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数列极限的辩证性质与应用中的几个问题
一,数列极限的辩证法性质
现行数列极限定义中,有狭义极限定义与的广义极限两种。 在联系实践的要求下,狭义极限定义中任意小正数ε应当加上误差界的定语,它可以只取正有理数,或只取误差界序列{1/10^n}中的有理数。这样意义下的极限,是勾通现实数量理想的绝对准大小与测不准、算不准意义下的近似值之间的桥梁。将数列取极限得到现实数量的绝对准理想数值(实数); 将数列在适当处截断,得到现实数量大小的足够准意义下近似值(有尽位十进小数,或其它有理数),近似值与绝对准的理想实数之间具有相互依存的、对立统一性质的辩证关系。根据现实问题的需要,广义极限可以有很多种。其中最重要的是自然数列0,1,2,3,……的广义极限+∞,它是一个非正常实数;它只是在某些问题研究过程中的某一个阶段才可以暂时被看作理想性质无穷大定数,但在不定式研究中又需要把他看作以有限自然数为项的无穷数列性质的变数。
二,数列的极限方法应用中的几个问题
1极限值常常被错误的看作数列能达到的数值
例1,包括所有自然数集合,常常被人们看作是完成了的现实存在着的正常集合,其实这个集合是人们无法将其元素列举完毕的,不能被人们制作完成了的非正常集合;至于这个集合的存在着的说法是可以说的,但存在的是人们无法制作完毕的非正常集合。
例2,1被3除过程中得到的本来是无穷项相加的无穷级数0.3+0.03+0.003+……,这个无穷次加法运算是无法进行的计算操作,能计算的只是:它的前n项和的序列0.3,0.33,0.333,……的极限,这个有尽小数为项的序列可以简写为0.333……,并称它为无尽循环小数,它的极限为有理数1/3。因此,应当成立的是:极限性等式 lim n→∞ 0.333……=1/3 或全能近似等式 1/3~0.333……,后者表示一系列近似等式 1/3≈0.3; 1/3≈0.33; 1/3≈0.333; 1/3≈0.3333;……。但现行教科书,不严肃地采用了等式 1/3=0.333... 的做法,应当得到改革。
2现行数列的极限值是忽略了高阶无穷小的理想实数,它具有不够精确的性质
例如,数列0.3,0.33,0.333,……与有理数1/3 的差就是无穷数列:1/30,1/300,1/3000,……,这个数列的极限是0 ;根据无穷小的定义,这个数列是无穷小,所以,精确一点应当把这个无穷数列0.3,0.33,0.333,……叫做全能近似实数1/3-。 同理,把1被3除 得到的对于误差界序列{1/10^n}过剩近似值数列0.4,0.34,0.334,……叫做全能近似实数1/3+。 同时,分别称全能近似实数1/3-、1/3+为上述两个数列 全能近似极限,这种意义的极限比现有的极限(可以称作标准极限)较为精确。这两个全能近似实数与理想实数(或称标准实数)1/3之差都是无穷小。每一个理想实数以及与它的差为无穷小近似实数 组成的集合可以被看作是一个单子。
3,施篤兹(O.Stolz)定理中的公式 的应用问题
由于这个公式是对标准极限成立的公式,研究全能近似极限时,就会改变全能近似实数的正负号。例如,(-1)^n n/n^2 的全能近似极限,本来是:0-(当n为奇数时),0+(当n为偶数时)。但将n看作X(n), n^2/(-1)^n看作Y(n)使用(O.Stolz)公式 就得到分子为(n+1)-n=1,分母为(n+1)^2/(-1)^(n+1) – n^2/(-1)^n =-(-1)^n { (n+1)^2+n^2},于是其全能近似极限为0-(当n为偶数时),0+(当n为奇数时),与原有的右上角正负号相反。这说明:使用施篤兹公式时,会改变数列趋向于极限值的方向。究竟如何对待这个问题,必需接受实践检验,以实践为标准。
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