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楼主: 蔡家雄

勾股数新公式

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 楼主| 发表于 2020-2-23 21:53 | 显示全部楼层
蔡家雄勾股数公式1

设 n^2=u*v ,且 n>1, u>v, n,u,v 均为正整数,

若 u,v 一奇一偶且互质 及 n有t个不同的质因子

则 (u-v)^2+(2n)^2=(u+v)^2 有2^(t-1)组本原勾股数。

由公式1,等式两边同时除以4,得

蔡家雄勾股数公式2

设 n^2=u*v ,且 n>2, u>v, n,u,v 均为正整数,

若 u,v 同奇且互质 及 n有t个不同的质因子

则 n^2+[(u-v)/2]^2=[(u+v)/2]^2 有2^(t-1)组本原勾股数。



等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程

等差勾股方程

若 2n -1 与 k 互素,

且 a 与 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 互素,

则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。

若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子,

则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。



求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解,

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解,

设 R1=xi, R2=yi,  R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。


等和勾股方程

设 2n -1 与 k 互素,

若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b= p=|(2n -1)^2 - 2*k^2|,

若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。


特例:
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 为素数或素数幂,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。

特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )

的 本原勾股数,你能找到吗?


若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质,且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.


勾股弦方程

若(a, b, c)为本原勾股数,

且 a+b= c+2n ,

若 2n 有 t个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。


特例:
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若(a, b, c)为本原勾股数,

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

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发表于 2020-2-24 21:59 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2020-2-27 09:21 | 显示全部楼层

分析:朱火华的奇数为勾全部解公式,

反例:x^2=15^2=25*9,
15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2
15^2+8^2=17^2(15为股,8为勾)

朱明君先生何为勾,何为股都分不清,昏而不明,


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发表于 2020-2-27 10:15 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2020-2-27 11:25 | 显示全部楼层
罗士琳勾股数本原解公式

设 奇数Q=m+n,(m,n 互质 且 m>n, m,n 均为正整数)

则 [Q*(m-n)]^2+(2mn)^2=[m^2+n^2]^2 有 E/2组的本原勾股数。

其中,E 就是著名的 Euler 函数。但,不是朱火华的公式。

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发表于 2020-3-1 12:51 | 显示全部楼层
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发表于 2020-3-20 19:31 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2020-3-23 18:33 | 显示全部楼层
求证:(2k+1)! 能被前(2k+1)个正整数的和整除。
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 楼主| 发表于 2020-3-23 18:38 | 显示全部楼层
求证:(8+6k)! 能被前(8+6k)个正整数的和整除。
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 楼主| 发表于 2020-3-23 19:58 | 显示全部楼层
新威尔逊定理:

若 (n - 2)!   mod   n = 1, 则 n 一定是素数。
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