定要是不连通的，图中有没有约当链把它他分开不是主要的。而赫渥特就正好是交换了一条连通链，与待着色顶点V共同构成了一条约当链，当然就不能空出颜色约V了。雷明
10月14 日，张彧典回复：
尊敬的雷明先生：您说“从两链的交叉顶点开始交换两链的共有颜色与共同没有的颜色组成的色链时，就可以达到截断两链相交叉的目的。即两链交叉顶点的颜色就变成了两链所共同没有的颜色了，当然两链在该顶点处就不再相交叉了”这句话有问题，如果没有封闭环包围这个交点，你的换色是不会成功的。按你的方法对我的图3-1、图3-2认真进行换色，肯定由双B夹A型变成双A夹B型构形，又有B-C环/B-D环相交了不能消去四色之一。张彧典10、15.
后立即又纠正：（纠正）“按你的方法对我的图3-1、图3-3认真进行换色”。因为图3-2按你的方法可以成功，因为交点A2被C-D环包围。
10月15日，我回复：
    不管是你的那个图，只要A—C，A—D（这就是你所谓的A夹B型，不管是那个夹那个，实质上都是相同的构形）两链在A2处和另外一处相交叉，只要从A2处（或另外一处）开始对A—B链进行交换，都可使A—C，A—D两链分别变得既不连通又不在A2处（或另外一处）相交。可能在别处还交叉，但只要不连通，就创造了使用坎泊交换的条件，再交换别的链后就可以空出颜色给待着色顶点的。
10月16日，张彧典：
雷工：您好。
不要空谈，你按你的方法（断A-C/A-D链）把图3-1、3-3进行四染色，如果两次换色成功，大家自然相信。张彧典   10、16.
10月16 日，我回复：
1、你说 图3-1是不是你书第9页的图和第12页 的的图呢。
2、对于你的图3—1，从图的最上面的顶点A2（它是A—D链和A—C链的一个交叉顶点，着两链共有的颜色A，该两链的另一个交叉顶点是A1）开始交换A—B链（B色是上述两交叉链中所没有的颜色），就可达到使上述两链既不连通又不在顶点A2处相交叉。这时你可以随便再进行一次别的链的交换即可空出颜色给V着上。比如从顶点A1开始进行A—C链或A—D链的交换，都可空出A 色给V；也可以分别从顶点C1或D1开始进行A—C链或A—D链的交换，也可空出C色A或D色给V。你可以着一下，不要光说不具体操作。这样的图，破坏连通链为不连通是一个关链，不这样是不可能空出颜色来的。雷明
3、对于你的图3—3，原是一个证明所谓“五色定理”的图，现在你已经使5—轮的五个顶点点用了四种颜色，给V着上了第五种颜色，这当然对于四色猜测来说是不对的。在此基础上，把V的第五种颜色E去掉，作为一个新的待着色顶点，看该顶点是否可以着上A、B、C、D四种颜色之一。A—D链是连通的，不能交换，B色又用了两次，也不想移动它，只有从顶点A或C交换A—C链，空出A或C给V着上。你图中还有的一个悬挂顶点你已用了第五种颜色E，把它再改回到A、C、D三种颜之一均是可以的，因为它只与一个已着了B色的顶点相邻。这样简单的图还要我再一次的去着色吗。不知你对你所画的图进行过没有进行过着色的尝试。雷明
4、老张朋友，你好好的看看我的两个回复，并一定要亲自画一画，着一着色，看我说得是否有道理，然后再给我提出问题。不要还没有看明白，就提些带有低级错误的问题。雷明
10月17日，张彧典：
雷工：我说的图3-1、图-3是我《四色猜想归纳法证明》中的图标，就是书之29页的图7.3-1、31-31页的图7、3-3，请在我的详解图里进行你的染色，如何？   张彧典      10、17。
10月17日，我回复：
老张：请看以下我对你的回复，这是我发现了你去年元月九日发表的《用图形对称理论印证“肯普漏洞”构形集的完备性》一文后的一点评论，是以评论形式发在我的《与一棵小草谈赫渥特图》一文后面的。我有空再去看看你《四色猜想归纳法证明》。雷明
10月17日，我回复：
回复张彧典朋友：
1、我昨天晚上才发现了你在二○一一年一月九日所写的《用图形对称理论印证“肯普漏洞”构形集的完备性》一文，看到了你的四个图，实际上这四个图只是三个图，因为图7•3—1右图与图7•3—3实质上是相同的，只是左右反了一个过。
