高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例（以当天日期为随机数选择偶数）

愚工688

重生888@ 发表于 2020-7-2 08:55
二十位偶数：20000000000000000004     没有素数对，能模拟修正系数，反推素数对吗？也许我能做到！
a=2 ...

虽然说，对于更大的偶数，我们要近似计算它们的素对数量，也是能够做到的。

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   ；（这个式子的 好处在于能够快速的进行计算大偶数）
  S( 10^5 ) =  810              ;Xi(M)≈ 778.34               δxi(M)≈-0.039086  
  S( 10^6 ) =  5402             ;Xi(M)≈ 5323.31              δxi(M)≈-0.014569
  S( 10^7 ) =  38807            ;Xi(M)≈ 38557.1              δxi(M)≈-0.006442  
  S( 10^8 ) =  291400           ;Xi(M)≈ 291262.27            δxi(M)≈-0.0004736
  S( 10^9 ) =  2274205          ;Xi(M)≈ 2272089.28           δxi(M)≈-0.0009304
  S( 10^10 ) = 18200488         ;Xi(M)≈ 18179890.52          δxi(M)≈-0.001132
  S( 10^11 ) = 149091160        ;Xi(M)≈ 148486029.78         δxi(M)≈-0.004059  
  S( 10^12 ) = 1243722370       ;Xi(M)≈ 1233556241.87        δxi(M)≈-0.008174  
  S( 10^13 ) = 10533150855,      ;Xi(M)≈ 10395227871.57       δxi(M)≈-0.013094
  S( 10^14 ) = 90350630388       ;Xi(M)≈ 88673642506.88       δxi(M)≈-0.018561
  S( 10^15 ) = 783538341852      ;Xi(M)≈ 764388083252.93      δxi(M)≈-0.024441
  
  S( 10^16 ) =                   ;Xi(M)≈ 6649758337574.61                  δxi(M)≈  
  S( 1D+17 ) =                   ;Xi(M)≈ 58316362098437                    δxi(M)≈  
  S( 1D+18 ) =                   ;Xi(M)≈ 515074268784852.3               δxi(M)≈
  S( 1D+19 ) =                   ;Xi(M)≈ 4578367435860295                δxi(M)≈
  S( 1D+20 ) =                   ;Xi(M)≈ 4.092894489691433D+16      δxi(M)≈  
  S( 1D+21 ) =                   ;Xi(M)≈ 3.677803142775553D+17      δxi(M)≈  
  S( 1D+22 ) =                   ;Xi(M)≈ 3.320296156391965D+18      δxi(M)≈  
  S( 1D+23 ) =                   ;Xi(M)≈ 3.010340814088827D+19      δxi(M)≈  
  S( 1D+24 ) =                   ;Xi(M)≈ 2.739983092461972D+20      δxi(M)≈  
  S( 1D+25 ) =                   ;Xi(M)≈ 2.502854319297409D+21      δxi(M)≈  
  S( 1D+26 ) =                   ;Xi(M)≈ 2.293807596260018D+22      δxi(M)≈  

  S( 1D+100 ) =                  ;Xi(M)≈ 8.740133931769918D+94      δxi(M)≈  
  S( 1D+101 ) =                  ;Xi(M)≈ 8.500419762956836D+95      δxi(M)≈  
  S( 1D+102 ) =                  ;Xi(M)≈ 8.268707461564321D+96      δxi(M)≈
  
  S( 1D+203 ) =                  ;Xi(M)≈ 6.978721609042976D+196     δxi(M)≈
  S( 1D+204 ) =                  ;Xi(M)≈ 6.794197491171922D+197     δxi(M)≈  
  S( 1D+205 ) =                  ;Xi(M)≈ 6.613215804568799D+198     δxi(M)≈  

但是如果我们自己没有验证的能力，那么这样的计算就显得没有多大的意义了。
虽然我可以肯定的说，大偶数时素对计算值绝对是小于素对真值的，因为这个计算式的计算值是随着偶数增大而计算值负相对误差的绝对值是越来越大的。
因此这个对于哈李公式的误差修正公式只能适合一定的范围。如果相对误差越来越大，这个公式就没有意义了。
可以确定，在 10^7—— 10^11范围内任意偶数，这个对哈李公式的误差修正公式的计算值的相对误差应该在0.01以下。

