已知复数 z=cos20°+isin20°，求｜z+2z^2+3z^3+…+18z^18｜^(-1)

wintex · 发表于 2019-7-9 12:58

本帖最后由 luyuanhong 于 2019-7-9 15:04 编辑

請問複數問題

波斯猫猫 · 发表于 2019-7-9 22:27

已知复数 z=cos20°+isin20°，求｜z+2z^2+3z^3+…+18z^18｜^(-1)
提示：显然由 z=cos20°+isin20°有z^18=1，z^19=z.
令s=z+2z^2+3z^3+…+18z^18，则sz=z^2+2z^3+3z^4+…+17z^18+18z^19
∴s（1-z）=z+z^2+z^3+z^4+…+z^18-18z^19=z（1-z^18）/〔1-z〕-18z^19=-18z^19=-18z.
｜1/s｜=｜(z-1)/(18z)｜=｜-1+cos20°+isin20°｜/｜18( cos20°+isin20°)｜=sin10°/9.

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