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级数与平方数

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 楼主| 发表于 2017-11-16 06:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-4-22 19:59 编辑

兔子数列中的勾股数

\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, ......\)

设兔子数列中的任意四个连续的兔子数:

\(第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d\),

则 \((ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2\)

兔子数的平方性质
\(f_n = [((1+√5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n] /√5
    = 1,1,2,3,5,8,13,21,......\)

\(f_{2n}, f_{2n+2}, f_{2n+4} 和 4*f_{2n+1}*f_{2n+2}*f_{2n+3}\),
在这四个数中,任意两个的乘积,再+1,是一个完全平方数。
1*3+1=2^2
1*8+1=3^2
1*120+1=11^2
3*8+1=5^2
3*120+1=19^2
8*120+1=31^2



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 楼主| 发表于 2017-11-17 18:49 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2024-8-19 09:05 编辑

设 \(P_n = 1,2,5,12,29,70,169,408,......\) 是 佩尔数列,

求证:\(P_n*P_{n+1}*P_{n+2}*P_{n+3}+1 =\) 完全平方数。

则 \(1*2*5*12+1=11^2\)

则 \(2*5*12*29+1=59^2\)

Treenewbee 的解答,见链接: