[讨论]重新发表2006年在《东陆论坛》上发表的关于四色问题的几则贴子

雷明85639720

下面是我在2006年关于四色问题的几个贴子，已在《东陆论坛》上发表过：


就如何研究四色问题
谈一点本人的看法
雷  明
（该贴二○○六年曾在《东陆论坛》网上发表过）
四色问题虽是在“平面图”与“地图（也是一个平面图）”范围之内的问题，但不能直接从这里去入手，面要从“图——任意的图”这个整体去入手研究，然后把“平面图”的特点代入到这个研究结果中，就可得到任意平面图或地图的着色数都不大于4的结论。
地图是一个平面图，它的对偶图也是平面图，给地图面上的着色就是给平面图顶点的着色，所以只要研究平面图的四色问题，地图的四色问题也就得到了解决。
图顶点着色是相邻顶点不用同一颜色，而不相邻的顶点却可用同一颜色，图顶点的同化是把不相邻的顶点凝结成一个顶点的过程（有的书上叫联边凝结，即把不相邻的顶点间先联上一条边，然后再使该边不断的缩短，直到缩为一点，这时原来的两个不相邻的顶点就变成了一个顶点），这样就可以把着色与同化联系起来了。给一个图着色，可以先对其进行同化，求其最小完全同态，这时对这个同态各顶点分别着以不同的颜色，然后再按同化时的反方向把图展开，回到原图的样子，这个图的着色就完成了，所用的颜色数一定是最少的。
研究四色问题一定要先研究任意图顶点着色色数与图的密度的关系，当然色数决不会少于图的密度的，不少于不等于不会大于，最大能大多少，一定是有一个界限的，一定是能够得到色数与图的密度的关系的一个定量的公式。
平面图是“图”这个大集合的一个小小的子集合，任何平面图的密度都是不会大于4的，把平面图的密度由1到4分别代入已得到的色数与密度的关系式中，就可以得到任何平面图着色时，最多四种颜色就够用了的结论。地图的对偶图是平面图，其色数也不会大于4，那么任何地图的色数也就不会大于4了。

                                               雷  明
二○○六年×月×日于长安


对待历史难题
要有一个正确的态度
——就四色问题的讨论再发表一点看法
雷  明
（该贴二○○六年曾在《东陆论坛》网上发表过）
1、有名的两个猜测——四色猜测和哥德巴赫猜想，其本身并不是太深的理论，且很容易理解，可现在证明其是否正确的过程却弄得太的复杂了，太的深奥了，很多人在钻了牛角尖。能不能利用最新的科学理论——图论和集论，把问题考虑得间单一点，改变一下解决问题的思想方法。图和偶数都是无穷集合的范畴，而现在很多人仍在走前人走过的老路，还在拿以上集合中的一个一个的元素进行研究，那什么时侯才能证明了呢，若从集合整体去研究是不是更合适呢。
2、对待这两个难题，在数学界的人士看来，这个问题没有高深的理论知识是不能证明的，不知他们是不是也在研究，但他们动不动就在电视里，报纸上发表一通议论，不让大家研究这些问题。什么没有高深的理论知识是不能研究这一问题的，外国人都很少研究，为什么我国有这么多的人热衷于此呢等等，甚至还说在他们收到这种材料后，看都不看就往麻袋里一装算了。这是什么态度嘛，这些难题难道就只能是你们和外国人研究的吗，外国人不去研究中国人就不能去研究吗，这是实足的奴才相。要知道就是你们这样往麻袋里一装，可能就会埋没了人材和成功者。人家是对你们的信任，寄出让你们审查，你们就是这样珍惜别人的劳动成果吗。数学界的大人物不去研究，也不能不让非数学界的小人物去研究嘛，请看看历史上研究四色问题并取得了一定成绩的人，他们不都是些年轻人和因爱好四色问题问题而改学数学的吗。
3、以上两个猜想不能看得太深奥，但也不能太轻视了。我看了一下，网上有好多人宣布他证明了四色猜测，而且是在一两天之内，甚至是在一两个小时之内解决的。我看这也未免有点太的小看了这一问题。我不反对数学界以外的人去研究这一问题，但也不能把问看得太简单了。不了解问题的提出及其发展的历史，不了解它的来龙去脉，不了解在证明的过程中走了那些弯路，不了解它的现状，对这一切都不了解或不完全了解，就想直接进行证明，且在一两天甚至一两个小时之内能证明出来，的确是不可能的。所以我认为，战略上要相信总是能够证明的，而在战术上则要有一定的知识贮备，还要加上严肃认真的科学态度，这才是成功的必备条件。
4、我认为四色问题和哥德巴赫猜想都是属于集合论里的范畴，因为图的种类有无穷多个，不可能一个个的把所有的图都着色完；偶数也是无穷多个，也不可能一个个的把所有大于等于6的偶数都写成两个素数的和。那么要证明四色猜测只能从图论出发，研究图顶点着色与图顶点同化的关系，不要再去给任何一个图进行着色，这才是正确的证明方法。而证明哥德巴赫猜想则要从数集出发，研究偶数集，素数集间的关系，利用集合论中的一些定义，定理，去进行集合运算，这才是真正的证明方法。不要再对个别的某个“充分大”的偶数进行分解了，“充分大”仍不是“任意的”，还是得不到最终证明。

