高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例（以当天日期为随机数选择偶数）

愚工688

今天是狗年除夕，2019-02-04日。
计算一下偶数20190204000起的连续10个偶数的表为两个素数和的表法数量的计算值，看看精度怎么样？
使用偶数表为两个素数和的表法数计算式： Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2  的计算：

  S( 20190204000 ) = 70787834  ;Xi(M)≈ 70647887.87    计算值精度(M)≈0.9984  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190204002 ) = 25878990  ;Xi(M)≈ 25829138.82    计算值精度(M)≈0.9981  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190204004 ) = 28071191  ;Xi(M)≈ 28015108.31    计算值精度(M)≈0.9980  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190204006 ) = 62106751  ;Xi(M)≈ 61988988.26    计算值精度(M)≈0.9981  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190204008 ) = 28438394  ;Xi(M)≈ 28381643.81    计算值精度(M)≈0.9980  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190204010 ) = 35473088  ;Xi(M)≈ 35405561.85    计算值精度(M)≈0.9981  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190204012 ) = 57505087  ;Xi(M)≈ 57397211.02    计算值精度(M)≈0.9981  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190204014 ) = 25878663  ;Xi(M)≈ 25830332.83    计算值精度(M)≈0.9981  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190204016 ) = 25880165  ;Xi(M)≈ 25831741.36    计算值精度(M)≈0.9981  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190204018 ) = 52067246  ;Xi(M)≈ 51975985.62    计算值精度(M)≈0.9982  ( t2=  1.091059 )
  time start =16:33:02, time end =16:35:23

同样这些偶数使用源自艾拉托色尼筛法的素数连乘式的计算值与计算精度：

G(20190204000) = 70787834 ;Sp( 20190204000 *)≈  70753428.5 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99951;
G(20190204002) = 25878990 ;Sp( 20190204002 *)≈  25867725.8 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99956;
G(20190204004) = 28071191 ;Sp( 20190204004 *)≈  28056961.6 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99949;
G(20190204006) = 62106751 ;Sp( 20190204006 *)≈  62081594.4 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99959;
G(20190204008) = 28438394 ;Sp( 20190204008 *)≈  28424043.5 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99950;
G(20190204010) = 35473088 ;Sp( 20190204010 *)≈  35458456.1 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99959;
G(20190204012) = 57505087 ;Sp( 20190204012 *)≈  57482957.8 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99962;
G(20190204014) = 25878663 ;Sp( 20190204014 *)≈  25868920.8 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99962;
G(20190204016) = 25880165 ;Sp( 20190204016 *)≈  25870331.1 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99962;
G(20190204018) = 52067246 ;Sp( 20190204018 *)≈  52053632.0 , jdz =sp(m)/s(m) ≈0.99974;
start time =16:25:34,end time=16:29:01 ,time use =
具体计算式：
Sp( 20190204000 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204000 /2 -2)*p(m) ≈ 70753428.5 , k(m)= 2.735243
Sp( 20190204002 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204002 /2 -2)*p(m) ≈ 25867725.8 , k(m)= 1.000015
Sp( 20190204004 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204004 /2 -2)*p(m) ≈ 28056961.6 , k(m)= 1.084648
Sp( 20190204006 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204006 /2 -2)*p(m) ≈ 62081594.4 , k(m)= 2.4
Sp( 20190204008 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204008 /2 -2)*p(m) ≈ 28424043.5 , k(m)= 1.098839
Sp( 20190204010 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204010 /2 -2)*p(m) ≈ 35458456.1 , k(m)= 1.370781
Sp( 20190204012 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204012 /2 -2)*p(m) ≈ 57482957.8 , k(m)= 2.222222
Sp( 20190204014 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204014 /2 -2)*p(m) ≈ 25868920.8 , k(m)= 1.000061
Sp( 20190204016 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204016 /2 -2)*p(m) ≈ 25870331.1 , k(m)= 1.000116
Sp( 20190204018 *) = 1/(1+ .1533 )*( 20190204018 /2 -2)*p(m) ≈ 52053632 , k(m)= 2.012331

