[原创]坎泊颜色交换技术实质的分析

雷明85639720

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坎泊颜色交换技术实质的分析
雷  明
（二○一二年七月二十三日）
一个半世纪以来，人们对坎泊的颜色交换技术以用坎泊对四色猜测的证明，存在着各种不同的看法，有的认为是正确的，有的认为是不正确的，有的说虽颜色交换技术是正确的，赫渥特图也是可4—着色的，但他证明的方法有漏洞，以致不能证明赫渥特图是可4—着色的，等等。现在有必要对坎泊的颜色交换技术的实质进行以下分析：
1、什么是颜色交换技术：
所谓的坎泊的颜色交换技术就是在某一条用两种颜色着色的色链上把所有顶点的颜色全部进行一次交换，以达到改变链中某一顶点所着颜色的目的。虽然交换的结果是每一个顶点都改变了颜色，但这并不重要，重要的是我们所需要改变颜色的那个顶点的颜色得到了改变。
2、颜色交换的目的是使与待着色顶点所邻接的全部顶点所占用的颜色数小于待于3：
只有使与待着色顶点相邻的顶点所点用的颜色总数小于等于3时，待着色顶点着另着一种与其相邻顶点都不同的颜色时，才能使得图中所用的颜色总数不会大于4。
3、坎泊用的是数学归纳法：
坎泊采用颜色交换技术对平面图的不可避免构形中的未着色顶点进行4—着色的证明，实质上使用的就是数学归纳法。首先他假设除了某个构形的中心顶点外（待着色顶点）的其他所有顶点都是只用了四种颜色之一着色的，通过颜色交换，在待着色顶点（构形的中心顶点）的邻接顶点中空出了一种颜色给该待着色顶点着上。这就是数学归纳法，原来图中的顶点数是n，用了四种颜色，当顶点数为n＋1时，也只用四种颜色就够了。
4、只有交换不连通链才能空出颜色给未着色顶点：
采用颜色交换技术、在未着色顶点的邻接顶点中空出已用过的颜色之一的过程，实质上就是从与待着色顶点相邻的顶点开始，进行不连通链的交换过程。只有交换了不连通链才能空出颜色，而交换的链若是连通链时，则是空不出颜色的。所谓连通链就是某一条链的两个端点分别连接着与以待着色顶点为中心顶点的轮的两个对角顶点，该连通链与待着色顶点一起构成了一个圈。
5、没有不连通链时要想办法破坏连通链而创造不连通链：
当图中不含有可供颜色交换后能空出颜色的不连通链时，一定要想办法对连通链进行破坏，使其变得不连通。破坏连通链的办法还是使用坎泊的颜色交换技术。在产生了不连通链之后，再进行别的色链的交换，即可空出已用过的颜色之一给待着色顶点着上。赫渥特图的4—着色就是采用先破坏连通链，再进行别的链的交换，才给其中的待着色顶点着上已用过的四种颜色之一的。
6、坎泊的目的是想证明平面图的各个不可避免构形都是可约的：
坎泊用颜色交换技术证明四色猜测的过程，实际上只是对平面图的各个不可避免构形进行可4—着色的一个验证过程。平面图的各个不可避免构形全部都可4—着色，即都是“可约的”时，四色猜测也就得到证明是正确的。因为任何平面图中都不可避免的存在至少有一个不可避免构形，我们总可以在着色时把某一个不可避免构形的中心顶点放在最后来着色，再使用坎泊的颜色交换技术把这一个顶点着上图中已用过的四种颜色之一。
7、坎泊实际上已证明了四色猜测是正确的：
坎泊采用颜色交换技术，采用数学归纳法，用交换不连通链，空出颜色的方法，逐个验证了平面图的不可避免构形都是“可约的”，即都是可4—以的。任何平面图中至少存在着一个不可避免构形，只要验证了每个不可避免构形都是“可约的”，四色猜测就得到了证明是正确的。
8、赫渥特对坎泊证明的否定是错误的：
只所以赫渥特能否定坎泊，主要是赫渥特构造的图很特殊，不存在不连通链，且已连通的两条链又是经过了两次相交叉的。当时赫渥特和坎泊谁也没有想到要去对连通链进行破坏，或者说坎泊还不明白他的颜色交换技术实质上要交换的链必须是不连通的，才能空出颜色来。所以赫渥特就这样轻而易举的才否定了坎泊的证明。
                           
雷  明
                 
二○一二年七月二十三日于长安