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梦幻的圆

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发表于 2018-1-11 20:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 李桂良 于 2018-1-12 10:07 编辑

朋友,多年前我说有一道小学五年级用数十年的奥数题是错题时,我身边及网络上的无数爱数学的朋友、中小学教师及大学教授都嗤之以鼻,不愿相信。它就是:桌面上盖着两两相交的三个圆形低片,每圆10平方厘米,盖住桌面的面积是19平方厘米,且两两相交的面积均4平方厘米,问三圆重叠部分的面积是多少平方厘米?这个数学应用题绝对错的,但很多数学教育工作者是不相信是错题,不信?你可以拿它去问问身边的爱好数学的人!
(未完待续,先别盖楼)
 楼主| 发表于 2018-1-13 10:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 李桂良 于 2018-1-13 11:50 编辑

二、疯狂的草根(艰难的求证路)
      我确信自己没有想错、看错。但只懂点勾股弦的我一下子也没办法找出所以然的证据来。 只好另辟佳径——找本地进修学校大学数学系毕业的老师指点迷津。老师经过再三的审度计算,明确的告诉我他用了大学数学的集合计算和检验,这题绝对没有错,你不用再想了!
        “能证明这题是错的你就是专家了。”“这题绝对没有错”……网上也有不相信与批评。无助、迷茫不解、不服与坚信那段时间常伴着我。
         于是我想要实验与计算同时进行。我想到了最笨拙又实在的“称面积”的方法——去一间熟人开的玻璃店请工匠用现代机器按要求割出各部分面积,回家一细称,真的有大约结果!桌面上盖着两两相交的三个圆形低片,每圆10平方厘米,两两相交的面积均4平方厘米,问三圆重叠部分的面积不是1平方厘米!但答案只能告诉自己,你总不能拿着一堆玻璃跟别人说。
         后来,我想到相互矛盾说理法,把原题再变成三题如下:
        1,三个相等圆均为10平方厘米,两两相交后占地19平方厘米,两两相交均交4平方厘米,求三圆重叠处是多少平方厘米?
  2,三个相等圆均为10平方厘米,两两相交后占地20平方厘米,两两相交均交4平方厘米,求三圆重叠处是多少平方厘米?
 3,  三个相等圆均为10平方厘米,两两相交后占地21平方厘米,两两相交均交4平方厘米,求三圆重叠处是多少平方厘米?   
       到这里可以说我已经证明原题有错,也就是文氏图不适宜用“容斥原理”计算面积。可是还有网友认为:上面三个问题都没什么问题,都是可解的。答案分别为:
第1题:1平方厘米
第2题:2平方厘米
第3题:3平方厘米
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 楼主| 发表于 2018-1-11 23:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 李桂良 于 2018-1-11 23:23 编辑

一、数学如花却迷离
        参加民师进修那年,教师进修学枚的数学老师出了一道题,我们经过思考后终于做出答案了。像每次成功解开数学难题一样,我美滋滋地欣赏着这道小学生将来会遇到的难题,数题形成的图案幻变出如花般的倩影,我不禁把这朵三圆画到学本的封面,久久端祥!
 楼主| 发表于 2018-1-12 13:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 李桂良 于 2018-1-13 12:15 编辑

      一次写完一篇小文(《平面植树问题的新见解》)后,又拿出这朵数学花来欣赏,看着看着,突然闪过一个念头:这朵均匀对称的花朵,这1:3的两部分不对!它更近是2:2。可是,按数理分析3+3+3+3+3+3+1=19又没错啊!
      带着迷茫去请教数学科组长(当时我已转教语文)。当年的资深老组长说:这是小学奥数常见的“容斥问题”,不会错,是你自己作图误差所致啊!
      我始终不相信“作图误差”有这么大。于是,为了减少目测对作图的误差。我把作图尽量做大些,让人一目了然。
     第二天见到老组长时,我跟他再谈这道三圆重叠题并非是作图误差,并拿过很认真绘作图想与他探讨。老组长瞥一眼,他有点生气说:“你能证明它是错的就成专家了。”就这我成了近十年的“草根专家”!
 楼主| 发表于 2018-1-12 14:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 李桂良 于 2018-1-15 13:30 编辑

