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发表于 2017-8-17 13:10
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本帖最后由 蔡家雄 于 2023-3-7 22:19 编辑
等差勾股方程
设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型,
且 a 与 p 互素,
则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。
若 p 有 t个 不同的素因子,
则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。
求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式
设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,
求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解,
设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解,
设 R1=xi, R2=yi, R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列
设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,
则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2
是 两直角边相差p 的本原勾股数。
s = 0;
For[p = 23*49*289; y = 2, y <= 3000, y++,
For[x = 1, x <= 2000, x++,
If[Abs[(y^2 - x^2) - 2*x*y] == p && (x < y) && CoprimeQ[x, y], s = s + 1;
Print[s, "-----x=", x, ", y=", y, ","]]]]
求 a^2+(a+23*49)^2=c^2 的本原勾股数通项公式
设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,
求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =23*49 的最小2^2组 正整数解,
设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解,
设 R1=xi, R2=yi, R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn,得4组Rn数列
第1组 Rn=24, 29, 82, 193, 468, 1129, 2726, 6581, ...
第2组 Rn=26, 41, 108, 257, 622, 1501, 3624, 8749, ...
第3组 Rn=11, 48, 107, 262, 631, 1524, 3679, 8882, ...
第4组 Rn=19, 62, 143, 348, 839, 2026, 4891, 11808, ...
设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,
则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2
是 两直角边相差23*49 的本原勾股数。
等和勾股方程
设 p 的素因子均为 8k -1型 或 8k+1型,
若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b= p ,
若 p 有 t个 不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。
特例:
若 p 为素数或素数幂,
则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。
若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b= 7*17,
由 7*17 有 2个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。
1-----( a=39, b=80, c=89 )
2-----( a=99, b=20, c=101 )
若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b= 7*17*23,
由 7*17*23 有 3个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。
1-----( a=73, b=2664, c=2665 )
2-----( a=1425, b=1312, c=1937 )
3-----( a=1705, b=1032, c=1993 )
4-----( a=2173, b=564, c=2245 )
特殊勾股方程
若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )
的 本原勾股数,你能找到吗?
若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )
的 本原勾股数 是 存在的。
a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2
a, b 互质,且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.
勾股弦方程
若(a, b, c)为本原勾股数,
且 a+b= c+2n ,
若 2n 有 t个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。
特例:
若 2n=2^k ,
则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。
若(a, b, c)为本原勾股数,
且 a+b= c+7744 ,
由 7744 有 2个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。
1-----( a=22385, b=9792, c=24433 )
2-----( a=7745, b=29992512, c=29992513 )
若(a, b, c)为本原勾股数,
且 a+b= c+2020 ,
由 2020 有 3个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。
1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )
2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )
3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )
4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )
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