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ABCD 为正方形,E 是 AB 中点,P,Q 是 AD,BC 边上的十等分点,有几组能使 ∠PEQ<90°

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发表于 2018-1-8 23:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


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发表于 2018-1-9 14:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2018-1-9 16:05 编辑

思路:设正方形ABCD 的边长为10,因E 是 AB 中点,则AE=BE=5.
令AQ=m、BP=n(P、Q都是十等分点,m、n∈N,且1≤m≤9,1≤n≤9),则由勾股定理易算得EP、EQ长度的平方,再由余弦定理及∠PEQ<90°易得到mn>25.
当m=3时,n=9;
当m=4时,n=7、8、9;
当m=5时,n=6、7、8、9;
当m=6时,n=5、6、7、8、9;
当m=7时,n=4、5、6、7、8、9;
当m=8时,n=4、5、6、7、8、9;
当m=9时,n=3、4、5、6、7、8、9;
符合题意的(P、Q)的组数只有上述32种.
 楼主| 发表于 2018-1-9 15:29 | 显示全部楼层
谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
 楼主| 发表于 2018-1-18 22:35 | 显示全部楼层


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