二、疯狂的草根(艰难的求证路)
      我确信自己没有想错、看错。但只懂点勾股弦的我一下子也没办法找出所以然的证据来。 只好另辟佳径——找本地进修学校大学数学系毕业的老师指点迷津。老师经过再三的审度计算,明确的告诉我他用了大学数学的集合计算和检验,这题绝对没有错,你不用再想了!
        “能证明这题是错的你就是专家了。”“这题绝对没有错”……网上也有不相信与批评。无助、迷茫不解、不服与坚信那段时间常伴着我。
         于是我想要实验与计算同时进行。我想到了最笨拙又实在的“称面积”的方法——去一间熟人开的玻璃店请工匠用现代机器按要求割出各部分面积,回家一细称,真的有大约结果!桌面上盖着两两相交的三个圆形低片,每圆10平方厘米,两两相交的面积均4平方厘米,问三圆重叠部分的面积不是1平方厘米!但答案只能告诉自己,你总不能拿着一堆玻璃跟别人说。
         后来,我想到相互矛盾说理法,把原题再变成三题如下:
        1,三个相等圆均为10平方厘米,两两相交后占地19平方厘米,两两相交均交4平方厘米,求三圆重叠处是多少平方厘米?
  2,三个相等圆均为10平方厘米,两两相交后占地20平方厘米,两两相交均交4平方厘米,求三圆重叠处是多少平方厘米?
 3,  三个相等圆均为10平方厘米,两两相交后占地21平方厘米,两两相交均交4平方厘米,求三圆重叠处是多少平方厘米?   
       到这里可以说我已经证明原题有错,也就是文氏图不适宜用“容斥原理”计算面积。可是还有网友认为:上面三个问题都没什么问题,都是可解的。答案分别为:
第1题:1平方厘米
第2题:2平方厘米
第3题:3平方厘米
(说到这各位看家明白这题的错就可以盖楼了)
发表于 2018-1-12 16:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-1-13 08:30 编辑
李桂良 发表于 2018-1-12 14:08
二、疯狂的草根(艰难的求证路)
      我确信自己没有想错、看错。但只懂点勾股弦的我一下子也没办法找出 ...


”梦幻的圆“可能是“容斥问题“中的维恩图,维恩图中的圆,仅仅是一些封闭的曲线条,不是正规的圆(环)。
我也说不好,要不,请你把“梦幻的圆”传上来让大家学习学习。
 楼主| 发表于 2018-1-13 09:45 | 显示全部楼层
回王守恩老师:我说的“梦幻的圆“是“容斥问题“中的维恩图,又叫文氏图。但我在2004年前是没有发现有人说出这图不适于以“容斥问题”计算面积。是我于2005年前在广州某中学的“数学教师驿站”、“人民教育出版社论坛”和当年的“数学中国”论坛提出并证实。今天在百度百科上打开“文氏图”有了这样的表述“在不太严格的意义下用以表示集合(或类)的一种草图。参考资料是2007年人教社出版的教科书《高中.数学1》和2014年中青社出版的王后雄的《教材完全解读.高一数学必修一》。我还没有看这两本书,不知书中有没有用到我当年研究发现的成果。大家可能会问我,为什么当年你不把你的发现投到一些刊物上?其中有二:一、本人写作水平不高但对自己写文章又有高要求,不满意不投稿。二、当时正教小学语文并认为教材上对古诗《夜书所见》解释不对,忙于在网上纠正个人认为很多老师的错误观点,并撰写《对古诗〈夜书所见〉的新理解》在刊物上发表。(去年前还在百度百科编辑《夜书所见》的释义争议部分。)现在回头看文氏图,但不会发图,惭愧!
 楼主| 发表于 2018-1-13 12:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 李桂良 于 2018-1-15 13:47 编辑