比如：5千万的连续偶数的素对计算：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  G(50000000) = 158467   ;Xi(M)≈ 157867.81      δxi(M)≈-0.00378  
  G(50000002) = 134117   ;Xi(M)≈ 133974.71      δxi(M)≈-0.00106  
  G(50000004) = 236822   ;Xi(M)≈ 236801.72      δxi(M)≈-0.000086  
  G(50000006) = 142281   ;Xi(M)≈ 142081.04      δxi(M)≈-0.001406
  G(50000008) = 119666   ;Xi(M)≈ 119647.2       δxi(M)≈-0.000159
  G(50000010) = 323522   ;Xi(M)≈ 322752.01      δxi(M)≈-0.00238  
  G(50000012) = 118426   ;Xi(M)≈ 118400.88      δxi(M)≈-0.000212
  G(50000014) = 119804   ;Xi(M)≈ 119467.56      δxi(M)≈-0.002808  
  G(50000016) = 265712   ;Xi(M)≈ 264844.35      δxi(M)≈-0.003265  

实际验证结果是完全符合对该式的计算值的相对误差估计范围的。

重生888@

愚工688 发表于 2020-7-9 10:02
虽然说，对于更大的偶数，我们要近似计算它们的素对数量，也是能够做到的。

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^ ...

愚工先生好！谢谢您回帖。谢谢对我的包容！

重生888@

愚工先生好！谢谢您回复，并对我的包容！

重生888@

今天看到您的回复，非常高兴！但也吓一大跳，误将10^15是15位数，计算差一大截！（因我使用计算，少打一个0）

重生888@

愚工688 发表于 2020-7-9 10:02
虽然说，对于更大的偶数，我们要近似计算它们的素对数量，也是能够做到的。

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^ ...

a=10^14              a==10^15
D(a)=5/6*(a+2a/lna)/(lna)^2=85167345136                         85167345136/90350630388=0.9426
D(a)=5/6*(a+2a/lna)/(lna)^2=739012850325                       739012850325/783538341852=0.9437

重生888@

愚工先生好！一个16位数，不用分解质因数，不用知道素数个数，不改变公式形式，计算精度达百分之九十以上，没有内在规律，是不可能做到的。请相信我的公式。我多次感谢您的启发和帮助，希望进一步交流！

重生888@

请问5千万左右，t2=?

愚工688

经验公式：相对误差动态修正系数 t2=1.358-log(M)^(0.5)*.05484;用以改善哈-李公式计算偶数的素对数量的相对误差偏大的缺陷。
适用范围：10^16以内的偶数。

Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   

  G(50000000) = 158467   ;Xi(M)≈ 157867.81      δxi(M)≈-0.00378     ( t2=  1.12727 )
  G(50000002) = 134117   ;Xi(M)≈ 133974.71      δxi(M)≈-0.00106     ( t2=  1.12727 )
  G(50000004) = 236822   ;Xi(M)≈ 236801.72      δxi(M)≈-0.000086   ( t2=  1.12727 )
  G(50000006) = 142281   ;Xi(M)≈ 142081.04      δxi(M)≈-0.001406   ( t2=  1.12727 )
  G(50000008) = 119666   ;Xi(M)≈ 119647.2       δxi(M)≈-0.000159     ( t2=  1.12727 )
  G(50000010) = 323522   ;Xi(M)≈ 322752.01      δxi(M)≈-0.00238      ( t2=  1.12727 )
  G(50000012) = 118426   ;Xi(M)≈ 118400.88      δxi(M)≈-0.000212    ( t2=  1.12727 )
  G(50000014) = 119804   ;Xi(M)≈ 119467.56      δxi(M)≈-0.002808    ( t2=  1.12727 )
  G(50000016) = 265712   ;Xi(M)≈ 264844.35      δxi(M)≈-0.003265    ( t2=  1.12727 )

  G(50000018) = 118250  ;Xi(M)≈ 118400.88      δxi(M)≈  ( t2=  1.12727 )
  G(50000020) = 201653  ;Xi(M)≈ 200585.03      δxi(M)≈  ( t2=  1.12727 )
  G(50000022) = 255562  ;Xi(M)≈ 255331.8       δxi(M)≈  ( t2=  1.12727 )
  

重生888@

愚工688 发表于 2020-7-10 19:08
经验公式：相对误差动态修正系数 t2=1.358-log(M)^(0.5)*.05484;用以改善哈-李公式计算偶数的素对数量的相 ...

谢谢回复！t2=1.12727...     也就是说给原式增加0.12727...     谢谢！

愚工688

哈李公式的计算值与真值的相对误差绝对值在小偶数时比较大一些。从1000以后基本上是负值，绝对值逐渐减小，在无穷大时趋近0位。
因此要修正这个相对误差绝对值大的缺陷，就要使得计算值略微增大一些，偶数趋大的过程中计算值增大速率逐渐减小。
故t2是一个随偶数增大而解析值逐渐减小的修正因子。
当然修正因子t2的适用范围也是有限制的，一般在10^16以内。
实际上人类的计算能力也是有限制的，没有人能够计算无穷大的偶数的素对数量。