基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2

愚工688 · 发表于 2019-3-2 21:11

本帖最后由愚工688 于 2019-5-5 09:58 编辑

白新岭发表于 2019-3-2 09:34
无论愚工688的高精度计算值，还是我用素数个数或积分（加上哈代公式）都有一个共性，那就是无论如何也不能 ...

其实你采用素数个数或积分（加上哈代公式）都有一个共性，那就是无论如何也不能达到完全吻合，那是完全正常的。
你的两个计算方法，得到的计算值的相对误差也是比较小的。
（但是相对误差的符号有错吧！相对误差=计算值/实际值-1 。计算值小于实际值则相对误差符号为负）
我在《高精度计算偶数表为两个素数和的表法数实例》一文的开头就写道：
要想正确的计算出任意一个偶数表为两个素数和的表法数值我认为是不可能的。
因为素数个数是整数值，而计算值通常是带无限小数的，两者不可能完全一致的。

为什么采用素数个数我认为不是很好呢？因为在大偶数区域，求出素数个数并不是很容易的事，需要大量的计算时间，不能带来计算上的方便。
为什么我采用哈代公式乘以一个越来越小的修正系数t呢？你看看你哈代公式计算的偶数的计算值的相对误差变化趋势就明白了，因为哈代公式计算值与实际值之间的比值是逐渐趋向于1的，而通常情况下的计算值是小于实际值，呈现负相对误差的。（你的数据为正相对误差有错）因此采用一个越来越小的修正值是必要的。
为什么一般要控制计算式的计算值略小于实际值呢？因为只有小于实际值的计算值，才能够反映出偶数素对下限的变化趋势。
这就是为什么我要对基于哈代计算式改进的计算式Xi(M)的参数t1进一步改进为t2的原因：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2 ,（t2=1.358-log(M)^……）;

  S( 10000 ) =  127    ;Xi(M)≈ 123.9       δxi( 10000 )≈-0.024409
  S( 100000 ) =  810    ;Xi(M)≈ 778.81       δxi( 100000 )≈-0.038506
  S( 1000000 ) =  5402    ;Xi(M)≈ 5324.81       δxi( 1000000 )≈-0.014289
  S( 10000000 ) =  38807 ;Xi(M)≈ 38564.99    δxi( 10000000 )≈-0.006236
  S( 100000000 ) = 291400 ;Xi(M)≈ 291317.94    δxi( 100000000 )≈-0.0002817
  S( 1000000000 ) = 2274205 ;Xi(M)≈ 2272555.72    δxi( 1000000000 )≈-0.0007252
  S( 10000000000 ) = 18200488  ;Xi(M)≈ 18183874.48 δxi( 10000000000 )≈-0.0009128
  S( 100000000000 ) = 149091160 ;Xi(M)≈ 148520557.98 δxi( 100000000000 )≈-0.0038272
  S( 1000000000000 ) = 1243,722,370;Xi(M)≈ 1233,859,293.88  δxi( 1000,000,000,000 )≈-0.0079303

很明显的是，随偶数增大的各区域的偶数计算值的相对误差基本处于负值状态。
但是没有能控制住在偶数达到10亿后素对计算值相对误差绝对值越来越大的趋向，说明参数t2的计算值变小的速率大于哈李计算值的相对误差实际增大的速率。但是已经比使用t1参数时的数据改善了一些。

愚工688 · 发表于 2019-3-2 21:43

使用今天日期的10倍、100倍、1000倍为随机数的连续偶数的素对计算：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2

  S( 201903020 ) = 604035 ;Xi(M)≈ 603876.52    δxi(M)≈-0.0002624  ( t2=  1.118359 )
  S( 201903022 ) = 408011 ;Xi(M)≈ 407790.47    δxi(M)≈-0.0005417  ( t2=  1.118359 )
  S( 201903024 ) = 836012 ;Xi(M)≈ 836136.74    δxi(M)≈ 0.0001492 ( t2=  1.118359 )
  time start =21:27:07, time end =21:27:09
  S( 2019030200 ) = 4751339 ;Xi(M)≈ 4750271.95    δxi(M)≈-0.0002246  ( t2=  1.104341 )
  S( 2019030202 ) = 3852860 ;Xi(M)≈ 3852233.9    δxi(M)≈-0.0001625  ( t2=  1.104341 )
  S( 2019030204 ) = 6503179 ;Xi(M)≈ 6503394.93    δxi(M)≈ 0.0000332 ( t2=  1.104341 )
  time start =21:27:20, time end =21:27:32
  S( 20190302000 ) = 38339933  ;Xi(M)≈ 38265435.87 δxi(M)≈-0.001943  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190302002 ) = 28298428  ;Xi(M)≈ 28244184.91 δxi(M)≈-0.001917  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190302004 ) = 52371620  ;Xi(M)≈ 52275613.67 δxi(M)≈-0.001833  ( t2=  1.091059 )
  time start =21:27:42, time end =21:28:43