注：偶数打“*”号表示进行了误差修正，修正系数μ=0.1533；p(m)展开则为素数连乘式； k(m)为偶数含有的素因子形成的素因子系数，即素对数量的波动量值。

应该说，两个计算式的计算值的精度都是不错的！

愚工688

今天2019-02-09日，用连乘式计算一下20190209000起连续偶数表为两个素数和的单记数量下界值与区域下界值：

G(20190209000) = 37637083；
inf( 20190209000 )≈ 37618694.3 , Δ≈-0.0004886 ,infS(m) = 25862852.31 , k(m)= 1.45455
G(20190209002) = 27854931；
inf( 20190209002 )≈ 27834170.1 , Δ≈-0.0007453 ,infS(m) = 25862852.32 , k(m)= 1.07622
G(20190209004) = 62385997；
inf( 20190209004 )≈ 62346716.0 , Δ≈-0.0006296 ,infS(m) = 25862852.32 , k(m)= 2.41067
G(20190209006) = 28762948；
inf( 20190209006 )≈ 28743945.3 , Δ≈-0.0006607 ,infS(m) = 25862852.32 , k(m)= 1.1114
G(20190209008) = 26112685；
inf( 20190209008 )≈ 26095851.0 , Δ≈-0.0006447 ,infS(m) = 25862852.32 , k(m)= 1.00901
G(20190209010) = 69259060；
inf( 20190209010 )≈ 69225920.6 , Δ≈-0.0004785 ,infS(m) = 25862852.33 , k(m)= 2.67665
G(20190209012) = 25878373；
inf( 20190209012 )≈ 25862852.3 , Δ≈-0.0005998 ,infS(m) = 25862852.33 , k(m)= 1
G(20190209014) = 26216592；
inf( 20190209014 )≈ 26207114.2 , Δ≈-0.0003615 ,infS(m) = 25862852.33 , k(m)= 1.01331
G(20190209016) = 53693533；
inf( 20190209016 )≈ 53661410.8 , Δ≈-0.0005983 ,infS(m) = 25862852.33 , k(m)= 2.07485
G(20190209018) = 33265451；
inf( 20190209018 )≈ 33244787.9 , Δ≈-0.0006212 ,infS(m) = 25862852.34 , k(m)= 1.28543
G(20190209020) = 37253739；
inf( 20190209020 )≈ 37228188.8 , Δ≈-0.0006858 ,infS(m) = 25862852.34 , k(m)= 1.43945
G(20190209022) = 51752760；
inf( 20190209022 )≈ 51725704.7 , Δ≈-0.0005228 ,infS(m) = 25862852.34 , k(m)= 2
time start =15:16:03 time end =15:20:30 time use =

如果有兴趣的话，可以把infS(m)值乘以波动系数k(m)，看看是否等于inf( M)值。（因为尾数四舍五入的缘故，会有小差异）
从计算数据中可以看到，各个偶数M 的素对下界计算值 inf(M) 的相对误差绝对值都很小，而它们的素对区域下界计算值 infS(m) 则随着偶数 M的增大而缓慢地单调增大（线性增大因为四舍五入的缘故呈现每隔几个偶数在尾数百分位上进一）。

素数对下界计算式如下：
inf( 20190209000 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209000 /2 -2)*p(m) ≈ 37618694.3
inf( 20190209002 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209002 /2 -2)*p(m) ≈ 27834170.1
inf( 20190209004 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209004 /2 -2)*p(m) ≈ 62346716
inf( 20190209006 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209006 /2 -2)*p(m) ≈ 28743945.3
inf( 20190209008 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209008 /2 -2)*p(m) ≈ 26095851
inf( 20190209010 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209010 /2 -2)*p(m) ≈ 69225920.59999999
inf( 20190209012 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209012 /2 -2)*p(m) ≈ 25862852.3
inf( 20190209014 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209014 /2 -2)*p(m) ≈ 26207114.2
inf( 20190209016 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209016 /2 -2)*p(m) ≈ 53661410.8
inf( 20190209018 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209018 /2 -2)*p(m) ≈ 33244787.9
inf( 20190209020 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209020 /2 -2)*p(m) ≈ 37228188.8
inf( 20190209022 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190209022 /2 -2)*p(m) ≈ 51725704.7

