级数与平方数

蔡家雄

求：\(x^{86}+y^{94}=z^{90}\)

蔡家雄

设：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ... 是卢卡斯数列，

求：\(1/10+3/10^2+4/10^3+7/10^4+11/10^5+18/10^6+29/10^7+ …\) 之和

蔡家雄

设：1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ... 是佩尔数列，

求：\(1/10+2/10^2+5/10^3+12/10^4+29/10^5+70/10^6+169/10^7+ …\) 之和

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-4-22 20:32
设：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ... 是卢卡斯数列，

求：\(1/10+3/10^2+4/10 ...

\[\sum\frac{L_n}{10^n}=\sum(\frac{1+\sqrt5}{20})^n+\sum(\frac{1+\sqrt5}{20})^n=\frac{1+\sqrt{5}}{19-\sqrt{5}}+\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}+19}=\frac{12}{89}\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-4-22 20:49
设：1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, ... 是佩尔数列，

求：\(1/10+2/10^2+5/10^3+12/10^4+29/10^5+70/10^6+1 ...

\[\sum\frac{P_n}{10^n}=\frac{1}{2\sqrt2}(\sum(\frac{1+\sqrt2}{10})^n-\sum(\frac{1-\sqrt2}{10})^n)=\frac{1}{2\sqrt2}(\frac{1+\sqrt{2}}{9-\sqrt{2}}+\frac{1-\sqrt{2}}{9+\sqrt{2}})=\frac{10}{79}\]

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-4-22 20:17
求：\(x^{86}+y^{94}=z^{90}\)

\[\left(2^{1574} 3^{1845} 5^{1598}\right)^{86}+\left(2^{1440} 3^{1688} 5^{1462}\right)^{94}=\left(2^{1504} 3^{1763} 5^{1527}\right)^{90}\]

蔡家雄

求：\(2x^2 - 3y^2=1\) 的最小解，

蔡家雄

求：\(2x^2 - 3y^2= -1\) 的最小解，

王守恩

蔡家雄 发表于 2024-4-22 20:32
设：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ... 是卢卡斯数列，

求：\(1/10+3/10^2+4/10 ...

求: 1/10+3/10^2+4/10^3+7/10^4+11/10^5+18/10^6+29/10^7+ …  之和

\(S=\frac{1}{10}+\frac{3}{10^{2}}+\frac{4}{10^{3}}+\frac{7}{10^{4}}+\frac{11}{10^{5}}+\frac{18}{10^{6}}+\frac{29}{10^{7}}+\frac{47}{10^{8}}+\frac{76}{10^{9}}+\frac{123}{10^{10}}+\frac{199}{10^{11}}+\frac{322}{10^{12}}+\cdots\)

\(10*S=1+\frac{3}{10}+\frac{4}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+\frac{11}{10^{4}}+\frac{18}{10^{5}}+\frac{29}{10^{6}}+\frac{47}{10^{7}}+\frac{76}{10^{8}}+\frac{123}{10^{9}}+\frac{199}{10^{10}}+\frac{322}{10^{11}}+\cdots\)

\(9*S=1+\frac{2}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{3}{10^{3}}+\frac{4}{10^{4}}+\frac{7}{10^{5}}+\frac{11}{10^{6}}+\frac{18}{10^{7}}+\frac{29}{10^{8}}+\frac{47}{10^{9}}+\frac{76}{10^{10}}+\frac{123}{10^{11}}+\frac{199}{10^{12}}+\cdots\)

\(=1+\frac{2}{10}+\frac{1}{10}\big(\frac{1}{10}+\frac{3}{10^{2}}+\frac{4}{10^{3}}+\frac{7}{10^{4}}+\frac{11}{10^{5}}+\frac{18}{10^{6}}+\frac{29}{10^{7}}+\frac{47}{10^{8}}+\frac{76}{10^{9}}+\frac{123}{10^{10}}+\frac{199}{10^{11}}+\cdots\big)\)

\(=1+\frac{2}{10}+\frac{S}{10}\)

即:\(9*S=1+\frac{2}{10}+\frac{S}{10}\)

\(90*S=12+S\)

\(S=\frac{12}{89}\)

cz1

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