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生成任意大质数的公式 N = 2^2^2^……^2^2 + 1

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发表于 2017-11-20 11:33 | 显示全部楼层 |阅读模式
        寻找出更大的质数,一直是数学研究中的永恒话题,没有最大只有更大,这已经成为数学界中的破记录比赛。
        如果说数字好比是数学中的原子,那么质数就是数学中的分子,可以构成万数。质数在工程领域里面有许多实际的用途,例如密码学中密钥的选取就必须是质数。更为重要的是,获取大质数的过程,极大地推动了数论和计算机科学的发展。
        数值越大,出现质数的概率就越小,它们的分布会越来越稀疏。随意写出一个极大的奇数,碰巧是质数的可能性趋向为零。现在,获得新的更大质数要以年为时间单位,即使是计算机技术发展迅速,数年间也未必能再得一、二。
        因为逐一筛选所需要的计算量实在是太大了,取巧之处在于应该到哪一类数值当中去淘金?于是人们试图通过采用公式的方法来获取大质数,希望只要把参数带入到某个公式中间去,即可获得任意大的质数,这样就产生了梅森和费马公式。很可惜,在众多数值当中,只发现有49个梅森数和5个费马数是质数。尽管如此,在极大的数值中,由梅森公式产生出来质数的概率要大一些。目前已经发现的最大质数就是个梅森数,2^74207281 - 1。它有多大?这个数值有22338618位,如果用五号字逐位打印出来,从头到尾的长度有82.7公里。
        博主始终对科学怀有好奇之心,转业后在谋生之余,无奈选择了数论研究。幸运的是,在几个方向上取得突破:发明了余数定理,可以用简简单单的公式形式,描写出某个被除数与不同的除数之间,商和余数的变化规律;使得当一个极大的被除数,与许多不同的大除数相除时,只需要把有关参数代入到这个公式中去,都是只要进行一次(有限次)加法计算即可完成,复杂度为O(n)(要点是无论这些数值有多么大。想想吧,在小学一二年级时,老师是怎么教我们做除法移位的)。
        根据余数定理,可以形成一种新型的二元二次不定方程来进行因数分解;此数学模型用处很大,如果用于密钥破译,“从此密钥无大数”。对于因数不尽相同的部分合数,还可以有一种新颖的多项式时间算法,复杂度仅为O(n^3)。这已经触碰到了数学中最难的课题,“NP完全问题”。
独创出整除关系数的理论,所有的整数都可以重新分类。整除关系数可以有多种多样,但只要是属于同一个种类的合数,无论大小,它们的因数都会具有相同的数值结构规律。万数皆有规,这将有助于减少大数筛选时的计算量。
        有些整数,例如1054841 = 907*1163 = 1027*1027+112,16801913 = 3851*4363 = 4099*4099+112,在传统的整数分类体系中,两者本无太多的关联,况且因数也不相同;但是借助整除关系式的帮助,依据它们具有相同的余数以及乘数之间的相等,就可以被归属到同一个类型的整除关系数中去。对于具有这样数值结构的整除关系数,在因数分解时,可以利用新创立的数学模型,通过解方程的方式,得知它们具有相同的解析解,L=2^4;然后再把L数值分别带入到它们各自的二元二次不定方程中去,即可获知与因数相对应的,不定方程中的另外一个未知数,整个过程的计算复杂度仅需O(n^2)。类似的例子不胜枚举。
        在密码学教科书的开篇中,通常可以看到这样一句话,“现代密码学,就是建立在因数分解的难解性上发展起来的,如果找到了多项式时间的算法,密码学就将处于崩溃的边缘”。
        目前上述成果已部分获准发表。
        在研究之余,作为一种休闲,时而把玩数字,获得一个貌似可以生成任意大质数的公式,公布出来大家一起雅玩。
        奇数生成公式,N = 2^a+1。
        如果a=2,那么N = 2^2+1 = 4+1 = 5,这时N是一个质数(真巧,下一个奇数,5+2=7也是质数)。
        令b=2^a,那么N = 2^b+1 = 2^2^2+1 = 2^4+1 = 16+1 = 17,17仍然是一个质数(17+2=19也是)。
        令c=2^b,可有N = 2^c+1 = 2^2^2^2+1 = 2^16+1 = 65536+1 = 65537,它还是一个质数(65539也是)。
        继续令d=2^c,这时N = 2^d+1 = 2^2^2^2^2+1 = ?;因为d=2^2^2^2=65536,那么2^d的数值就有两万多位了,我的台式机算不出来,N是     不是一个质数也不知道。如果它是,孪生质数现象还会持续出现吗?
关键是再设e=2^d,又可以生成一个极大的奇数,N = 2^e+1,它的数值将要远远大于我们目前已知的最大质数,2^74207281 - 1,会不会又是一个质数呢?如果是,破纪录了。
        不断地迭代下去,没有最大,只有更大。
        N = 2^2^2^……^2^2 + 1
        这种公式具有某种神秘的压迫感,产生出来的数值全部为质数到也未必,但或许会成为寻找更大质数的一个新利器。
发表于 2018-1-21 19:19 | 显示全部楼层
2^2^2^2………+3是一个质数的概率
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