愚工688

用素数连乘计算式计算偶数M的素对的数量，即
SP(M)=(M-2)/2*1/2*i3/3*i5/5*i7/7*…*ir/r ；计算素对A-x,A+x 同时不能被≤√(M-2) 的所有素数整除的数量，从理论上讲相对误差水平应该趋向于在0位附近波动，
因为在连续的2*3*5*7*11*…*r 的自然数中，*1/2*i3/3*i5/5*i7/7*…*ir/r 得到的是没有误差的值。
虽然x的取值区域只是连续的2*3*5*7*11*…*r 的自然数中的一部分，从概率上面看，应该处于0位附近波动，而不应该相对误差值会逐渐趋向于0.20以上。
这是与实际偶数的大量计算实例的统计结果不相符的。
为什么偶数越大，小区域中所有偶数的连乘式的相对误差会偏离0位越远呢？
我所想到的唯一理由是边端效应。
因为x的取值区域[0，A-2]始终处于自然数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,……,[π(r)-1] ;中这个大区域的一端，而端点区域的数在整个[π(r)-1]区域中的占比会随偶数的不断增大而越来越小，而端点区域的数中符合x值余数条件的发生概率随着最大素数r 的增大，也会逐渐离开理论上的平均发生概率，产生一定的偏离。

而同样的是，用素数连乘式计算x内的素数p的数量：
X(p)=x*1/2*2/3*4/5*6/7*10/11*……*（p1-1)/p1; （p1是√x内的最大素数。）
也会发生这个边端效应。
随着数X的不断增大，X内的素数的连乘式计算值会大于实际素数数量的比例越来越大，两者之比也会趋向1.20以上。
这与素对的连乘式的计算发生的情况几乎是一致的。
当然这只是我个人的一家之言，是没有什么理论依据的，也不知道是否有人对此现象作过研究。瞎扯扯。

愚工688

今天是2019-02-12日，以日期为随机数的10万倍2019021200000起始的连续偶数的素对计算数据。

用素数连乘式的计算偶数M的素对数量的下界计算值 inf(M) 与区域下界计算值 infS(m) ：
G(2019021200000)= 2860074350；
inf( 2019021200000 )≈  2850578934.9 , Δ≈-0.003320 ,infS(m) = 1781609363.54 , k(m)= 1.6
G(2019021200002)= 1793417159；
inf( 2019021200002 )≈  1787375089.6 , Δ≈-0.003369 ,infS(m) = 1781609363.54 , k(m)= 1.00324
G(2019021200004)= 3575239111；
inf( 2019021200004 )≈  3563218727.1 , Δ≈-0.003362 ,infS(m) = 1781609363.54 , k(m)= 2
G(2019021200006)= 1787559274；
inf( 2019021200006 )≈  1781609363.6 , Δ≈-0.003329 ,infS(m) = 1781609363.55 , k(m)= 1
G(2019021200008)= 1787597651；
inf( 2019021200008 )≈  1781609363.6 , Δ≈-0.003350 ,infS(m) = 1781609363.55 , k(m)= 1
G(2019021200010)= 5018781610；
inf( 2019021200010 )≈  5002007628.6 , Δ≈-0.003342 ,infS(m) = 1781609363.55 , k(m)= 2.80758
G(2019021200012)= 1787551582；
inf( 2019021200012 )≈  1781609363.6 , Δ≈-0.003324 ,infS(m) = 1781609363.55 , k(m)= 1
G(2019021200014)= 2515468178；
inf( 2019021200014 )≈  2507016984.4 , Δ≈-0.003360 ,infS(m) = 1781609363.55 , k(m)= 1.40716
G(2019021200016)= 3575235108；
inf( 2019021200016 )≈  3563218727.1 , Δ≈-0.003361 ,infS(m) = 1781609363.56 , k(m)= 2
G(2019021200018)= 1787641569；
inf( 2019021200018 )≈  1781638913.7 , Δ≈-0.003358 ,infS(m) = 1781609363.56 , k(m)= 1.00002
G(2019021200020)= 2682650047；
inf( 2019021200020 )≈  2673699477.8 , Δ≈-0.003336 ,infS(m) = 1781609363.56 , k(m)= 1.50072
G(2019021200022)= 3575823609；
inf( 2019021200022 )≈  3563865996.7 , Δ≈-0.003344 ,infS(m) = 1781609363.56 , k(m)= 2.00036

time start =17:01:22time end =18:39:39 time use =

计算式：
inf( 2019021200000 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200000 /2 -2)*p(m) ≈ 2850578934.9
inf( 2019021200002 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200002 /2 -2)*p(m) ≈ 1787375089.6
inf( 2019021200004 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200004 /2 -2)*p(m) ≈ 3563218727.1
inf( 2019021200006 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200006 /2 -2)*p(m) ≈ 1781609363.6
inf( 2019021200008 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200008 /2 -2)*p(m) ≈ 1781609363.6
inf( 2019021200010 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200010 /2 -2)*p(m) ≈ 5002007628.6
inf( 2019021200012 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200012 /2 -2)*p(m) ≈ 1781609363.6
inf( 2019021200014 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200014 /2 -2)*p(m) ≈ 2507016984.4
inf( 2019021200016 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200016 /2 -2)*p(m) ≈ 3563218727.1
inf( 2019021200018 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200018 /2 -2)*p(m) ≈ 1781638913.7
inf( 2019021200020 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200020 /2 -2)*p(m) ≈ 2673699477.8
inf( 2019021200022 ) = 1/(1+ .175 )*( 2019021200022 /2 -2)*p(m) ≈ 3563865996.7