计算值的精度还是挺不错的！

愚工688 · 发表于 2019-3-2 21:43

使用今天日期的10倍、100倍、1000倍为随机数的连续偶数的素对计算：
Xi(M)=t2*c1*M/(logM)^2

  S( 201903020 ) = 604035 ;Xi(M)≈ 603876.52    δxi(M)≈-0.0002624  ( t2=  1.118359 )
  S( 201903022 ) = 408011 ;Xi(M)≈ 407790.47    δxi(M)≈-0.0005417  ( t2=  1.118359 )
  S( 201903024 ) = 836012 ;Xi(M)≈ 836136.74    δxi(M)≈ 0.0001492 ( t2=  1.118359 )
  time start =21:27:07, time end =21:27:09
  S( 2019030200 ) = 4751339 ;Xi(M)≈ 4750271.95    δxi(M)≈-0.0002246  ( t2=  1.104341 )
  S( 2019030202 ) = 3852860 ;Xi(M)≈ 3852233.9    δxi(M)≈-0.0001625  ( t2=  1.104341 )
  S( 2019030204 ) = 6503179 ;Xi(M)≈ 6503394.93    δxi(M)≈ 0.0000332 ( t2=  1.104341 )
  time start =21:27:20, time end =21:27:32
  S( 20190302000 ) = 38339933  ;Xi(M)≈ 38265435.87 δxi(M)≈-0.001943  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190302002 ) = 28298428  ;Xi(M)≈ 28244184.91 δxi(M)≈-0.001917  ( t2=  1.091059 )
  S( 20190302004 ) = 52371620  ;Xi(M)≈ 52275613.67 δxi(M)≈-0.001833  ( t2=  1.091059 )
  time start =21:27:42, time end =21:28:43

计算值的精度还是挺不错的！

白新岭 · 发表于 2019-3-2 22:07

你安照你的方法计算一下3*10^N偶数的数对（N为变化值，到你能计算实际素数对为止），它们的精度会比同量级偶数的精度高，因为不同余数类的多少影响它的能力最弱。

重生888@ · 发表于 2019-3-3 00:09

以上二位先生，都在回避我的数据，不敢正视！

白新岭 · 发表于 2019-3-3 09:14

“（但是相对误差的符号有错吧！相对误差=计算值/实际值-1 。计算值小于实际值则相对误差符号为负）”

我是用实际值减计算得到的绝对误差，绝对误差除实际值得到相对误差，只是参考对象不同，知道如何计算出来就知道正负号代表的意义了，这与对错无关。

愚工688 · 发表于 2019-3-3 10:13

本帖最后由愚工688 于 2019-3-3 02:32 编辑

重生888@ 发表于 2019-3-2 05:17
不感兴趣无所谓，只要符合规律就行！一个公式搞定：5/6x/(lnx))^2
偶数素数对真值 (ln ...

  吴代业公式优于哈-李公式！至少在简单方面！
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我看不出你的计算式的计算值比哈代公式的计算值的精度有哪里高？

  f(M)=0.6601738*k*M/log(M)^2 ;10^n的偶数含有素因子5，k=(5-1)/(5-2)=1.3333333;
  0.6601738*k=0.880232 ，而你的系数5/6=0.833333，明显偏小，造成精度不如哈李公式。
  精度值 = 计算值/实际值；相对误差Δ=精度值-1；
M =  10000 ; G(M)=127  ； f( 10000 ) =  103.76 ； Δ≈ -0.1830
M =  100000 ;  G(M)=810； f( 100000 ) =  664.09    ； Δ≈ -0.1801
M =  1000000 ;  G(M)=5402； f( 1000000 ) =  4611.72 ； Δ≈ -0.1463
M =  10000000 ;  G(M)= 38807；f( 10000000 ) =  33882.04  ； Δ≈ -0.1269          ;
M =  100000000 ;  G(M)=291400； f( 100000000 ) =  259409.38 ； Δ≈ -0.1098       ;
M =  1000000000 ;  G(M)= 2274205；f( 1000000000 ) =  2049654.33  ； Δ≈ -0.0987    ;
M =  10000000000 ;  G(M)= 18200488； f( 10000000000 ) =  16602200.1 ； Δ≈-0.0878    ;
M =  100000000000 ;  G(M)=149091160； f( 100000000000 ) =  137208265.28  ； Δ≈ -0.0797;
M =  1000000000000 ; G(M)=1243722370； f( 1000000000000 ) =  1152930562.41  ； Δ≈ -0.073;

愚工688 · 发表于 2019-3-3 11:19

重生888@ 发表于 2019-3-2 16:09
以上二位先生，都在回避我的数据，不敢正视！

见149楼。

白新岭 · 发表于 2019-3-3 15:21

本帖最后由白新岭于 2019-3-3 08:18 编辑

积分取3项
10^n 1.760431509 实际素数对绝对误差相对误差
1 3 3 0 0
2 14 12 -2 -0.166666667
3 52 56 4 0.071428571
4 267 254 -13 -0.051181102
5 1618 1620 2 0.001234568
6 10848 10804 -44 -0.004072566
7 77736 77614 -122 -0.001571881
8 584312 582800 -1512 -0.002594372
9 4552122 4548410 -3712 -0.000816109
10 36463600 36400976 -62624 -0.001720393
11 298646281 298182320 -463961 -0.001555964
12 2490841050 2487444740 -3396310 -0.001365381

积分取2项
10^n 1.760431509 实际素数对绝对误差相对误差
1 3 3 0 0
2 11 12 1 0.083333333
3 47 56 9 0.160714286
4 252 254 2 0.007874016
5 1558 1620 62 0.038271605
6 10558 10804 246 0.022769345
7 76171 77614 1443 0.018592007
8 575138 582800 7662 0.013146877
9 4494850 4548410 53560 0.011775544
10 36087842 36400976 313134 0.008602352
11 296079807 298182320 2102513 0.007051099
12 2472720030 2487444740 14724710 0.005919613
积分值取前三项的值离真实值最近，如果取前两项则回到取分子因子不大于ln（N）的情况，不过这时小于实际值。所以以取前三项的积分值为最佳。

愚工688 · 发表于 2019-3-3 15:55

白新岭发表于 2019-3-3 07:21
积分取3项
10^n 1.760431509 实际素数对绝对误差相对误差
1 3 3 0 0

从相对误差数据看，你的计算公式的计算精度也是不错的！

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