设 a(1)>0, a(n+1)=log(1+a(n)), 求 lim n(na(n)-2)/log(n)

elim

jzkyllcjl 发表于 2018-3-30 22:34
lim n→∞ （ na(n)-2）/(1/3 •a(n-1) ) =1，对不对？

如果你看懂了我半年前的区区十几行，就知道这两个无穷小的比的极限是无穷大。

jzkyllcjl

561楼已经算出，你的τ（n）=（n-2/a(n)）=（na(n)-2）/ a(n)，的0/0型的不定式的极限是有限常数，不是无穷大。你半年前十几行是错误的证明。elim的τ(n) 趋向于无穷大的计算是错误的，我很早就反对过，但当时对他错误的原因说的不到家，最近我对他指出以下三点；第一，他2017年11月6号主贴上对△τ(n)的计算中，实质上只使用a(n)的级数表达式（4）的前三项，正如我在前边指出的，这样就造成他的表达式：△τ(n)=1/6a(n)+……是过大的现象，数字计算时,可以发现：他的△τ(n)分析式子，对△τ(1)=τ(2)-τ(1)不适合；第二，根据a(n)只能近似计算的性质，近似计算△τ(n)时，也可以取（4）式的前两项，不论取前三项或两项，都有△τ(n)=O（a（n）的结果，以及τ(n)的极限是有限常数L的结论。对于他后来解说的τ(n) 趋向于无穷大解说中的“a(n) 与2/n等价，∑△τ（k）相当于调和级数，所以τ(n) 趋向于无穷大”也是无根据的；事实上，根据 可知 是等价无穷小，不能使用∑△1/3•a(k-1)相当于调和级数得到na(n)-2 的极限为无穷大的结论。第三，对上述两点，他始终不接受，他指责我不懂极限，其实，我认为：他不尊重无穷数列具有写不到底的性质，其极限值具有趋向的不可达到的性质。对于他后来又提出的先使用O.Stolz公式证明以τ(n)为分子，ln n为分母的极限是1/3, A（n）极限为2/3的作法； 笔者再次指出提出：(12)式的τ(n) 的 极限的证明是正确的，它不是无穷大，因此他不能进一步使用O.Stolz公式证明以τ(n)为分子，ln n为分母的极限是1/3, A(n)的极限是2/3。关于笔者的这个τ(n) 趋向于L的证明，是使用了前边指出的 是等价无穷小量，在计算乘积极限时，可以替换的概念，替换 后进行的计算，是正确的；至于L的具体数字的不确定性，是对数表达式（4）的无穷级数的、无穷项相加无法进行性质造成的。根本问题还在于：对数的绝对准计算方法不存在，必须知道理想极限具有不可达到的性质，全能近似分析方法与足够准近似方法也是必须的。绝对准的极限方法与近似方法之间具有相互依存、相互斗争，促使数学理论建立与发展的性质。半年的争论，根本问题就在于计算A(n)的极限时，elim在分子极限不是无穷大时，错误地使用了O.Stolz公式。

elim

jzkyllcjl 发表于 2018-3-31 17:57
561楼已经算出，你的τ（n）=（n-2/a(n)）=（na(n)-2）/ a(n)，的0/0型的不定式的极限是有限常数，不是无穷 ...

你的“指出”不过是一个分析白痴的妄想。基于一切无穷小都等价的荒谬假设上。基于你书著泡汤和56年啼搞不定 0.333... 的猿声的事实，以及你在本主题下一错再错的几百贴的无耻记录。你的胡扯无效。

jzkyllcjl

不是假设，而是 首先把n作为分子X(n)，1/a(n)作为分母Y(n)，应用施笃兹公式 得到了 lim n→∞  na(n)=im n→∞ 2+(1/3 •a(n-1)+o(a^2(n-1))=2   然后应用极限四则运算法则，将此式  na(n)两端都减去lim 2 得到
lim n→∞ （ na(n)-2）/(1/3 •a(n-1) ) =1， 所以（ na(n)-2）与(1/3 •a(n-1) 是等价无穷小量， 进一步得到：
τ（n）=（n-2/a(n)）=（na(n)-2）/ a(n)，的极限是lim n→∞τ（n）=lim  n→∞（ na(n)-2）/a(n) =lim n→∞ (1/3 •a(n-1) )/a(n) =有限常数 1/3 . 这个有限常数不是你说的无穷大。

elim

jzkyllcjl 发表于 2018-3-31 20:57
不是假设，而是 首先把n作为分子X(n)，1/a(n)作为分母Y(n)，应用施笃兹公式 得到了 lim n→∞  na(n)=im n ...

