勾股数新公式

费尔马1

wlc1 发表于 2020-2-4 17:41
请朱明君解这道小题

若 a^2+b^2 = c^2 ,

这个题看当前的条件，没有说a、b、c是勾股数，就来个简单的吧。
a=2023^2，b=0，c=a
哈哈，不知道这样的答案行不行啊？请老师指点！谢谢老师！

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-2-7 12:36
若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

蔡老师您好，您的题实在是太（高深）棒了！学生我一时还不能领会啊！
学生“鹦鹉学舌难似凤，蜘蛛虽巧不如蚕”，仿照老师的大作编写了一个小题，请老师审核:
已知 a^2+b^2=c^2，且a+b=r^3及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )
的 非本原勾股数是存在的。
例如:①a=18375    b=24500   c=175^2
a+b=35^3
②a=819958180   b=860956089  c=34481^2
a+b=1189^3

费尔马1

已知 a^2+b^2=c^2，且a+b=r^4及 c=s^3 ( r, s 均为整数 )
的 非本原勾股数是存在的。
例如:①a=401953125  b=535937500   c=875^3
a+b=175^4
②a=141543273998623739062500
b=302745336052611886328125
  c=69396125^3
a+b=816425^4

蔡家雄

若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质，且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-2-8 13:07
若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^3 及 c=s^3, (r, s 均为整数) 的本原勾股数，你能找到吗？

老师的题: a^2+b^2= c^2，且
①a+b=r^2及 c=s^2, 
②a+b=r^3 及 c=s^3, 的本原勾股数，我探索了这几天，终不能得解。
学生我尽最大努力，鹦鹉学舌一般弄了个非本原勾股数的小题，让老师见笑了！
以后还请老师不吝指教！谢谢老师。

费尔马1

不可能有解的方程：
x^4+y^4=z^2 与 x^4 - y^4=z^2 均无正整数解，
以上是蔡老师的结论。
蔡老师的这个结论与我的《又发现并证明了一个定理》一致，非常感谢老师！
这个定理，我是采用了我证明费马大定理的方法，同时也是证明比尔猜想的方法，这个方法我至今还保留着的。

费尔马1

谢谢老师指点！
我有一种美妙方法可以判断给定的高次不定方程是否有整数解，所以，有些数论难题我就可以用这个方法去解决。
在解高次不定方程之前，必须先判断它有解还是无解，如果有解才可以去解，不然，就是无的放矢了！哈哈

蔡家雄

若（a, b, c）为勾股数，

且 a+b= 23^5，

由 23^5 有 1个素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(1-1)组 本原勾股数。

1-----( a=4076247, b=2360096, c=4710185 )


任意一组勾股数（a, b, c）的面积

(a*b)/2 不可能为平方数，也不是平方数的2倍.


若（a, b, c）为勾股数，

且 a+b= 7^9，

由 7^9 有 1个素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(1-1)组 本原勾股数。

1-----( a=10084915, b=30268692, c=31904533 )

蔡家雄

若（a, b, c）为勾股数，

且 a+b= 23*31*41*47，

由 23*31*41*47 有 4个不同的素因子，

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(4-1)组 本原勾股数。

1-----( a=201347, b=1172604, c=1189765 )

2-----( a=286991, b=1086960, c=1124209 )

3-----( a=412347, b=961604, c=1046285 )

4-----( a=541751, b=832200, c=993001 )

5-----( a=798111, b=575840, c=984161 )

6-----( a=998031, b=375920, c=1066481 )

7-----( a=1048647, b=325304, c=1097945 )

8-----( a=1132131, b=241820, c=1157669 )

费尔马1

蔡家雄 发表于 2020-2-8 21:20
若 a^2+b^2= c^2，

且 a+b=r^3 及 c=s^3, (r, s 均为整数) 的本原勾股数，你能找到吗？

不可能有解的方程：
x^4+y^4=z^2 与 x^4 - y^4=z^2 均无正整数解，
以上是某个数论书里的结论。
请问老师，那本书里有证明过程吗？