同样的偶数，使用类似哈李计算式的 Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2   的计算数据，相对误差也比较小且波动不大：

  S( 2019021200000 ) = 2860074350;Xi(M)≈ 2832638965.9   δxi(M)≈-0.009593  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200002 ) = 1793417159;Xi(M)≈ 1776126455.24  δxi(M)≈-0.009641  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200004 ) = 3575239111;Xi(M)≈ 3540793991.98  δxi(M)≈-0.009634  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200006 ) = 1787559274;Xi(M)≈ 1770396995.99  δxi(M)≈-0.009601  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200008 ) = 1787597651;Xi(M)≈ 1770396995.99  δxi(M)≈-0.009622  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200010 ) = 5018781610;Xi(M)≈ 4970528088.53  δxi(M)≈-0.009615  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200012 ) = 1787551582;Xi(M)≈ 1770396996     δxi(M)≈-0.009597  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200014 ) = 2515468178;Xi(M)≈ 2491239344.07  δxi(M)≈-0.009632  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200016 ) = 3575235108;Xi(M)≈ 3540793992     δxi(M)≈-0.009633  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200018 ) = 1787641569;Xi(M)≈ 1770426407.35  δxi(M)≈-0.009630  ( t2=  1.066303 )
  S( 2019021200020 ) = 2682650047;Xi(M)≈ 2656872889.76  δxi(M)≈-0.009609  ( t2=  1.066303 )
  time start =08:18:55, time end =09:23:50

  可以看到无论是哪个计算式的计算值的相对误差的波动都在一个很小的范围内，因此所计算的一组偶数的各个偶数的相对误差很接近。就是说，计算值与实际偶数的素对数量的波动幅度类似。
  

愚工688

今天是2019-02-20，计算以日期千倍的随机数开始的连续偶数的素对数量的下界值：

G(20190220000) = 37728184 ；
inf( 20190220000 )≈  37707207.5 , Δ≈-0.000556 ,infS(m) = 25862866.4 , k(m)= 1.45797
G(20190220002) = 55116929 ；
inf( 20190220002 )≈  55089190.5 , Δ≈-0.000503 ,infS(m) = 25862866.41 , k(m)= 2.13005
G(20190220004) = 25876705 ；
inf( 20190220004 )≈  25862866.4 , Δ≈-0.000535 ,infS(m) = 25862866.41 , k(m)= 1  
G(20190220006) = 29057041 ；
inf( 20190220006 )≈  29039007.9 , Δ≈-0.000621 ,infS(m) = 25862866.41 , k(m)= 1.12281
G(20190220008) = 62417180 ；
inf( 20190220008 )≈  62385960.0 , Δ≈-0.000500 ,infS(m) = 25862866.41 , k(m)= 2.41218
G(20190220010) = 34513676 ；
inf( 20190220010 )≈  34499033.1 , Δ≈-0.000424 ,infS(m) = 25862866.42 , k(m)= 1.33392
G(20190220012) = 25985444 ；
inf( 20190220012 )≈  25971992.4 , Δ≈-0.000518 ,infS(m) = 25862866.42 , k(m)= 1.00422
G(20190220014) = 53273847 ；
inf( 20190220014 )≈  53245454.2 , Δ≈-0.000533 ,infS(m) = 25862866.42 , k(m)= 2.05876
G(20190220016) = 26255885 ；
inf( 20190220016 )≈  26237690.6 , Δ≈-0.000693 ,infS(m) = 25862866.42 , k(m)= 1.01449
G(20190220018) = 25878523 ；
inf( 20190220018 )≈  25862866.4 , Δ≈-0.000605 ,infS(m) = 25862866.43 , k(m)= 1
G(20190220020) = 71661668 ；
inf( 20190220020 )≈  71618376.1 , Δ≈-0.000412 ,infS(m) = 25862866.43 , k(m)= 2.76916
G(20190220022) = 31053381 ；
inf( 20190220022 )≈  31035439.7 , Δ≈-0.000578 ,infS(m) = 25862866.43 , k(m)= 1.2
time start =19:12:23time end =19:20:49 time use =
(以上数据排列不佳，修正。这样可以清楚看到素对区域下界计算值呈现缓慢增大的规律）
计算式例：
inf( 20190220000 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190220000 /2 -2)*p(m) ≈ 37707207.5
inf( 20190220002 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190220002 /2 -2)*p(m) ≈ 55089190.5
inf( 20190220004 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190220004 /2 -2)*p(m) ≈ 25862866.4
inf( 20190220006 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190220006 /2 -2)*p(m) ≈ 29039007.9
inf( 20190220008 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190220008 /2 -2)*p(m) ≈ 62385960
inf( 20190220010 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190220010 /2 -2)*p(m) ≈ 34499033.1