三、数学怪像(体恤权威的错误与批评真理)
     当年一位网友发言摘录
     当我看完lgl老师的意见的时候,人一直是处于一种迷惘的状态。当然我非常明白前提和结论的逻辑关系,但是我们并不能因此忽略,这样一个事实,正如lgl老师所说,我们出的题目和答案,很多都是错误的。(虽然在逻辑上不影响)
    数学是一门严谨的学科,从几何上,当单个圆面积10,两两相交为4时,确实它们的总面积和三个重叠部分是确定的。不能因为说从逻辑上‘因为20所以2’成立,就忽视、轻视这个问题。正如不能根据“如果2+2=5,那么1+1≠2”,来不停地强调1+1可以≠2。正如在数理逻辑上有着重要贡献的罗素说:“1+1=2,这是真理,而对于真理,我们有什么犹豫和顾忌呢?”
    所以,只要lgll老师的意见经得起验证:1、两圆两两相交面积为4,它们的位置关系只有一个;2、三圆两相交面积为4,它们的位置关系也只有一个。那么他说这个题目是错的的这个说法也应该是真理,对于真理我们同样不应该有顾忌和诋毁。
    但是难道因为这个原因,我们要放弃三圆重叠这个经典问题吗?三圆重叠问题经历了这么长的奥数成长的洗礼一直生存到现在,它的生命力在哪里?对于lgl老师的这个冲击,会怎么样呢?
    迷惘,所以我一直在思考。一个人的智慧是有限的,我请教了几位同事、领导。到现在,我终于有了一个让我自己比较信服的看法。
    我们看一道题目,除了要看题目本身以外,还必须看对象。三圆重叠问题其实是初等数论里面逐步淘汰原则简化在小学奥数后的其中一种应用,它比起那些用文字表示拥有性质1、2、3…的各有多少,同时拥有两个性质的各有多少,同时……的问题,要直观,易懂,简单得多。它能够直接从图上明白一加一减一加一减……的原因和原理。
    从这里我们应该明白,我们小学奥数用这个题型,或者说用这类题型是为了什么?是为了让学生更好的学习几何吗?不是。我们是利用它,来锻炼学生的思维能力,锻炼学生运用这种方法解决问题的能力。我们的学生不是数学家,我们不是数学家,我们的出题者也不一定是数学家。对于小学生,有些问题出于知识的限制,出于能力的限制,我们只能而且必须将它模糊。举个简单的例子就是在小学说1-2不能减,我们不可能跟他们全部解释负数,知识的建立是一个循序渐进,不断更新完善的过程,所以我们在这个阶段只能说1-2不能减是对的。
    所以,虽然lgl老师提出这个问题的确非常尖锐,我们必须正视、承认这一点。但是,就因为三圆重叠问题对于培养、锻炼思维能力的作用和目的,对于小学生,对于教小学生的我们,不必要深入讨论这个问题(个人喜好除外),也不应该被它影响今后的工作。
    最后作个小结:我很明白lgl老师在发现这个问题后兴奋的情绪,很明白lgl老师在被众多质疑、批评、漠视下的愤慨,我们会很仔细地去分析lgl老师的意见。对于存在的问题我们不会否认。
    但是,也同样地,请lgl老师正视小学数学教学必须存在的模糊,一个这样的点到底应该放在纯数学的研究,还是放在基础教学。在思考的时候多想想如1不能减2的原因。
    我们存在也必须存在一些与现实不符合的东西。其实,纯数学研究里面,虽然象数学分析、解释几何之类是和生活息息相关之外,有很多是完全脱离现实的纯理论研究,我们不能总因为和现实不吻合就抨击它。什么时候松、什么时候紧,应该懂得去分析。(再罗嗦举个例子,就是三圆重叠问题,如果放在小学,对于小学生和小学教师,我们这样解,没错。如果放在数学专业的大学,对于大学生和大学教授,就不应该这样做了,你说是吗?
 楼主| 发表于 2018-1-15 13:53 | 显示全部楼层
看来我上面说得轻了一点,容易引起误会。重申一下:
1、我们是应该并且确实地同意lgl老师的观点。这个是非常严肃的问题。
2、至于我们当然是没有想到过。但是,在这个题目的发展过程中,题目类型的变迁中,题目质量的优胜劣汰的过程中,有没有人考虑过这个问题呢?我不知道,楼主不知道,五边形老师不知道,现在谁也不知道,我们不能说它肯定有,也不应排除可能有。上面我说了请楼主明白我们忽视这个错误继续做的原因。里面的我们,我的意思是首先肯定了发展历史中讨论过的可能性。另外当然改用‘我’好一点。因为今天一整天我都在困惑、思考、权衡。到现在我的疑惑解除了不少,我已经暂时决定起码到现在,在教这个问题时,我是心里不存任何犹豫地讲授。
3、至于这个题目是否应该改造?
第一,正如五边形老师的发言,这个题目从逻辑上讲,并不能说错,就是如果总面积为20,三个重叠部分肯定是2。所以就算这个题目继续下去,是可以说没问题的。
第二,这个题目牵涉到国家各地区小学奥数的教育培养,似乎不是能由某几个人说了算。

第三,我们作为一个有责任的教师,能做的是什么?是在这里说几句?是向上反映?是保持不变继续教?……似乎应三思。
 楼主| 发表于 2018-1-15 13:56 | 显示全部楼层
思考:小学数学还该不该拿这类错题来训练学生思维能力?
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