|
|
康托尔用闭区间套方法证明实数集不可数之谬
张先胜
（重庆市合川区农业农村委员会，401520）
摘要：康托尔用闭区间套方法证明了实数集不可数。但是，康托尔错用了闭区间套定理，实数集不可数的闭区间套方法证明无效，需要另找其它方法证明或证伪。
关键词：数学基础 集合论 基本概念 闭区间套方法 不可数集合 证明无效
中图分类号：O144.1
文献标识码：A
一、引言
康托尔用闭区间套方法证明了实数集不可数。但是，康托尔错误地使用了闭区间套方法，实数集不可数之闭区间套方法证明无效。实数集是否可数，需要另找其它方法证明或证伪。
二、闭区间套定义及定理回顾
⑴闭区间套定义
设有一闭区间序列{[a_n,b_n]}，有如下性质：
①[a_n,b_n ]⊃[a_(n+1),b_(n+1) ]，n=1,2,⋯;
②lim┬(n→∞)⁡〖(b_n-a_n )=ε→0〗
则称此闭区间序列{[a_n,b_n]}，为一个闭区间套，或简称区间套。
⑵闭区间极限唯一实数存在定理
若{[a_n,b_n]}是闭区间套，且当n趋于无穷大时(n→∞)，闭区间套两端点间的距离趋于无穷小且极限为0，即lim┬(n→∞)⁡〖(b_n-a_n )=ε→0〗，即a_(n→∞)→ξ←b_(n→∞)，(n=1,2,⋯→∞)，也即：a_(n→∞)+ε/2=ξ=b_(n→∞)-ε/2)，在实数系（标准分析数系）内，则存在唯一的ξ∈R，使得ξ∈[a_n,b_n ]，(n=1,2,⋯→∞)，也即a_n=ξ=b_n，(n→∞)。[1]
三、康托尔用闭区间套定理证明实数集不可数回顾
欲证实数集不可数，只需证明实数闭区间[0,1]不可数即成。
假设实数闭区间[0,1]是可数集，则可设
[0,1]={a_1,a_2,⋯,a_n }
记I_0=[0,1]，在I_0内作一闭区间I_1，使其长度I_1<1/2且a_1∉I_1；然后又在I_1内作一闭区间I_2，使得I_2<1/2^2 且a_2∉I_2。以此类推，作好逐个包含的闭区间套：
I_0⊃I_1⊃⋯⊃I_n
I_n<1/2^n ,a_n∉I_n (n=1,2,⋯)
因为1/2^n →0 ,(n→∞)，所以由闭区间套定理，存在唯一的ξ∈I_n,(n=1,2,⋯)。
又由于令a_n∉I_n，故ξ≠a_n,(n=1,2,⋯)。
但ξ∈I_0，因而ξ是[0,1]之中的点，因此，[0,1]≠{a_1,a_2,⋯,a_n }。这与假设矛盾，因此，[0,1]是不可数集合。[2]
四、谬误分析
闭区间套定理决定了无限缩小的实数闭区间套，必有一个实数被“套住”，绝对不会“套个空”。由于任何实数都可以用有理数列或者无理数列进行无限逼近，所以，用无限逼近数列做闭区间套必然“套住”实数，不可能“套个空”。
一是在闭区间 I_0 内作较小的闭区间 I_n，使得I_n<1/2^n ，并且a_n∉I_n，隐含这样的假设：在[0,1]={a_1,a_2,⋯,a_n }中实数序列{a_1,a_2,⋯,a_n }所有的数(点)都依次被排除在减半闭区间I_n<1/2^n 之外。但是，这个隐含假设是错误的。因为显然[0,1]={a_1=0,a_2,⋯,a_n=1}，从左向右做减半区间不可能将最右边闭界值a_n=1排除在最后极限趋于0的闭区间之外。闭区间套间距之极限趋于0时，必有唯一的a_(n-1)→ξ←a_(n→∞)∈R不可能排除在间距趋于0的闭区间套I_(n→∞)→0之外(由前述闭区间极限唯一实数存在定理所决定)。故，用闭区间套定理证明实数不可数的隐含假设有误。
