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楼主: 蔡家雄

勾股数新公式

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 楼主| 发表于 2019-12-28 19:12 | 显示全部楼层
设n为正整数,d为公差,

则 n*(n+d)*(n+2d)*(n+3d)+d^4 =(n^2+3nd+d^2)^2
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 楼主| 发表于 2020-1-20 07:18 | 显示全部楼层
本原勾股数新公式

若 2n -1 与 k 互素,

且 a 与 p=∣(2n -1)^2 - 2*k^2∣ 互素,

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。
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 楼主| 发表于 2020-1-26 17:36 | 显示全部楼层
本原勾股数新公式

若 2n -1 与 k 互素,

且 a 与 p=∣(2n -1)^2 - 2*k^2∣ 互素,

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p=∣(2n -1)^2 - 2*k^2∣有 t个不同的素因子,

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。



求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,

求 ∣y^2 - x^2 - 2*x*y∣ =p 的最小2^t组 正整数解,

得 x1=v1,  y1=u1,

设 R1=v1, R2=u1,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,

由 (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), ... 的Rn通项,如此类推。

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。

s = 0;
For[p = 23*49*289; y = 2, y <= 3000, y++,
For[x = 1, x <= 2000, x++,
If[Abs[(y^2 - x^2) - 2*x*y] == p && (x < y) && CoprimeQ[x, y], s = s + 1;
Print[s, "-----x=", x, ",  y=", y, ","]]]]
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 楼主| 发表于 2020-1-26 19:18 | 显示全部楼层
求 a^2+(a+23)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,

求 ∣y^2 - x^2 - 2*x*y∣ =23 的最小2^1组 正整数解,

得 x1=1,  y1=6,
第1组 Rn 数列
设 R1=1, R2=6,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,

即 Rn=1, 6, 13, 32, 77, 186, 449, 1084, ...

得 x2=4,  y2=7,
第2组 Rn 数列
设 R1=4, R2=7,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,

即 Rn=4, 7, 18, 43, 104, 251, 606, 1463, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差23 的本原勾股数。

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 楼主| 发表于 2020-1-26 19:38 | 显示全部楼层
求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,

求 ∣y^2 - x^2 - 2*x*y∣ =23*49 的最小2^2组 正整数解,

得 x1=24,  y1=29,
第1组 Rn 数列
设 R1=24, R2=29,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,

即 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...

得 x2=26,  y2=41,
第2组 Rn 数列
设 R1=26, R2=41,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,

即 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...

得 x3=11,  y3=48,
第3组 Rn 数列
设 R1=11, R2=48,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,

即 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...

得 x4=19,  y4=62,
第4组 Rn 数列
设 R1=19, R2=62,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,

即 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。

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 楼主| 发表于 2020-1-27 10:48 | 显示全部楼层
本原勾股方程:别具一格,就像百花园里的一朵平淡的奇花,
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 楼主| 发表于 2020-1-27 22:14 | 显示全部楼层
等周长本原三角形举例:

(153868,9435,154157)

(99660,86099,131701)

(43660,133419,140381)

(13260,151811,152389)

等周长本原三角形举例:
a=m^2-n^2,    b=2mn,     c=m^2+n^2

(m,n)=(60,59)=(68,37)=(84,1)

(m,n)=(187,8)=(165,56)=(143,112)

(m,n)=(195,14)=(165,82)=(143,142)

(m,n)=(170,103)=(182,73)=(210,11)

(m,n)=(182,103)=(190,83)=(210,37)

等周长本原三角形举例:
a=m^2-n^2,    b=2mn,     c=m^2+n^2

(m,n)=(390,307)=(410,253)=(442,173)=(510,23)

(m,n)=(374,367)=(418,245)=(442,185)=(494,67)

(m,n)=(390,341)=(430,233)=(442,203)=(510,49)

(m,n)=(385,356)=(399,316)=(429,236)=(455,172)

(m,n)=(490,479)=(510,421)=(570,263)=(646,89)

(m,n)=(506,469)=(550,347)=(598,227)=(650,109)

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 楼主| 发表于 2020-1-27 22:18 | 显示全部楼层
周长和面积相等且均为整数的三角形

{74,182,192},{84,164,200},{96,149,203},{104,140,204}

周长448, 面积是6720.

周长和面积相等且均为整数的三角形

有五个的,周长是7546,面积是2522520:

(1901,2772,2873)  (1914,27232909)  (1925,2693,2928)  (2018,2525,3003)  (2213,2288,3045)

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