从数字 0,1,2,…,m 中取出 n 个数作排列，问：n 个数字相加等于 k 的排列有几个？...

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第一行列数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27
第二行列数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27
第三行列数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27
第四行列数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27
第五行列数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27
现在每个行列都有28个数。
条件是：第一行列至第五行列必须要取其中一个数,就是一共五位，任意取这五个行列其中一个数相加得出指定的总和。
打个比如：指定总和是1，那么行列一至行列五取出的数字依次排列是01000，或者00010，又或者10000，也可以00001，我第一个排出来那五位数是在第一行列取出的数0，行列二取1，其他行列取0，总和就1，所以我根据这个，我想问，如果我要得出总和是27，这个排列很多的，我要怎么列出来，不漏掉任何一组，因为我不懂用什么办法才会清晰不误排列出来，我打个比如，总和是21的话，行列一至五取出来相加的数字可以是77700，或者是82821，也可以是28371，各位大神能理解我的意思吗？我要知道总和27排列出来的五位数字。一共有多少组？我要怎么做，才能列出来？因为太多了。

luyuanhong

题  从数字 0,1,2,…,m 中取出 n 个数（可以有重复）作排列，问：n 个数字相加等于 k 的排列有几个？

解  我们可以写出一个 m 次多项式 1+x+x^2+x^3+x^4+…+x^m ，求它的 n 次方：

         (1+x+x^2+x^3+x^4+…+x^m)^n 。
   
   上式展开后，得到一个 mn 次多项式，展开式中 x^k 项的系数，就是 n 个数字相加等于 k 的排列的种数。

   如果还要将这些符合要求的排列都写出来，那就没有什么好办法了，只能用电脑程序搜索。


例 1  从数字 0,1,2,3,4,5 中取出 3 个数（可以有重复）作排列，问：3 个数字相加等于 10 的排列有几个？

解                            (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^3

    =1+3x+6x^2+10x^3+15x^4+21x^5+25x^6+27x^7+27x^8+25x^9+21x^10+15x^11+10x^12+6x^13+3x^14+x^15 。

    展开式中，x^10 项的系数是 21 ，所以 3 个数字相加等于 10 的排列有 21 个。

    用电脑程序搜索，可得这 21 个排列如下：

  055    145    154    235    244    253    325  
  334    343    352    415    424    433    442  
  451    505    514    523    532    541    550


例 2  从数字 0,1,2,…,26,27, 中取出 5 个数（可以有重复）作排列，问：5 个数字相加等于 27 的排列有几个？

解                        (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+ … +x^26+x^27)^5

    =1+5x+15x^2+35x^3+70x^4+126x^5+210x^6+330x^7+495x^8+715x^9+1001x^10+1365x^11+1820x^12+2380x^13

    +3060x^14+3876x^15+48455x^16+5985x^17+7315x^18+8855x^19+10626x^20+12650x^21+14950x^22+17550x^23

    +20475x^24+23751x^25+27405x^26+31465x^27+35955x^28+ …… +15x^133+5x^134+x^135 。

    展开式中，x^27 项的系数是 31465 ，所以 5 个数字相加等于 27 的排列有 31465 个。