高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例（以当天日期为随机数选择偶数）

愚工688

重生888@ 发表于 2019-6-5 09:06
愚工先生好！24122示例，得到的数据准确！如果你能另辟思路，证明A+x, A-x是素数就好了！

根据埃氏筛法，当x值除以素数2，3，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)时的数，必然能够与A构成偶数的素对A±x;
（j2,j3,…，jr系A除以素数2，3，…，r时的余数。）

这有必要再进行证明？埃氏筛法筛选素数的条件，同样适用于A-x,A+x 。因此对于给出的任意偶数2A，上面就是构成素数对（A-x）+（A+x）的变量x的条件。

愚工688

艾拉托尼筛法（Eratosthenes）：x不能被≤√x 的所有素数整除即为素数。这是目前判断素数的最基本有效的方法。
运用艾氏筛法，我们可以筛选出 x 以下所有的素数。
其中分为2个部分：
1. 不能被≤√x 的所有素数整除，也就是除以≤√x 的所有素数时余数都不等于0—— 能够筛选出在（√x,x ]之内的全部素数。
2. 能被≤√x 的某个素数整除，商等于1 —— 即作为筛子的≤√x 的所有素数本身。
全部x内的素数数量，就是这两个部分之和。

那么使用艾拉托尼筛法筛选偶数2A能够构成素数对A±x的x值，同样也有这两种类型：
条件a：A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时，成为素数对；这是偶数表为两个素数和的主要部分；是能够用连乘式进行近似计算的；

条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x等于其中某个素数，两个数也都是素数；（相当于素数筛选中作为筛子的≤√x 的素数部分）
而符合条件b的x值的数量并不具有计算特性，这与筛选素数时的筛子素数随数x增大而数量单调增多的性质是不同的。
比如：
我们既可以看到100以下的小偶数的S2(m)已经有2个能够构成素数对A±x的x值(括号内）：
[ 64 = ]  23 + 41  17 + 47  11 + 53 ( 5 + 59 )( 3 + 61 ) ；x=9 , 15 , 21 ,( 27) ,( 29 ),
M= 64         S(m)= 5     S1(m)= 3    Sp(m)≈ 2.143    δ(m)≈-.54   δ1(m)≈ -.24  r= 7
Sp( 64)=[( 64/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)≈ 2.1429

[ 66 = ]  29 + 37  23 + 43  19 + 47  13 + 53 ( 7 + 59 )( 5 + 61 )； x= 4 , 10 , 14 , 20 ,( 26) , (28 ),
M= 66         S(m)= 6     S1(m)= 4    Sp(m)≈ 4.429    δ(m)≈-.21   δ1(m)≈  .18  r= 7
Sp( 66)=[( 66/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)≈ 4.4286

但是也可以看到比它们大许多的偶数的能够构成符合条件b的素数对A±x的x值S2(m)=0：（即S(m)= S1(m)）
M= 21368      S(m)= 178   S1(m)= 178  Sp(m)≈ 175.1204  δ(m)=-1.617749E-02  K= 1               r= 139
M= 22832      S(m)= 180   S1(m)= 180  Sp(m)≈ 182.164    δ(m)= 1.202215E-02  K= 1               r= 151
M= 23426      S(m)= 215   S1(m)= 215  Sp(m)≈ 221.7528  δ(m)= 3.140819E-02  K= 1.186453  r= 151
M= 23456      S(m)= 179   S1(m)= 179  Sp(m)≈ 187.1434  δ(m)= .0454937         K= 1               r= 151
M= 43532      S(m)= 298   S1(m)= 298  Sp(m)≈ 310.4073  δ(m)= 4.163509E-02  K= 1               r= 199
M= 54244      S(m)= 360   S1(m)= 360  Sp(m)≈ 380.4712  δ(m)= 5.686434E-02  K= 1.01986    r= 229
M= 63274      S(m)= 441   S1(m)= 441  Sp(m)≈ 448.9532  δ(m)= 1.803437E-02  K= 1.066667  r= 251