雷  明
二○○六年×月×日于长安


用图论方法研究四色问题
是比较科学的
——我也来参加四色问题的研讨
雷  明
（该贴二○○六年曾在《东陆论坛》网上发表过）
最近我学会了在网上发贴子，看了一些有关四色问题的文章，有一点想法，现发表如下。
一、电子计算机是不会证明猜测的。计算机是人创造的，它只是一种计算工具，是人脑的产物，它的工作完全是离不开人的，人叫它干什么它才能干什么，它不会主动的去工作。1976年阿倍尔等人的所谓用计算机证明了人一辈子的时间也证明不了的四色猜测的提法是错误的。人还都不会证明，那么人又怎么能让计算机代替人去进行证明呢。要知道，计算机工作是要人给它编程的，试问人不会做的事，人如何能把它编成程序呢，不可理解。如果说人能编出证明程序让计算机代替人去证明，那就说明人已经证明了四色猜测，那还要计算机去证明干什么呢。这一提法在逻辑上就是错误的。但是人会给图进行着色，人可以编写出给图着色的程序，让计算机代替人给图进行着色。实质上，阿陪尔的所谓计算机的“证明”，不过是让计算机代替人给比起无穷无尽的图来说还是少得可怜的少数的图进行了4—着色。这不能叫做证明，只能叫做用他所用的那两千多个特殊的图，对四色猜测进行了一个验证。真正的证明还是要人手工去做的，因为计算机是不具备人脑的思维能力的。
二、证明四色问题用图论法还是较科学。前辈们在没有图论以前证明时用地图，这无可非议，但是现在有了图论，本人认为还是用图论法证明为较好。地图是一个三正则的平面图，它的每一个顶点都连有三条边，我称它“三界点”，即是三条边界相交而成的点，这个顶点周围的小范围内就是平时所说的“三不管地区”。地图的对偶图，也是平面图，且是一个极大的平面图，它的每一个面均是由三条边围成的。地图的对偶图中的顶点就是地图中的面（区划），两顶点间的边表示其所连的两个顶点所代表的面（区划）在地图中是有公共边界线的。这样就只要研究如何给地图对偶图中的顶点着色就可以了。地图中一个区划周围有几个区划环绕，对偶图中对应的顶点就有几个度，即连有几条边。地图中一个区划周围的区划依次是相邻的，在对偶图中就形成了轮。由于地图中的区划外围都有别的区划，所以对偶图中每一个顶点都是一个轮的中心。任何一个轮内的面都是三条边围成，所以地图的对偶图是一个极大图。
三、图顶点着色与同化的关系。图顶点着色是有边相邻的顶点不着同一颜色，但不相邻的顶点可以用同一种颜色，而图顶点同化是把不相邻的顶点凝结为一个顶点的过程。这样就可以把图顶点着色与同化联系起来了。先研究任意图顶点着色色数数的界，再把平面图的特点代进，看其色数是否是大于4，应该可证明四色猜测是正确还是不正确。
                                  雷  明
二○○六年×月×日于长安


关于飞地的一点看法
雷  明
（该贴二○○六年曾在《东陆论坛》网上发表过）
谈这个问题本身就说明了我要指出现在在研究四色问题时存在的一个问题，即研究四色问题不能老是在地图这个小圈子里转来转去，而要上升到图论中去，图中只有区域而没有飞地之说。地图是一个平面图，它的对偶图也是平面图，给地图面上的染色就是给其对偶图顶点的着色。这里一个顶点就是一个顶点，也不存在飞地之说。所以可以这么说，我们平时所说的地图，是一个非常具体的地球地图，而在四色问题中所说的地图则是一个广义的地图，不可能在这里也涉及到飞地问题。四色猜想的最初提出法也是这样说的：如果画一张图，图上任意分成许多部分，凡是有共同边界线的两个部分都要涂上不同的颜色，那么，大概需要四种颜色，而不需要更多的颜色就可以了。