哪条法则说 任何两个无穷小量是等价的？ jzkyllcjl 畜生不如的法则？

jzkyllcjl

elim 发表于 2018-4-1 07:59
哪条法则说 任何两个无穷小量是等价的？ jzkyllcjl 畜生不如的法则？

我没有说” 任何两个无穷小量是等价的”，现在才看到你提出这个怪问题。你这个怪问题，是对我的污蔑。是对569楼的歪曲。我569楼的叙述是：
不是假设，而是 首先把n作为分子X(n)，1/a(n)作为分母Y(n)，应用施笃兹公式 得到了 lim n→∞  na(n)=im n→∞ 2+(1/3 •a(n-1)+o(a^2(n-1))=2   然后应用极限四则运算法则，将此式  na(n)两端都减去lim 2 得到
lim n→∞ （ na(n)-2）/(1/3 •a(n-1) ) =1， 所以（ na(n)-2）与(1/3 •a(n-1) 是等价无穷小量， 进一步得到：
τ（n）=（n-2/a(n)）=（na(n)-2）/ a(n)，的极限是lim n→∞τ（n）=lim  n→∞（ na(n)-2）/a(n) =lim n→∞ (1/3 •a(n-1) )/a(n) =有限常数 1/3 . 这个有限常数不是你说的无穷大。  

elim

如果jzkyllcjl不根据"任何无穷小量都同阶"这个畜生不如的谬说，那么他的 “na(n)-2 等价于 1/3 a(n-1)” 的根据是什么？ 是吃狗屎后的幻觉？

elim

数学分析可以做的事是按递归关系楞算无可比拟的。
a(n)的高精度渐近公式：


由此求得 a(1)=log(1+1/2) 时 A(10^389) = 0.656673390915984459183.....
               λ=2.237758265992298976884341218200197560332041545.....

               a(1)=1 时 A(10^140) = 0.65886821959145168801656004886.....
               λ=0.6284805794362558817197886231174383883228358580.....
               n >7. 687619380 81×10^1637673 时
               0.66666666666666...> A(n) ≥0.666665999999999999

elim

这个主题有意思的地方在于所论极限根本无法通过对数列项直接进行的数值计算来逼近。

虽然 lim A(n) = 2/3=0.6666.... , 但 A(10^389) = 0.656673 这个相当粗糙的近似所需要
的 10^389 次迭代过去现在将来都是不可能的。我们的这个结果不是通过迭代得到的。
是根据 {a(n)} 的定义推导出 A(n)=n(na(n)-2)/log(n) 的渐近公式 2-4λ/log(n)+2log(n)/(9n)-...
它完美解释了为什么对较小的a(1)>0, A(n) 直到相当大的 n 一直是负数，但只要 n 足够大，
它还是会逼近 2/3.

这里的足够大，例如 n > 10^389 次迭代根本没有实践的可能，我们必须避免迭代地求得
A(n). 这就要求用数等函数来逼近 a(n) 乃至 A(n). 楼上贴出的分析是这项颇具挑战性的任务
的传奇性完成.

虽然 jzkyllcjl 一错再错的几百贴对他和问题毫无建树，这个问题基本上在主贴就完成了。
老差生的胡扯及我的回复基本除了具有娱乐网友及些许极限论科普的价值，并无太大的
意义。事实求是地说，从人类数学的观点看，jzkyllcjl 的帖子全部都是垃圾。

楼上的分析却很有新意：与 jzkyllcjl 破产了的【全能近似】截然相反，渐近分析在这里漂亮
地回应了对 ε > 0, 找到 N 使 n > N 就有 |A(n) - 2/3| < ε 的挑战。

有关楼上分析的技术细节以及其有效性的数值计算印证，将在我另开的技术性主题中逐步
贴出。

jzkyllcjl

elim 发表于 2018-4-1 09:12
如果jzkyllcjl不根据"任何无穷小量都同阶"这个畜生不如的谬说，那么他的 “na(n)-2 等价于 1/3 a(n-1)” 的 ...

你现在不会使用施篤兹（O.Stolz）定理中的公式（参看《菲赫金哥尔茨微积分学教程》计算 “na(n)-2 的级数表达式了！