勾股数新公式

蔡家雄

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+7744 ,

由 7744 有 2个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=22385, b=9792, c=24433 )

2-----( a=7745, b=29992512, c=29992513 )


若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-2-10 11:57
一道小题，有反例否？

若（a, b, c）为任意勾股数，

不可能有解的方程：
x^4+y^4=z^2 与 x^4 - y^4=z^2 均无正整数解，
以上是某个数论书里的结论。
请问老师，那本书里没有证明过程，他说是猜想了吗？

蔡家雄

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+210 ,

由 210 有 4个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(4-1)组 本原勾股数。

1-----( a=435, b=308, c=533 )

2-----( a=259, b=660, c=709 )

3-----( a=651, b=260, c=701 )

4-----( a=235, b=1092, c=1117 )

5-----( a=1435, b=228, c=1453 )

6-----( a=219, b=2660, c=2669 )

7-----( a=11235, b=212, c=11237 )

8-----( a=211, b=22260, c=22261 )

朱明君

举例：X=12
      12=2^2×3^1,    指数为2，1，  
代入公式得【（2×2+1－2)×（2×1+1)－1】/2=4组

     （12/2)^2=36=1×2^2×3^2,重组n=1，2，3，4，
      即（12/2）^2=36=1×36=2×18=3×12=4×9
代入公式得12^2+（36－1）^2=（36+1）^2
           12^2+（18－2）^2=（18+2）^2
           12^2+（12－3）^2=（12+3）^2
           12^2+（9 －4）^2=（ 9 +4）^2

蔡家雄

公共弦勾股数的个数公式

它与公共弦c的4x-1 型素数 无关，

均与公共弦c的4x+1型素数 有关，

设公共弦c中有t个4x+1型的素数，

它的指数为r1, r2, ... , rt,

则公共弦勾股数的个数公式为

[(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2

蔡家雄

公共弦c=5^4*13^3*17^2*29 的勾股数的个数

由公共弦c=5^4*13^3*17^2*29中有4个4x+1型的素数，

它的指数为r1=4, r2=3, r3=2, r4=1,

则公共弦c=5^4*13^3*17^2*29 的勾股数的个数为

  [(1+2r1)*(1+2r2)*...*(1+2rt) -1]/2

=[(1+2*4)(1+2*3)(1+2*2)(1+2*1) -1]/2 =472（组）

蔡家雄

若（a, b, c）为本原勾股数，

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

费尔马1

蔡老师的研究透彻，对本原勾股数分析的如此精准，实在是太棒了！学生一定要好好学习。
另外在网上发现广州市第八人民医院主任医师蔡卫平是您的什么人？

费尔马1

老师您好:我发现一个猜想:n=√（m^3－7），当m＞1时，，n无整数解？请教老师！

朱明君

朱火华勾股数组通解公式
这个公式是我研究出来的，解决了古今中外数学家勾股不分，ab不分的问题，
勾股定理的定义是短边为勾，长边为股，斜边为弦，即a<b<c,

①设(x/2)^2=mn,其中x为≥4的偶数，且m>n, m,n均为正整数
x<m-n,x为勾=a,m-n为股=b,m+n为弦=c,
x>m-n,x为股=b,m-n为勾=a,m+n为弦=c,
则a^2+b^2=c^2。
x<m-n,则x^2 + (m-n)^2 = (m+n)^2，
x>m-n,则(m-n)^2 + x^2 = (m+n)^2，
n<(x/2),则x为勾，
n≥(x/2),则x为股。
设(x/2)^2=mn,若mn一奇一偶没有大于1的公约数，则x^2 + (m-n)^2 = (m+n)^2
或(m-n)^2 + x^2 = (m+n)^2为勾股数本愿解数组。

②设x^2=mn，(其中x为≥3的奇数), 且m>n, m,n均为正整数
x<(m-n)/2,x为勾=a, (m-n)/2为股=b, (m+n)/2为弦=c，
x>[m-n]/2,x为股=b, (m-n)/2为勾=a, (m+n)/2为弦=c，
则a^2 +b^2=c^2。
x<(m-n)/2,则x^2 + [(m-n)/2]^2 = [(m+n)/2]^2，
x>(m-n)/2,则[(m-n)/2]^2 + x^2 = [(m+n)/2]^2，
n<[(x+1)/4],则x为勾，
n≥[(x+1)/4],则x为股。
设x^2=mn,若mn没有>1的公约数，则x^2 + [(m-n)/2]^2 = [(m+n)/2]^2
或[(m-n)/2]^2 + x^2 = [(m+n)/2]^2为勾股数本愿解数组。

③设正整数z=x+y,且x<y<z,x,y均为正整数
z(y-x)<2xy，则z(y-x)为勾=a, 2xy为股=b, x^2+y^2为弦=c
z(y-x)>2xy，则2xy为勾=a, z(y-x)为股=b, x^2+y^2为弦=c
则a^2+b^2=c^2
z(y-x)<2xy，则[z(y-x)]^2+ (2xy)^2 = ( x^2+y^2)^2
z(y-x)>2xy，则(2xy)^2 + [z(y-x)]^2 = (x^2+y^2)^2
设z(奇数)=x+y，若xy没有大于1的公约数，则[z(y-x)]^2+ (2xy)^2 = ( x^2+y^2)^2
或(2xy)^2 + [z(y-x)]^2 = (x^2+y^2)^2为勾股数本愿解数组。