当然在它们附近也能够看到比较大的s2≥20以上的偶数：
M= 54600      S(m)= 1299   S1(m)= 1273   s2= 26          Sp(m)≈ 1299.621     K= 3.490909
M= 59220      S(m)= 1291  S1(m)= 1267   s2= 24          Sp(m)≈ 1298.922     K= 3.271111
M= 59250      S(m)= 1077  S1(m)= 1052   s2= 25          Sp(m)≈ 1073.199     K= 2.701299

这已经充分显示了符合条件b的素对 s2(m)的数量不具有可计算的特征。
因此要想使用计算式完全准确无误的计算出偶数的素数对数量是基本不可能的。（个别偶数例外）
在本帖子中，对于 s2(m)的数量把它看作连乘式的计算值的误差因素之一，进行讨论，以达到高精度计算偶数素数对数量的目的，不失为一个明智的方法。

愚工688

今天是2019-06-12日，以今天日期为随机数，计算它的10倍、百倍、千倍的连续偶数的素对下界值：（以素数连乘式计算）

G(201906120)= 1230292  ；inf( 201906120 )≈  1220670.8 , Δ≈-0.00782 ,infS(m) = 404528.99 , k(m)= 3.01751
G(201906122)= 480367 ；inf( 201906122 )≈  477490.5 , Δ≈-0.005988 ,infS(m) = 404529 , k(m)= 1.18036
G(201906124)= 493939 ；inf( 201906124 )≈  489318.3 , Δ≈-0.009355 ,infS(m) = 404529 , k(m)= 1.2096

G(2019061200)= 9677839  ；inf( 2019061200 )≈  9613671.3 , Δ≈-0.006630,infS(m) =3185960.36 , k(m)= 3.01751
G(2019061202)= 3440111 ；inf( 2019061202 )≈  3418231.2 , Δ≈-0.006360,infS(m) = 3185960.36 , k(m)= 1.0729
G(2019061204)= 3261855 ；inf( 2019061204 )≈  3239959.7 , Δ≈-0.006713,infS(m) = 3185960.36 , k(m)= 1.01695

G(2019061200)= 78080861  ；inf( 20190612000 )≈ 78043006.5 , Δ≈-0.0004848,infS(m) =25863368.54 , k(m)= 3.01751
G(20190612002)= 28845779；inf( 20190612002 )≈  28830076.4 , Δ≈-0.0005444,infS(m) = 25863368.54 , k(m)= 1.11471
G(20190612004)= 25893600；inf( 20190612004 )≈  25874397.7 , Δ≈-0.0007416,infS(m) = 25863368.54 , k(m)= 1.00043

njzz_yy

能不能搞个偶哥数（——偶数表为两个素数和的表法数）数据表，供大家学习研究，

偶数N在X内偶哥数的最小值MIN（X）及对应的最大偶数N1，最大值MAX（X）及对应的最小偶数N2，
X                  MIN（X）            N1          MAX（X）         N2      
10^2
10^3
10^4
10^5
10^6
10^7
10^8
10^9
10^10
10^11

njzz_yy

愚工688 发表于 2017-7-4 22:57
蔡先生：
为你点赞！

《概率素数论》主要研究素数分布，这类问题书中都有定量分析理论公式，需要电子书稿给邮箱

愚工688

njzz_yy 发表于 2019-6-13 00:16
能不能搞个偶哥数（——偶数表为两个素数和的表法数）数据表，供大家学习研究，

偶数N在X内偶哥数的最小 ...

每个偶数的表为两个素数和的表法数都是个定值。
但是把每个偶数的表为两个素数和的表法数都列出来，是不现实的，因为其篇幅是极其庞大的。
与x内的素数数量的列表不同，素数的数量是个单调增大的参数，因此可以列出1万内、1亿内、……的素数数量；
而偶数表为两个素数和的表法数是具有波动性的，因此每个偶数的自身的素对数据是独立的，不受相邻偶数的影响。因此要列出每个偶数的素对数据，是不可能的。
我目前掌握的电脑程序水平，可以得出100万亿偶数的素对数量，每个偶数写一行，也就是50万亿行。
这么庞大的文件怎么发？
如果你每一秒钟能够看5行，那么你一生也是不可能看完的。

njzz_yy

愚工688 发表于 2019-6-13 13:27
每个偶数的表为两个素数和的表法数都是个定值。
但是把每个偶数的表为两个素数和的表法数都列出来，是不 ...

