椭圆周长初等近式公式探索

永远

除了上文提到的两种方法外，还有高斯的超几何级数也可得到相同的结果，经验证它们都是相通的，这就是第三种方法，待修改…………

永远

此公式后部分的校正项及其校正项的系数已与上文被搞定，不过还要感谢elim帮我跑大数据程序，解超越方程非人力所为，而且数据相当大，这要靠当代先进的专业电脑程序

永远

我知道离拉马努金的公式已经很近了，而且上面的公式前部分就是拉氏的且是拉氏的加强版，除了冯有宽必然设置的1-g+g(1+kx)^n去逼近标准级数外，笔者感觉已经很近了，也许有那么一天我会漂亮给出推导过程

永远

拉马努金给出的公式看起来简单，但你却无法证明他。历史上类似的也不少，像费马大定理，哥德巴赫猜想，虽然看起来都能理解它，但人们就是不能给出漂亮的过程

闲人一堆

最早由阿贝尔提出，欧拉发展。
对这类问题的讨论引出一门数学分支－－椭圆积分(变分法)，仍然方兴未艾。
以下是几个比较简单的近似公式：
公式一至公式六为一般精度，满足简单计算需要；
公式八为高精度，满足比较专业一些的计算需要。
椭圆周长公式：L=2πb+4（a-b）
这些公式均符合椭圆的基本规律,当a=b时，L=2aπ，
椭圆周长级数展开式
椭圆周长级数展开式
一、 L1 =π·qn/ atan(n)
(b→a，q=a+b，n=((a-b)/a))^2
这是根据圆周长和割圆术原理推导的，精度一般。
二、 L2 =π·θ/(π/4)·(a-c+c/sinθ)
(b→0，c=√(a^2-b^2)，θ=acos((a-b)/a)^1.1)
这是根据两对扇形组成椭圆得特点推导的，精度一般。
三、 L3 =π·q(1 +mn)
(q=a+b，m=4/π-1，n=((a-b)/a)^3.3)
这是根据圆周长公式推导的，精度一般。
四、 L4 =π·√(2a^2 + 2b^2)·(1 +mn)
(m=2√(2/π)-1，n=((a-b)/a)^2.05)
这是根据椭圆a=b时得基本特点推导的，精度一般。
五、 L5 = √(4ab·π^2 + 15(a-b)^2)·(1 +mn)
(m=4/√(15)-1 ，n=((a-b)/a)^9 )
这是根据椭圆a=b，c=0时是特点推导的，精度较好。
六、L6= π√[2(a^2+b^2)] (较近似)
七 、L7=π[3/2(a+b)-√(ab)] (较精确)
八、L8 =π·q(1 + 3h/(10 + √(4-3h)))·(1 +mn)
(q=a+b，h=((a-b)/(a+b))^2，m=22/7π-1，n=((a-b)/a)^33.697)
这是根据椭圆标准公式提炼的，精度很高。
九、一个高精度的椭圆周长初等公式，精确度可由使用者自由控制，点击图片查看。
椭圆周长（弧长）涉及第二类椭圆积分，原函数无法以初等函数的形式表达。在Matlab，maple等数学软件中可以直接调用第二类椭圆积分函数求得。建议阅读《特殊函数》，王竹溪，郭敦仁编著；刘式适、刘式达编著版本指明了第二类椭圆积分的几何意义即为椭圆弧长问题。外文文献也很多。
十、精确度最高的椭圆周长公式。首先复制下列字符，把a、b改成你想要的数字，再粘贴到百度计算器高级输入栏按等号即可。该椭圆周长公式精确度约十亿分之一，为目前世界上不用程序即可计算的精确度最高的公式。当b/a很小时，精确度是公式八的一万倍。当b/a约为0.01时，精确度相当于用程序计算项名达公式1000倍。(该公式发明人周钰承）。
pi*(a+b)*(1+3*((a-b)/(a+b))^2/(10+sqrt(4-3*((a-b)/(a+b))^2))+(4/pi-14/11)*((a-b)/(a+b))^(14.233+13.981*((a-b)/(a+b))^6.42))
例如：若a=4，b=1时，把下式粘贴到百度高级输入栏OK.
pi*(4+1)*(1+3*((4-1)/(4+1))^2/(10+sqrt(4-3*((4-1)/(4+1))^2))+(4/pi-14/11)*((4-1)/(4+1))^(14.233+13.981*((4-1)/(4+1))^6.42))
也可以把公式输入Excel表格，用时只需输入一次a、b的数值，即可直接显示椭圆周长计算结果。

永远

闲人一堆 发表于 2017-11-27 09:05
最早由阿贝尔提出，欧拉发展。
对这类问题的讨论引出一门数学分支－－椭圆积分(变分法)，仍然方兴未艾。
...

上面是从百度百科中抄来的，精度烂的没法说，最后一个由周钰承提供精度最高，不过他也是建立在拉马努金的基础上发展的，即拉马努金的加强版，那么问题来了，拉马努金这个公式是怎么推导的

永远

亲，只满足于别人给的现成结果公式，难道就不想问问这些公式是怎么得到的吗，本文用多种方法分析结果

永远

好多人都是建立在拉马努金的基础上推导的，那拉马努金是怎么得到的

永远

我信他，但不信他说的什么神啊，又是托梦什么的

永远

永远 发表于 2017-11-27 09:55
好多人都是建立在拉马努金的基础上推导的，那拉马努金是怎么得到的

史料上说的很多，不在多说。不过他用自己的论证方法来推导他自己的公式时，有时他自己的推导方法都错了，不过结果却是对的，这很悬！！！