二是当1/2^n →0 ,(n→∞)时，I_n<1/2^n →0 ，闭区间套无限趋近于一点{a_n }，但{a_n }不能排除在趋于无穷小区间之外。由前述闭区间极限唯一实数存在定理所决定。故，减半法排除实数点无论进行多少次以至无穷次，都不可能将闭区间的所有数（点）都排除在闭区间套之外，必定最后剩余端点{a_n }无法被排除在闭区间之外，被无限缩小的闭区间套唯一“套住”(闭区间套定理决定)。
三是所作闭区间套I_n<1/2^n ,a_n∉I_n (n=1,2,⋯)假定，当n取任何有限自然数时成立；但当(n→∞)时1/2^n →0，则 a_(n→∞)∉I_(n→∞) 不成立。此时， I_(n=∞) →0 即闭区间长度极限趋于0，也即lim┬(n→∞)⁡〖(a_n-a_(n-1) )→0〗，必然存在唯一的（ a_(n-1)→ξ←a_n）∈I_n ,(n→∞)，也即（ a_(n-1)+ε/2=ξ=a_n-ε/2）∈I_n ,(n→∞)，在实数系（标准分析数系）内，有唯一实数（ a_(n-1)=ξ=a_n）∈I_n ,(n→∞)不可能排除在I_n→0，(n→∞) 的闭区间之外。也即当1/2^n →0 ,(n→∞)时，令闭区间套 a_n 〖∉I〗_n 的假设不成立。
以上是康托尔使用区间套定理证明实数不可数的根本错误所在。
五、结论与讨论
康托尔错用了闭区间套定理，所作的实数集不可数之闭区间套定理证明无效。因没有详细分析和准确运用闭区间套定理而导致实数不可数之证明错误。
实数集是否可数，需要另找其它方法证明或证伪。
若另找到其他方法证明实数集不可数，则仅仅是对康托尔集合论的瘕疵修正。
若另找到其他方法证明实数集可数，则将对康托尔集合论及相关的诸多学科产生巨大影响。例如测度论等。
由上述康托尔错用闭区间套定理对实数集不可数之证明无效可知，希尔伯特提出23个数学问题中的第1个问题——连续统问题的存在性没有得到证明。哥德尔用内模型（可构造集）方法证明了连续统假设和集合论公理系统的和谐性；Cohen用外模型（力迫）方法证明了连续统假设之否定和集合论公理系统的和谐性，故知，连续统假设是与集合论公理系统独立的命题[3]，等价于证明了集合论公理系统内不存在连续统问题。
汤姆逊关于悖论的对角线原理揭示了逻辑—语型悖和语义悖论必然内含自指否定之本质和统一结构，反之，无论公理（设）、推理规则、前提条件中明示性或者隐含性存在自指否定，则必然会导致悖论发生[4][5]。康托尔错用闭区间套定理在本质上与说谎者之类的悖论相同，内含自指否定之矛盾，不符合思维的形式逻辑规律。康托尔设定[0，1]闭区间所有的数（点）都排除在闭区间套之外，但，闭区间套唯一实数存在定理决定了必有一个数（点）存在于闭区间套内，因此而隐含自指否定之矛盾，其错谬的根本点正在于此，虽证明结论新奇，但因康托尔错用闭区间套定理而证明无效。
六、后记
自从康托尔建立集合论之乐园，其拥趸和粉丝声称谁也无法从乐园里将他们驱赶出去。本文的目标并不是要将其拥趸和粉丝赶出乐园，而是用篱笆将乐园里的沼泽、陷井隔离在外，去芜存菁，激浊扬清，让乐园的率土之滨皆成沃野，水秀山青，五彩缤纷，鲜花烂漫，硕果累累。
（中国预印本）
|
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2019-5-13 11:08
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡
楼主