只要写出，在10^N到10^（N+1）内，偶哥数最小值MING2（N1）及N1值，最大值MANG2（N2）及N2值，一排就4个值，

100万亿，就10^14，只写14排，咱已经写了，100内的了，只写13排了，

愚工688

njzz_yy 发表于 2019-6-13 05:38
只要写出，在10^N到10^（N+1）内，偶哥数最小值MING2（N1）及N1值，最大值MANG2（N2）及N2值，一排就4个 ...

数据难道可以编写吗？
哪怕是一亿到10亿里面，你不需要求出全部偶数的素对数据进行比较得出你要求的“偶哥数最小值MING2（N1）及N1值，最大值MANG2（N2）及N2值，”？
你只要试试看，能否求出10^4--10^5 的“偶哥数最小值MING2（N1）及N1值，最大值MANG2（N2）及N2值，”？

njzz_yy

愚工688 发表于 2019-6-13 14:33
数据难道可以编写吗？
哪怕是一亿到10亿里面，你不需要求出全部偶数的素对数据进行比较得出你要求的“偶 ...

说得对，得先计算出每个范围内，每个偶数T的哥数G2(T)，全部G2(T)比较大小后，才能确定G2（N1），N1，G2（N2），N2，这四个数据，

咱人工计算10^2内的偶哥数花了1小时，要是人工计算10^3内的偶哥数，可能要花几十小时，要是人工计算10^4内的偶哥数，可能要花几个月或几年，

愚工688

虽然我用程序筛选 10000起的连续1000个偶数的素数对数量仅仅用时0.001秒，但是把其中素对比较少以及比较多的偶数选出来，也需要不少的时间。如下数据摘录：

G(10000) = 127
G(10002) = 197
G(10004) = 99
G(10230) = 304
G(10560) = 304
G(10620) = 280
G(10650) = 280
G(10710) = 340
G(10890) = 311
G(11040) = 301
G(11114) = 98
G(11130) = 350
G(11220) = 340
G(11310) = 321
G(11340) = 348
G(11430) = 289
G(11550) = 393
G(11580) = 301
G(11610) = 300
G(11672) = 98
G(11700) = 316
G(11730) = 319
G(11760) = 350
G(11880) = 327
G(11940) = 302
G(11994) = 236
G(11996) = 108
G(11998) = 144
count = 1000, algorithm = 2, working threads = 2, time use 0.001 sec

因此按照你的要求的数据是不可能人工统计出来的。
虽然小偶数时1000个偶数的素对筛选是比较快的，但是对于大偶数，我使用的高速筛选软件也显得速度很慢了。
比如11万亿的偶数：
G(11111111111110)=12000220328;1115.63s. 一个偶数就需要近20分钟了；
G(11111111111112)=17470455584;1994.64s. 这个偶数就运算了33分钟多了。
因此大偶数只能偶尔计算少量的数，不可能进行大范围的计算。

当然在不太大的偶数范围，借助于程序，我们还是能够对偶数的素对数据进行一些处理的。
比如我对于偶数区域素对计算值的相对误差的统计计算的例子：
M=[ 80002 , 90000 ]   r= 293  n= 5000  μ= .01   σχ= .02 δ(min)=-.06  δ(max)= .098
M=[ 90002 , 100000 ]  r= 313  n= 5000  μ= .0218 σχ= .0174 δ(min)=-.038 δ(max)= .112

大偶数样本：
50000000000 - 50000000048 : n= 25 μ= .157047 σx = .000095  δmin = .15688  δmax = .15725
70000000000 - 70000000048 : n= 25 μ= .158689 σx = .000061  δmin = .158571 δmax = .158863
可以看到大偶数区域各个偶数的素对计算值的相对误差是相当接近的，这个规律正是我本帖子 高精度计算大偶数表为两个素数和 的方法依据。