2、这三个图中，图7•3—1左图是一类，图中有连通且互相交叉的A—C和A—D链，又有A—B环链（也可以说是约当链，当然连通链与待着色顶点也构成了一条约当链），把C—D链分隔成环内环外两部分；图7•3—2是一类，图中也有连通且互相交叉的A—C和A—D链，却有C—D环链（当然也是约当链），把A—B链分隔成环内环外两部分；图7•3—3和7•3—1右图是一类，图中中也有连通且互相交叉的A—C和A—D链，但既没有首尾相接的A—B环链，也没有首尾相接的C—D环链，两链均是一条直链，即既能分清链首，又能分清链尾。
3、既是三种类型的图（都属于5—构形），就有三种着色方法：
（1）图7•3—1左图可以首先从5—轮轮沿上的任何一个着B色的顶点开始进行B—C链和B—D链的交换，空出B色给V着上我们还发现，图7•3—1左图中仅管有A—B环链把C—D链分隔成环内环外两部分，但该图中C—D链是不能进行交换的，因为交换的结果图中仍旧还存在两条连通且互相交叉的A—C和A—D链，图的结构本质上没有发生变化；
（2）图7•3—1右图可以有选择的首先从5—轮轮沿上的左B色顶点开始进行B—D链的交换，再从5—轮轮沿上的右B色顶点开始进行B—C链的交换，空出B色给V着上；而图7•3—3的着色交换顺序则与图7•3—1右图相反，必须是有选择的首先从5—轮轮沿上的右B色顶点开始进行B—C链的交换，再从5—轮轮沿上的左B色顶点开始进行B—D链的交换，才能空出B色给V着上；7•3—1右图和图7•3—3着色交换的各都是顺序各都是不能改变的，否则将不能从5—轮的轮沿顶点中同时移去两个B色；
（3）图7•3—2与上两类图着色交换方法都不同，它不能同时移去5—轮轮沿顶点中的两个B色，A—C和A—D链又都是连通链而不能进行交换，那么只有想办水法使两条环链至少有一条变得不连能通。这两条链有两个交叉顶点，都已着色是A，那么只有把这两点之一改换成B色，就可以达到破坏A—C和A—D两链均既不连通又不相交叉的目的。改变两链交叉顶点的方法就是从任一个交叉顶点开始进行对两链所共有的颜色与两链所没有的颜色构成的色链的坎泊交换，就可以办到。这时图中除了还有一条C—D约当链外，再没有任何连通链了，可以随便的进行一次坎泊交换，都可以空出图中已用过的A、B、C、D四种颜色之一给V着上（注意，这里还要说明的是，其它的三个图是不能用这里所说的方法使连通链变成不连通的）。
4、看来你在文章中所说的“由于图7•3—1两个构形解法相同，所以可选任何一个归纳到……里”是不对的。图7•3—1的两个图的解法并不相同，不应属于同一类。而图7•3—1右图应与图7•3—3归为一类，它两个的着色方法（即解法）才是相同的。在你的《四色问题探密》一书中实际上是没有对图7•3—1左图的类型进行4 —着色的。
以上三种类型的5—轮构形，可以说是具体图，但又不是具体图。图中除了5—轮以外的任何一条边，都可以看成是一条由若干个顶点构成的道路，但只要图中存在以四图中链的关系，就可以用相应的方法去处理，其中的V都是可以着上已恰逢过的四种颜色之一的。你的“九构形”中除了前三个外，其他的都是在这三个图的基础上增加了一些顶点，但图中仍保持了以上三图中各链的相互关系，用相应的方法也都可以得到解决。请见我的《与四色同路人张彧典交换意见》一文：网址是：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=1983，和我在《数学中国》网上发表过的其它文章。
我以前发的贴子中谈到你的所谓九构形实际上都是一个5—轮构形，都可以使用以上的交换方法中的某一种给其四着色。不过你研究得很深入，这也是有好处的，能掌握各种情况。
5、以上三种类的5—轮构形，不但各有各的着色方法，而且图7•3—1右图或图7•3—3与图7•3—2还是可以相互转化的。当图7•3—2无论是首先从5—轮轮沿中的那个B色顶点进行交换，也不管是交换了一次，还是交换了两次，图7•3—2都变成了图7•3—1右图或图7•3—3，而图7•3—1右图或图7•3—3只要是交换的顺序错了，图就会变成图7•3—2。这是坎泊和赫渥特都没有发现的现象，所以赫渥特在对他的图——赫渥特图进行了两次有关r色的交换后，图就变成了具有图7•3—1右图或图7•3—3结构的图了，他再不去按顺序对已发生变化了的图进行着色（交换），图就会又变成具有图7•3—2结构的图了。这样无休止的交换下去，当然就永远也空不出颜色给V了。赫渥特是陷入了一个无穷的死循环之中了。
