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楼主: 蔡家雄

勾股数新公式

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 楼主| 发表于 2020-1-28 12:06 | 显示全部楼层
求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,

求 ∣y^2 - x^2 - 2*x*y∣ =23*49 的最小2^2组 正整数解,

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解,

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,得4组Rn数列

第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...

第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...

第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...

第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。

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 楼主| 发表于 2020-1-28 13:56 | 显示全部楼层
求 a^2+(a+7*71*89)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,

求 ∣y^2 - x^2 - 2*x*y∣ =7*71*89 的最小2^3组 正整数解,

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解,

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,得8组Rn数列

第1组 Rn=149, 162, 473, 1108, 2689, 6486, 15661, 37808, ...

第2组 Rn=151, 188, 527, 1242, 3011, 7264, 17539, 42342, ...

第3组 Rn= 12, 223, 458, 1139, 2736, 6611, 15958, 38527, ...

第4组 Rn= 48, 269, 586, 1441, 3468, 8377, 20222, 48821, ...

第5组 Rn=173, 298, 769, 1836, 4441, 10718, 25877, 62472, ...

第6组 Rn=114, 379, 872, 2123, 5118, 12359, 29836, 72031, ...

第7组 Rn=199, 386, 971, 2328, 5627, 13582, 32791, 79164, ...

第8组 Rn=136, 421, 978, 2377, 5732, 13841, 33414, 80669, ...

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差7*71*89 的本原勾股数。

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发表于 2020-1-28 18:38 | 显示全部楼层
朱明君 发表于 2020-1-28 13:22
本原勾股数通项公式

设正整数Z=X+Y,且X

朱明君的本原勾股数通项公式 是 错误的!

设正整数Z=X+Y,且X<Y<Z,  x,y均为正整数
      Z(Y-X)=a,      2XY=b,    X^2+Y^2=c
   则a^2+b^2=c^2

反例:X=7,  Y=14,  
得到:a=147, b=196, c=245, 是 派生勾股数,不是本原勾股数。

点评

a=147, b=196, c=245,没有公约数,不是派生勾股数  发表于 2020-1-29 08:47
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 楼主| 发表于 2020-1-30 19:24 | 显示全部楼层
蔡氏勾股方程竟与费尔马数 联系在一起,也许是 天缘巧合。

16^t+1 的所有素因子p必具有∣(2n -1)^2 - 2*k^2∣的形式。


16^1+1=17
16^2+1=257
16^3+1=17*241
16^4+1=65537
16^5+1=17*61681
16^6+1=97*257*673
16^7+1=17*15790321
16^8+1=641*6700417
16^9+1=17*241*433*38737
16^10+1=257*4278255361
16^11+1=17*353*2931542417
16^12+1=193*65537*22253377
16^13+1=17*858001*308761441
16^14+1=257*5153*54410972897
16^15+1=17*241*61681*4562284561
16^16+1=274177*67280421310721

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 楼主| 发表于 2020-1-30 22:06 | 显示全部楼层
费尔马1的证明

求证:16^t+1=(2n-1)^2-2k^2

证明:16^t+1=(4^t)^2+1=(4^t+1)^2-2*4^t

∵ 2*4^t=2*(2^t)^2

令 4^t+1=2n-1,2^t=k

则 16^t+1=(2n-1)^2-2*k^2

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发表于 2020-1-30 23:32 | 显示全部楼层

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发表于 2020-1-31 07:15 | 显示全部楼层
wlc1 发表于 2020-1-30 23:04
朱明君的只不过是罗士琳公式的变形,

①设[(2x)/2]^2=mn   (其中x为≥2的正整数), 且m>n, m,n均为正整数
         2x<m-n, 2x为勾=a, m-n为股=b, m+n为弦=c
         2x>m-n, 2x为股=b, m-n为勾=a, m+n为弦=c
    则a^2 +b^2=c^2  
②设(x/2)^2=mn   (其中x为≥4的偶数), 且m>n, m,n均为正整数
       x<m-n,  x为勾=a, m-n为股=b, m+n为弦=c
       x>m-n,  x为股=b, m-n为勾=a, m+n为弦=c
    则a^2 +b^2=c^2
③设x^2=mn   (其中x为≥3的奇数), 且m>n, m,n均为正整数
         x<(m-n)/2,   x为勾=a, (m-n)/2为股=b, (m+n)/2为弦=c
         x>[m-n]/2,   x为股=b, (m-n)/2为勾=a, (m+n)/2为弦=c
    则a^2 +b^2=c^2  
④设正整数Z=X+Y,且X<Y<Z,  x,y均为正整数
      Z(Y-X)=a,      2XY=b,    X^2+Y^2=c
   则a^2+b^2=c^2
⑤设x^2+y^2=z^2
       yn-[(y-x)n]=a,     yn=b,   yn+[(z-y)n]=c
         且 n≥1      n,x,y,z均为正整数
    则a^2+b^2=c^2
⑥设x=mn , (其中x为≥1的正整数)  且m≥n   m,n均为正整数
   则x^2+[(n/2)^2-m^2]^2=[(n/2)^2+m^2]^2
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发表于 2020-1-31 07:45 | 显示全部楼层
朱火华勾股数组通解公式
这个公式是我研究出来的,解决了古今中外数学家勾股不分,ab不分的问题,
勾股定理的定义是短边为勾,长边为股,斜边为弦,即a<b<c,
设(x/2)^2=mn,其中x为≥4的偶数,
x<m-n,  x为勾=a,  m-n为股=b,  m+n为弦=c,
x>m-n,  x为股=b,  m-n为勾=a,  m+n为弦=c,
则a^2+b^2=c^2
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 楼主| 发表于 2020-1-31 12:23 | 显示全部楼层
费尔马1的

[(2a - 1)^2 - 2*b^2] * [(2c - 1)^2 - 2*d^2] = (2e - 1)^2 - 2*f^2
上式可简写为
设 (2a - 1)=p,2c - 1=q
则 [p^2 - 2*b^2] * [q^2 - 2*d^2]
= (pq)^2-2p^2d^2-2b^2q^2+4b^2d^2
=〔(pq)^2+(2bd)^2〕-2〔(pd)^2+(bq)^2〕
根据勾股数原理,设(pq)^2+(2bd)^2=j^2,其中j为奇数,
〔(pd)^2+(bq)^2〕=k^2
有 j^2-2k^2 形似 (2e - 1)^2 - 2*f^2
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 楼主| 发表于 2020-2-3 21:37 | 显示全部楼层
若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b= 7*17,

由 7*17 有 2个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。

1-----( a=39, b=80, c=89 )

2-----( a=99, b=20, c=101 )

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