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【旧帖重提】梅腾斯公式推广

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发表于 2016-11-24 20:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
几年前,本网站曾由 “大傻888888” 网友发过一个帖子, 有本人参与的这个帖子很长,也就是楼盖得很高,其中解决了梅腾斯公式的推广问题。但是这个帖子可能是灭失了,我也记不得帖子的名子了。不知大傻是否记得。这个帖子的内容还是有些意思的。
        话说有个梅腾斯公式(或说是梅腾斯定理?)如下,式中 p 是素数,γ 是欧拉常数,即  γ=0.5772156649……,

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 楼主| 发表于 2016-11-24 20:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2016-11-24 20:39 编辑

所谓推广的梅腾斯公式,是指下面这个公式:

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 楼主| 发表于 2016-11-24 20:42 | 显示全部楼层
公式【2】中的 c 系数按下式计算:

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天山草先生这些系数都很粗糙,精度不高,如果达到15位精度就好了。  发表于 2021-8-29 14:37
n值 常数 2 0.8198024467614170  发表于 2021-8-29 09:18
 楼主| 发表于 2016-11-24 20:45 | 显示全部楼层
下面是【2】式中 An 的计算公式:

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 楼主| 发表于 2016-11-24 20:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2016-11-24 20:55 编辑

下面是公式【2】正确性的数字验证:
n =1 时就是梅腾斯公式(梅腾斯定理)本身,上面一行是公式等号左边的值,下面一行是等号右边的值。
n =2、3、4、5、6、7、8、9 时就是梅氏公式推广的情况。
可以看出,等号左边的值与右边的值是一致的(计算误差是难免的,因为毕竟没有算到无穷大),从而就验证了推广公式的正确性。

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发表于 2016-11-24 20:53 | 显示全部楼层
很好的东西赞一个。
 楼主| 发表于 2016-11-24 21:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2016-11-24 21:14 编辑

不知大傻888888先生是否还记得那个帖子?
公式的另一种写法:

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n=3时,值为:17.1494915657138;n=4时,值为:24.9070851662106,与天山草先生所给的值出入较大  发表于 2021-8-25 08:16
 楼主| 发表于 2016-11-25 07:05 | 显示全部楼层
或者写得更简单些:

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 楼主| 发表于 2016-11-25 07:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2016-12-8 18:46 编辑

今天总算找到了以前的资料,待我慢慢发上来吧。

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这里边有一个非常致命的缺陷,但从变量上f(m)=1-1/(P-m),递推公式有个f(m)=f(m-1)*(1-1/(P-m)^2)不错,但是具体到f(2)时需让过2,f(3)时需让过2,3;也就是必须单独处理小于等于m(m+1)的素数,即摘出来。  发表于 2021-8-24 20:05
发表于 2016-12-7 21:57 | 显示全部楼层
      能参加梅滕斯公式推广的证明是我一生最值得自豪的事,不过我只是提供思路,具体工作都是天山草先生做的。至于梅滕斯公式推广有什么用途我就不知道了,数学界也没有反应,只有一点如果有人想了解这个问题,在数学中国的天山草先生已经解决了这个问题。

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梅滕斯公式推广肯定有用,我前段时间做了点梅滕斯公式精确化的工作,在有些素数问题中,有这些公式的需求  发表于 2020-11-2 15:54
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