6、以上的观点我早已发现，并总结出了这三类5—轮构成的着色方法，谈到了其中有两类图是可以相互转化的问题，也谈到了赫渥特是陷进了无穷的循环之中了的问题。请见我在网上发表的《Heawood-图的分析》一文，网址是：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=661，和我的《连续发表（之四十八）》，网址是：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=12&topic=2593。
雷明，2012,10,17,
10月19日，张彧典：
雷工：看了您的回复，您终于明白了“对图7.3-1---图7.3-3的染色，图7.3-2和图7.3-9可以用断A-C,A-D二环交点A2的方法使之变成肯普构形得解，其余二图是不能用该方法的”道理，你说的三种染色方法实际可以归于赫伍德换色程序，只是这个程序对图7.3-9不适用罢了。至于您说的“《四色问题探密》一书中实际上是没有对图7•3—1左图的类型进行4 —着色的”问题，实际已经包含于图7.3-1中了，这是因为：只要在A-C环内存在A2-B1链，当在环内作B-D链之二色互换，都可以生成新的A-D环，再作此环内的B-C链之二色互换，就可以给V染B色了，这与原来A-D环内存在A2-B2 或C1-D2毫无关系。
10月19日，我回复：
不是我终于明白了。是你已经看明白了我说的那三种基本的5—轮构形的着色（交换）方法,与你对它们的着色方法实质上是相同的。以前和现在我都没有说你对他们的着色方法是不对的，只是对你的“九构形”有不同的看法。你的“九构形”中只有前三个是基本的，其余都是在前三个其础上增加了若干个顶点而成的，这样的所谓构形还多得很，何止只有九个呢。我也不想去给你再找你九个之外的构形了，你可以自已去找。你也不要以为别人是找不出来的。如果有人要应你的“悬赏”的话，我看你一定是要输的。只是现在没有人给你们去评这个理。各持已见，争来争去，总分不出高低。所以也就没有人去应“赏”了。我再一次的建议你把那个“悬赏”收回。
平面图的不可避免集就只有六种：即0—轮（K1图），1—轮（K2图，是“国中之国”型区域的对偶图），2—轮（2—重K3图，是“两国夹一国”型区域的对偶图），3—轮（K4图，是“三国环一国”型区域的对偶图），4—轮（是“四国环一国”型区域的对偶图），5—轮（是“五国环一国”型区域的对偶图）。就只有这六种，再没有别的了，这是因为任何平面图中至少都有一个顶点的度是小于等于5 的。
我还要强调：① 你的图7•3—1左图，是可同时移去两个B色的，先从那一个B色顶点开始交换都是可以的；② 而图7•3—1右图和图7•3—3也是可以同时移去两个B色的，但必须是有选择的先从其中的某一个B色顶点开始交换，再从另一个B色顶点开始交换；③ 图7•3—2是不能直接移去B色的，只能首先断开A—C链或A—D链。为什么要断开，是为了要造成可以进行交换的条件，因为要空出颜色给V，交换的链必须是不连通的。如果不这样做，是不可能空出颜色给V的。
你不要认为你的图7•3—1左图光包括在7•3—1右图之中了，我说它还包括在你的图7•3—3之中了呢。图7•3—1右图和图7•3—3明显的是一类嘛，着色时都是要有选择性的进行交换的。而图7•3—1左图着色时则是先从那个B色顶点进行交换都则是无所谓的。
雷  明  2012,10,19
10月20日，张彧典：
雷工：您好。
最好把咱们的信件放到数学中国网上，这样可以让更多人看，扩大影响。 我是不会发。            张彧典10.20
10月20日，我回复：
我已整理好了，就是还在等待我们是否还有话要说。如果已经达到了统一认识，很快我就发了。雷明
10月22 日，  张彧典：发吧。  张彧典
雷明10月22日整理完