                             雷  明
二○○六年×月×日于长安


关与所谓的五色定理问题
雷  明
（该贴二○○六年曾在《东陆论坛》网上发表过）
我看了一下关于四色问题的大讨论，由于文章太多，不可能看完，也不可能细看。从我所看到的不多的几篇看，我发现大家在讨论四色问题时，对于有没有所谓的五色地图，六色地图，甚至七色地图很感兴趣。我感到这样讨论，会把讨论的实质引向了别处，与证明四色猜测正确与不正确本身就没有关系了。
所谓的五色定理，是在Heawood对他所构造的Heawood—图不能进行4—着色时，认为该图只能是用五种颜色，所以得出了一个五色定理。它并没有什么实际意义，并没有得出四色猜测到底是正确还是错误的结论。请主意，他是在对他的图没有能进行4—着色，并不是在正明。因为他的图只是一个个别的图，他没有着上4种颜色并不等于该图不可4—着色（其实该图在Heawood着色的基上是可以4—着色的，可惜他没有看到这一点。关于Heawood—图的4—着色，有人（雷明）早已于1992年3 月8日，在陕西省陕学会于西安空军工程学院召开的第七次代表大会暨学术交流会上作过学术报告，证明了Heawood—图是可4—着色的。）。Heawood对他的图没有4—着色就否定了Kempe对猜测的证明，如果又有人构造出一个图来，五种颜色他也不能着上，那么是不是还要再否定Heawood的五色定理，而得出什么六色定理呢。不能这样做的。
地图四色猜测是说任何地图（或平面图）着色时，四种颜色就够用了。本人理解这里面有两个含义，一是最多，一是最少。最多是说，地图染色时，有的地图用两种颜色，有的得用三种，还有的用四种，但对于任何地图最多四种就够用了，不需要准备更多的颜色。这是从不同的地图用色多少的比较上去说的。最少是说，在给一个比较复杂的地图着色（比如有邻国数是寄数的区划）时，最少也要用四种颜色。地图着色时，图中有多少个区划，用多少种颜色当然也是可以的，也是符合着色要求的，也能保证有公共边界的两区划绝没有着同一颜色的情况。但这时颜色数却不是最少的，而最少也不能少于4。也就是说，最少也得用4种颜色，不能再少，否则就不能达到着色的要求。这是从同一个地图用颜色多少上去说的。
即于上述情况，对于同一个地图，你说它是几色图，就能是几色图，你用几种颜色给它着上，它不就是几色地图吗。所以没有必要在有没有五色地图、六色地图、七色地图等这上面去过多争论了。关键的问题是要证明任意的地图着色时四种颜色够不够用的问题。这与五色地图、六色、七色地图又有什么联系呢。四种颜色够用了，四色猜测就正确，不够用，四色猜测就不正确。二者必居其一。不论是那种结果，只有通过正确的证明，才能下一个确切的结论。
在证明猜测时，不能不吸取前人的经验，但不能照搬，一概的摸仿。明知无限制的着色是不能证明猜测的，那就要放弃这一方法，走图论的道路，不要给任何一个图再去着色了。要大胆的抛开老路，找新的证明路径，不能在一个胡同里钻到底。也不能把本来不是很难，也不很复杂的问题复杂化了。
         

