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极限概念和方法

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发表于 2018-1-11 11:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 elim 于 2018-1-16 04:55 编辑

首先来看数列的极限。问题的提出很自然,例如割圆法就是得到圆周率的逼近序列的方法。
所论序列所逼近的圆周率逻辑上的存在性必须先于逼近序列的构成。众所周知,Pi 的逼近
序列本身严格地说也是数理逻辑意义上的存在。从具体计算的角度看,它不可能完成。

解决一般的极限的存在性问题导致了数系的概念。照今天与时俱进的说法,数系就是数的
集合,实数系就是叫做实数的数的集合,它是研究实数序列极限的平台。人们用一些必要
的性质来刻划实数系,这些性质使得实数系又被称为具有阿基米德性及最小上界性的有序域.
参见我的帖子【(重贴)数系构造的逻辑历程】及【连续统构造】.  名称概念并不保证实数系
的存在性,实数系的存在性是通过模型确立的:通过集合论中的更原始的存在公理,构造
出一个新集合,其结构满足实数公理。这样的模型的建立就是我那个帖子的内容。另一个
模型更直观,就是实数轴。把其上的点叫做实数就成了实数系的一个几何模型。

从上面的论述表明实数系是一个既存的无穷集合。不是什么有待扩充,尚待完成的东西。
这就是实无穷观点。实无穷观点就是接受建立在无穷公理基础上构造得到的无穷集合的存在
性的集合观。没有实无穷集合,就没有极限的存在性。所以实无穷观是必要的,合理的。
顺便指出,实无穷观跟写数是否写完毫不相干。

待续..................


 楼主| 发表于 2018-1-16 16:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2018-1-16 05:00 编辑

数域是数的集合,使得和,差,积,商(分母不为0)的结果还是该集合的元素,并且四则运算满足通常的运算法则(交换,分配律的成立,加/乘法逆存在,加/乘单位 0,1(1≠0)存在等等).

有序域是满足三分律的数域,使得 ((a > b → a+c > b + c),(a, b > 0  → ab > 0))等等.

序集 R 的最小有界性是指对任意非空上有界的集合 E ⊂ R, 存在某 k ∈ R 使得 k 是 E 的上界,比 k 小的数都不是 E 的上界。

不难证明具有最小上界性的有序域必含全体有理数。这样的数域具有阿基米德性是指对任意 a > 0 及 任意数 A ∈ R, 存在自然数 n 使得 na > A.  阿基米德性无非是说任何正数都可以量度 R 中的数.

我的帖子【连续统构造】证明了具有阿基米德性及最小上界性的有序域的存在。由于任意两个这种数域都代数保序同构,所以本质上这种数域只有一个。习惯上把它叫做实数域,其中的数叫做实数。

下贴我们来证明正数的算术平方根存在。

 楼主| 发表于 2018-1-18 14:41 | 显示全部楼层
e03.png

大多数网友根本不认为一个正数的算术平方根的存在性会是问题,可见搞数学基础的人不是一般的严谨。

又有人认为算术平方根一般没有有限数值表达,所以一般只有近似而不存在绝对准的算术平方根。本帖借助实数域的性质和存在性证明了这种说法也是不对的。应该说算术平方根是存在的,但没有有限的数值表示。


我们会接着谈数和其数值的问题。
发表于 2018-1-18 15:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 谢芝灵 于 2018-1-18 07:12 编辑

无限、有限含盖了 宇宙(也包含数学)。
极限 属有限。 极限∈有限。

所以 无限与极限 不相容。
得  :n → ∞ 与 lim 属矛盾。即 n → ∞  lim A=a  属逻辑矛盾。
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1
 楼主| 发表于 2018-1-18 15:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2018-1-18 04:15 编辑

设 G 是实数域 R 的一个非空下有界的集合, 存在实数 b 使得 b ≤ x (∀ x ∈G),则 -b 是 E = {-x | x ∈G} 的上界。故 c = sup E (E 的上确界) 存在。令 g = -c, 则 g = -c ≤ x  (∀ x ∈G), 故 g 是 G 的下界.  若 g' > g, 则 -g' < -g = c = sup E,  存在 x∈G 使得 - g' < -x (-g' 不是 E 的上界), 于是 x < g' (即 g' 不是 G 的下界). 过 g 是 G 的下确界: g = inf G.

所以具有最小上界性的有序域必具有最大下界性.
 楼主| 发表于 2018-1-18 18:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2018-1-18 07:22 编辑

从下面计算看出有效数字个数随 n 几何级数方式增长:

Image1.png

但无论如何,有效数字只有有限多,因此任何有限次逼近都不会”达到“真正的根号2.

我们引进实数的值的概念:在十进制计数法下,实数 x 的值就是该数的十进制表示

x = a(k)10^k+...+a(0)10^0 + b(1)10^{-1}+b(2)^{-2}+....
其中 0≤a(j),b(j) ≤9 均为整数,且对任意 N, 恒有某 n > N 使得 b(n) < 9.

不难证明,对任意 j, a(j)b(j) 被 x 唯一确定,所以任意实数都有唯一的值。实数的值是该实数的一种特殊表示方式。这种方式使得数在数轴上的点的定位可以任意精确,而实数的大小关系可以从它们的值一目了然地读出。

应该指出,虽然一个实数的值是存在唯一的,但人们对实数的值的认识通常不是完全的。例如我们目前还不知道根号2的值的第10^100000000000000000000 位上的数码是几. 但这并不妨碍实数的值(无尽小数) 表示一个定数,人们对根号2的有效数字的认识是在变的,但把这种变化说成是无尽小数本身的变化是荒谬的。

点评

人类是拿√2这个数为原模,用十进位方法另一形式1.414213... 去构造√2。这种方法永远不能完整的表达。所以 √2≠1.414213...。类似 角三等分:用欧氏作图永远不能作出10度解的三等分。  发表于 2018-1-18 18:54
人们对根号2的有效数字的认识是在变的 ==== 这种变化是无限的。所以就是1.414213....的无限变化。 注意:√2本身就是一个有限的数。1.414213....属无限的元素,是一个非数。所以:√2≠1.414213...  发表于 2018-1-18 18:49
 楼主| 发表于 2018-1-18 19:45 | 显示全部楼层
把无尽小数叫做变化的,是用有限小数序列冒充无尽小数.另外无尽小数既然是实数的数值表示,当然也是有限的. 只是它不是有限位小数而已.

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