愚工688

今天是2019-02-28日，以日期为随机数，计算一下20190228000起的连续偶数的素对下界值以及相对误差程度：

G(20190228000) = 72867158；
inf( 20190228000 )≈  72824771.6 , Δ≈-0.0005817 ,infS(m) = 25862876.65 , k(m)= 2.8158
G(20190228002) = 31051833；
inf( 20190228002 )≈  31035452 , Δ≈-0.0005275 ,infS(m) = 25862876.65 , k(m)= 1.2
G(20190228004) = 25961644；
inf( 20190228004 )≈  25951752.5 , Δ≈-0.0003810 ,infS(m) = 25862876.66 , k(m)= 1.00344
G(20190228006) = 58167778；
inf( 20190228006 )≈  58126422.4 , Δ≈-0.0007110 ,infS(m) = 25862876.66 , k(m)= 2.24748
G(20190228008) = 25872442；
inf( 20190228008 )≈  25862876.7 , Δ≈-0.0003697 ,infS(m) = 25862876.66 , k(m)= 1
G(20190228010) = 34577328；
inf( 20190228010 )≈  34559624.2 , Δ≈-0.0005120 ,infS(m) = 25862876.66 , k(m)= 1.33626
G(20190228012) = 51753940；
inf( 20190228012 )≈  51725753.3 , Δ≈-0.0005446 ,infS(m) = 25862876.67 , k(m)= 2
G(20190228014) = 28951279；
inf( 20190228014 )≈  28932016.2 , Δ≈-0.0006654 ,infS(m) = 25862876.67 , k(m)= 1.11867
G(20190228016) = 31054845；
inf( 20190228016 )≈  31035452 , Δ≈-0.0006245 ,infS(m) = 25862876.67 , k(m)= 1.2
G(20190228018) = 54722237；
inf( 20190228018 )≈  54688515.7 , Δ≈-0.0006162 ,infS(m) = 25862876.67 , k(m)= 2.11456
G(20190228020) = 36535750；
inf( 20190228020 )≈  36512296.5 , Δ≈-0.0006419 ,infS(m) = 25862876.68 , k(m)= 1.41176
G(20190228022) = 25876078；
inf( 20190228022 )≈  25862876.7 , Δ≈-0.0005102 ,infS(m) = 25862876.68 , k(m)= 1
time start =19:11:16  ，time end =19:15:36 ，time use =
计算式：
inf( 20190228000 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228000 /2 -2)*p(m) ≈ 72824771.6
inf( 20190228002 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228002 /2 -2)*p(m) ≈ 31035452
inf( 20190228004 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228004 /2 -2)*p(m) ≈ 25951752.5
inf( 20190228006 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228006 /2 -2)*p(m) ≈ 58126422.4
inf( 20190228008 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228008 /2 -2)*p(m) ≈ 25862876.7
inf( 20190228010 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228010 /2 -2)*p(m) ≈ 34559624.2
inf( 20190228012 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228012 /2 -2)*p(m) ≈ 51725753.3
inf( 20190228014 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228014 /2 -2)*p(m) ≈ 28932016.2
inf( 20190228016 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228016 /2 -2)*p(m) ≈ 31035452
inf( 20190228018 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228018 /2 -2)*p(m) ≈ 54688515.7
inf( 20190228020 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228020 /2 -2)*p(m) ≈ 36512296.5
inf( 20190228022 ) = 1/(1+ .1535 )*( 20190228022 /2 -2)*p(m) ≈ 25862876.7

白新岭

虽然我没有验证过，我觉着用1/(LN(n))^2的积分值乘系数（哈代公式中的系数），积分取项为分子中的连乘积中的因子最大值不超LN(n)值为佳，它的精确度随10^m中的m增大，精度增高很快，或许在不太大的m值时它的精确度就能达到15位有效数字的精度。

愚工688

白新岭 发表于 2019-2-28 09:14
虽然我没有验证过，我觉着用1/(LN(n))^2的积分值乘系数（哈代公式中的系数），积分取项为分子中的连乘积中 ...