                              雷  明
二○○六年×月×日于长安


地图四色猜测叙述的正确方式
雷  明
（该贴二○○六年曾在《东陆论坛》网上发表过）
上海复旦大学教授欧阳光中在他的小册子《地图四色问题——一个著名的数学难题》中有这样一段话：
    “1852年月10月23日，著名的数学家、伦敦大学数学教授奥古斯特•德•莫根(Augustus de Morgan)写信给他在三一学院的好友，著名的数学家和物理学家威廉•哈密顿(Milliam  Rowan Hamiltom)，在这封信中提出了地图的四色问题。他在信中写道：
    “ ‘我的一个学生今天要我为他提供一个充分的理由，来说明一件我自已还无法判明究竟是对的还是错误的事实。他说，如果画一张图，图上任意分成许多部分，凡是有共同边界的两个部分都要涂上不同的颜色，那么，大概需要四种颜色，而不用更多的颜色就可以了。请问，难道不能够构造出一个需要五种或更多种颜色的图吗？’
    “………………
“写到这里，……读者心中或者还有一个疑问放不下，那就是1852年德•莫根写信给哈密顿时所提到的那个首先提出四色问题的大学生，他又是谁呢？当四色猜测开始引起大家的兴趣以后，1880年有一位名叫弗内德里•古特里(Ferderick Guthrie)的物理学家在爱丁堡皇家学会的刊物上发表了一篇短文，文中谈到大约在三十年前，当他还是德•莫根班级里的一个学生的时候，他的兄弟法朗西斯•古特里(Francis Guthrie)首先告诉他地图的四色问题，因为他无法解决，所以才写信向德•莫根教授请教。
    “以后，法朗西斯自已也成为一名数学教授，任教于开普敦的南非大学，他一直活到1899年，但他对自已所提出的问题并无建树。虽然如此，他却是第一个提出地图四色猜测的人，时间是1852年。”
    我只所以在这里引用了欧阳教授的这一段话，是看到了在论坛中有一些人对四色问题的概念还是不大清楚。有的说任何地图染色时“最多”用4种颜色，这是对的；但也有的说是“必须”、“最少”、“不少于”等等，这些都不确切。用“最多4种就够了”是对的，因为有些地图的确两色或三色也就够用了。比如莱索托国的地图只染国家级别区域时两种颜色就够用了，一色是本国色，另一色是外围国南非国的颜色，又比如蒙古国的地图只染国家级别区域时三种颜色也就够用了，一色是本国色，第二色是中国的颜色，第三色则是俄罗斯国的颜色。但不管地图多么复杂，最多4种颜色就够用了，不会多于4种。说“必须”用4种不确切，我以上举的两例就没有用到4种嘛，说“最少”用4种也不对，我所举的例子不是只用了2种和3种吗，说“不少于”4种更不确切，它和猜测的原意根本就格格不入，猜测说最多用4种他却要偏说最少要用4种，是南辕北辙，背道而驰的。当然了，本来用四种就可以的地图你给它用上五色六色当然也不是不可以，还是可以使有共同边界的区划以不同的颜色相区别了。但图论中所讲的色数是所用最少的颜色数.
关于地图，我也想说几句，当然了，地图可以是画出整个地球的地图，也可以是只画出整个地球的一个局部区域之内的地图，平时我们所指的地图一般都是指后者。这样以来就可能有的地图只用2色，有的得用3色，有的就得用4色，但最多用4色就够了。地图本身就是一个平面图，它的对偶图也是一个平面图，所以在证明猜测时就直接用平面图或图的术语就行了，即证明平面图的四色猜测就行了。不要老是冲不出地图这个圈子。地图染色是给面上染色，在它的对偶图中，就成了给平面图顶点的着色，那么平面图顶点着色的四色问题证明是正确的了，地图的面上的染色的四色猜测也就被证明是正确的了。

                             雷  明
二○○六年×月×日于长安


四色问题应这样去进行研究
——回复一个名叫“258066726”的网友的评论
雷  明
（该贴二○○六年曾在《东陆论坛》网上发表过）
我也是一个业余的四色爱好者，对四色猜测的研究也有二十多年了。我看了一下，与你同样的证明方法的文章不少，我感到都不大对头。四色问题的范围是地图和平面图，而地图也是一种平面图，所以说四色问题是在平面图范围之内的。平面图的四色问题是对其顶点着色而言的，地图着色则是给平面图面上的着色。由于地图（平面图）的对偶图也是平面图，所以给地图面上的着色实际上就成了给其对偶图（平面图）顶点的着色。你文章的前一部分说得是言之有理的。后面的证明还是有一点问题。你所谓的五点两两均相邻的情况，本身就不是平面图了，而是一个非平面图。非平面图本身就不在猜测的范围之内，所以你说了那么多的话等于没说。平面图本身的密度是不会大于4的，也就是说在平面图范围内最多是四个顶点可以两两相邻的，但密度等于4的图的色数有时也是会大于4的，这一点可以从画图看出（我也不会上传图形，就只好这样了，你自已去啄模吧），但在这种情况下的图，虽然密度还是不大于4，但它已不再是平面图了，而是一个非平面图。这就是说，虽然平面图的密度不大于4，但密度不大于4的图却不一定都是平面图。所以证明时我认为，先针对任意图，研究其顶点着色数与其密度的关系，当然色数是绝对不会小于密度值的，但也不能说就不会大于密度值，关键的一步就是要证明这一点。色数比密度能大多少，也应是与密度有关的，甚至要得出一个定量的公式。这就是图顶点着色色数的界。然后再把平面图密度不大于4的限制条件代入这个界中去，就会得出在密度不大于3的情况下的图的色数都不大于4，而在密度为4时，就出现了色数大于4的情况，但这种情况下的图一定不是平面图，而是非平面图了。这就是说，在研究四色问题时不能只看到“地图”，“平面图”，而要先看到“图”，看到“任意”的图，先研究任意图，再回过头来研究平面图。这就是从总体到个别的研究方法，因为平面图只是“图”这个总体中的一部分，甚至是极少的一部分。如果把“图”看成一个集合，那么“平面图”只是其中的一个小小的子集合。这就是我的一点不成熟的见解，请批评。
（注：由于以前没有把网名为258066726的原文摘录下来，在整理该帖时再去网上找原文时，又没有找到，所以只好没有原文了。）

                              雷  明
二○○六年×月×日于长安