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《等分圆周》
圆的等分问题是数学史上一个著名的问题，这个问题虽然不像三大作图难题（立方倍积，三等分角，圆化方）那样出名，但是人们为解决这个难题的确也付出了辛勤和汗水。到目前为止，人们在圆的等分（或者说圆内接正多边形的几何作图法）方面已经取得了辉煌的成就，这些充分显示了人类的智慧，同时激励着后人继续为之努力。
2000多年前，古希腊人就已经知道了用直尺和圆规对圆进行二等分、三等分、四等分、五等分、六等分等。也就是说二等分可以把圆分割为两个相等的半圆；三等分可以三圆周，同时可以作出圆内接正三角形。依照同样的道理，人们可以作出正四边形，正五边形，正六边形等。古人虽然进行了不懈的努力，但一直没有很大的进展，并且上述结果保持了近2000年。直到1795年，被誉为“数学王子”的德国数学家——高斯，在他18岁的时候，从代数的角度出发做出了正17边形，后经过他人的努力，又做出了几种与之相关的多边形（由于本文所涉及的多边形均为正多边形，所以将“正”字省去）。
总之，现在已经知道的，可以用圆规直尺做出的正多边形，且边数在100之内的共有24种，现列举如下①：
3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96等这24种情况的多边形。
由于六边形容易作出，所以古代希腊人在作出六边形的基础上，用直尺和圆规，通过合并或二等分，重复二等分的方法，得到了3边形、6边形、12边形、24边形、48边形、96边形等这6种多边形；相互垂直的两条直径比较容易作出，所以人们在此基础上作出了4边形、8边形、16边形、32边形、64边形等这5种多边形。又经过人们的努力，作出了5边形、10边形、20边形、40边形、80边形这5种多边形。后来人们作出了15边形、30边形、60边形这3种多边形。
总之，人类对圆的等分问题倾注了大量的心血也取得了辉煌的成绩，但是时至今日，没有一点进展。故从1995年起，一直在进行本问题的研究与探讨。现就把想法列于此，敬请大家评判和指正。
现将部分结论列举于此，敬请参考
边数 关系式（a后边的数字是a的次数。）
2 4a2-1= 0
3 3a2-1= 0
4 2a2-1= 0
5 5a4-5a2 + 1 = 0
6 a2-1= 0
7 7a6-14a4+7a2-1= 0
8 2a4-4a2+1 = 0
9 3a6-9a4+6a2-1 = 0
10 a4-3a2+1 = 0
11 11a10-55a8+77a6-44a4+11a2-1 = 0
12 a4-4a2+1 = 0
13 13a12-91a10 +182a8-156a6+65a4-13a2+1 = 0
14 a6-6a4+5a2-1 = 0
15 a8-8a6+14a4-7a2+1 = 0
16 2a8-16a6+20a4-8a2+1= 0
17 17a16-204a14+714a12-1122a10+935a8-442a6+119a4-17a2+1= 0
18 a6-9a4+6a2-1 = 0
19 19a18-285a16+1254a14-2508a12 +2717a10-1729a8 +665a6 -162a4 +19a2-1= 0
20 a8-12a6+19a4-8a2+1= 0
注：因本文还涉及许多东西，而且较长，今节选部分于此，望可共同探讨，敬请赐教。
专家回复
韩永平 先生/女士：您好！
首先，感谢您对本栏目的关注！
经过专家审阅，认为，等分圆周这个问题已经解决。正奇边形可以用尺规作图，当且仅当它的边数是费马素数或不同的费马素数的乘积。由于至 今只知道五个费马素数，所以目前用尺规可以做出的正奇边形的边数是3, 5, 17, 257, 65537 以及这五个数的各种乘积（如3×5, 3×17, 17×257, ..., 3×5×17, ..., 3×5×17×257×65537等），共31个。可以尺规作图的正偶边形的边数则是上述可作图的31个正奇边形的边数乘以2的幂次。
您的来稿(查看稿件)不符合本栏目的要求，因此予以退稿。
此致
敬礼！
《科学智慧火花》编辑组
2017年09月01日
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发表于 2017-9-26 08:55
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