我用概率连乘式计算的偶数素数对数量的计算值，相对误差最多控制在0.0001左右。因为即使小范围的样本区域，统计的相对误差的标准偏差也只能在万分位左右波动。而计算误差的小波动时不可避免的。
比如以下的相对误差统计数据：
20000000002-20000000100 : n= 50 μ= .15281 σx= .00011 δ(min)= .1525  δ(max)= .15307
30000000002-30000000100 : n= 50 μ= .15494 σx= .0001  δ(min)= .15474 δ(max)= .15519
40000000002-40000000100 : n= 50 μ= .15614 σx= .00008 δ(min)= .1559  δ(max)= .15637  
50000000002-50000000100 : n= 50 μ= .1571  σx= .0001  δ(min)= .1569  δ(max)= .1573

再大的偶数样本的素对计算值的相对误差我就没有再做统计，因为大偶数时相对误差数据统计也是缓慢的。以后有兴趣的时候把标准偏差σx的小数多保留几位看看。

愚工688

白新岭 发表于 2019-2-28 09:14
虽然我没有验证过，我觉着用1/(LN(n))^2的积分值乘系数（哈代公式中的系数），积分取项为分子中的连乘积中 ...

接前面的素对计算值的相对误差统计数据：
当把偶数样本区域的相对误差统计数据的小数保留的位数提高精度到百万分之一后，对于更大样本偶数的相对误差统计数据中的标准偏差σx 的数据显示，随着偶数的增大，标准偏差σx 值仍然进一步的缩小，这也是我使用素数连乘式*修正系数 的方法，在大偶数区域始终能够得到高精度的素对计算值原因，因为大偶数区域素对计算值的相对误差的波动会愈来愈小。

50000000000 - 50000000048 :   n= 25 μ= .157047 σx = .000095  δmin = .15688   δmax = .15725
70000000000 - 70000000048 :   n= 25 μ= .158689 σx = .000061  δmin = .158571 δmax = .158863
80000000000 - 80000000048 :   n= 25 μ= .159080 σx = .000052  δmin = .158896 δmax = .159196
100000000000-100000000048 : n= 25 μ= .160175 σx = .000049  δmin = .16005   δmax = .16026
200000000000-200000000048 : n= 25 μ= .162808 σx = .000041  δmin = .16272   δmax = .16289

可以从统计数据的相对误差均值 μ的数据中看出，即使用1千亿的样本偶数的相对误差均值 μ= .160175，作修正系数去计算2000亿的偶数的素对数量，所引起的额外偏差量也仅仅不到千分之三：
（1+ μ= .162808）÷（1+μ= .160175）=1.00227；

白新岭

造成偏差的原因有二个原因，一个是素数本身参与了运算，另一个原因是n前素数对于根号前素数的余数个数并不完全相等，例如在1000万内，模3余1与余2的个数不相等；同样模5的4类剩余类的个数也不相等；所有根前的素数做模，其剩余类的个数都不相等，如果相等，则严格按比例分配，即能整除素数的偶数类的素数对占所掐位置内的素数对总量的1/(P-1)，而其余各类各占(P-2)/(P-1)^2，所以它们的相对比例为(P-1)/(P-2)，这就是能整除的偶数问什么还要在C2的基础上要乘一个∏(P-1)/(P-2)原因。

素数本身的参与也是影响素数对的原因（因为在公式中没有考虑到它们），这与数学悖论一样，理发师不能给会理发的人理发，那谁给他自己理发呢？，素数本身不参与运算，那还有素数，那参与了问什么又拒之门外呢？这很矛盾。就象筛选素数一样，用其根号前素数，如果不这样限制，恐怕一个素数也留不下，因为每个素数能整除本身，对于全体素数而言，每个素数在其集合中占比为0，而它的剩余类却各占1/(P-1)，所以在考虑素数加法时就不在考虑余数为0的情况，这就是素数本身对素数对的影响，而公式中确把它拒之门外而不考虑，所以一切与素数有关的问题都可以从剩余类上来分析和研究，灵活运用群论，环，域的性质，即可解决。