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蔡家雄猜想(改进版)

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发表于 2016-7-10 20:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-1-9 18:50 编辑

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,
L4=18817=(2^5-1)(2^5*19-1)=31*607,
并且:2^31-1与2^607-1同为素数。
L5=708158977,

L6=1002978273411373057
   =(2^7-1)(2^7*61698958748239-1)
   =127*7897466719774591,
已证:2^127-1是素数,蔡家雄猜想:2^7897466719774591-1是大素数。

卢卡斯定理
设 p为奇素数,
若 L(p-1)  mod  (2^p-1)=0,
则 p是梅森素数。

卢卡斯定理的因子特征
设 p为>=5的奇素数,
若 L(p-1)  mod  (2^p-1)=0,
则 L(p-1) = (2^p-1) (2^p*q-1)

此时,猜想:仅当 p=5 和 p=7 时,
L(p-1) / (2^p-1) = (2^p*q-1) 是素数。


蔡家雄猜想

若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.

若 m 表示为费尔马伪素 ,
则 (4^m - 1)/3 一定是费尔马伪素.

若 C 表示为卡迈克尔数 ,
则 (4^C - 1)/3 一定是卡迈克尔数.

证明要点:
2^m - 1   mod   m = 1
(2^m+1)/3   mod   m = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1]  mod   2^m - 1 = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1]  mod  (2^m+1)/3 = 1
2^[(4^m - 1)/3 - 1]  mod  (4^m -1)/3 = 1


蔡家雄猜想

在两奇数平方之间有一对间距是2的孪生素数,
即:(2n - 1)^2 < (P, P+2) < (2n+1)^2

在(2n)^2 - 4 与(2n+2)^2 - 4 之间有一对间距是4的孪生素数,
即:(2n)^2 - 4 < (P, P+4) < (2n+2)^2 - 4

在(6k)^2 - 4 与[6(k+1)]^2 - 4 之间有两对三生素数,
即:(6k)^2 - 4 < (P, P+2, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4
与:(6k)^2 - 4 < (P, P+4, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4

四生素数猜想

10^n<(10x+1, 10x+3, 10x+7, 10x+9)<10^(n+1)



蔡家雄猜想                                                
                                                                           
设n≥3 ,                                                                       
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。                                             
                                                                              
不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442.        

10是如下素数的原根:
223
22222223
22222222223
222222222222222222222222222222222223
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223


蔡家雄猜想                                                   
                                                                                      
设n≥3 ,                                                                                          
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。                                            
                                                                              
不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968.

10是如下素数的原根:
337
333337
3333333333333333333333333333333333333333333337


蔡家雄猜想                                                  
                                                                                    
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。                                               
                                                                                 
不超3000的n=4,10,20,26,722,1310.        

10是如下素数的原根:
4447
4444444447
44444444444444444447
44444444444444444444444447


蔡家雄猜想                                                      
                                                                                   
设n≥3 ,                                                                             
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数,                                               
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691.         

10是如下素数的原根:
887
8887
888887
888888887
888888888887
888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887


蔡家雄猜想                                                      
                                                                              
设n≥3 ,                                                                 
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数,                                                   
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。                                                
                                                                                       
不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759.      

10是如下素数的原根:
229
22229
22222222222229


蔡家雄猜想                                                            
                                                                                
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数,                                             
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=66,86,90,102,386,624.

10是如下素数的原根:
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779


蔡家雄猜想

设P为素数,且4P+1同为素数,
若 (4P+1)  mod  40=29,
则整数10是素数(4P+1)的一个原根。
则1/(4P+1)具有最大循环节长度。
它等价于
设k为非负整数,
若30k+7和120k+29同为素数,
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。
则1/(120k+29)具有最大循环节长度。

断言:这个猜想不可能被推翻。

这个猜想的编程验证:
s = 0;
For[k = 0, k <= 100000000, k++,
If[PrimeQ[7 + 30 k] && PrimeQ[29 + 120 k], s = s + 1;
  Print[s, "---", k, "---", 7 + 30 k, "----", 29 + 120 k, "---",
   MultiplicativeOrder[10, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]


蔡家雄猜想:

设P和2P+1都是素数,
根据费马小定理,易知
当素数P>=11时,
1/(2P+1)的循环节长度或是P, 或是2P.

若 (2P+1)  mod  40=3或27或39,
则1/(2P+1)的循环节长度一定是P ,(半节)

若 (2P+1)  mod  40=7或19或23,
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。(全节)

断言:这个猜想不可能被推翻。

这个猜想的编程验证:
s = 0;
For[p = 2, p <= 1000000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[2 p + 1]) && (Mod[2 p + 1, 40] == 7 ||
     Mod[2 p + 1, 40] == 19 || Mod[2 p + 1, 40] == 23), s = s + 1;
  Print[s, "-----", p, "-----", 2 p + 1, "-------", Mod[2 p + 1, 40],
   "-------", MultiplicativeOrder[10, 2 p + 1] == 2 p]]]


蔡家雄猜想

设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,使
                n!+1<素数(n!+p)<n!+n^2

我用Mathematica数学软件:NextPrime[n!+1]
——验证了6<n<=2016,这个猜想无一反例。


蔡家雄猜想

设素数P≥11,
若P和2P+1都是素数,
则(P-1)/2是素数2P+1的一个原根。

这个猜想的编程验证:
s = 0;
For[p = 11, p <= 1000000, p++,
If[PrimeQ[p] && PrimeQ[2 p + 1], s = s + 1;
  Print[s, "---", p, "---", 2 p + 1, "----", (p - 1)/2, "---",
   MultiplicativeOrder[(p - 1)/2, 2 p + 1] == 2 p]]]


蔡家雄猜想

设k为非负整数,
若30k+7和120k+29都是素数,
则10k+2是素数(120k+29)的一个原根。

这个猜想的编程验证:
s = 0;
For[k = 0, k <= 1000000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29], s = s + 1;
  Print[s, "---", k, "---", 30 k + 7, "---", 120 k + 29, "----",
   10 k + 2, "---",
   MultiplicativeOrder[10 k + 2, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]



蔡家雄最后猜想

设 n>=5, 且 n^3 >素数 p,
若 C(pn, n)   mod   n^3 = p, 则 n 一定是素数。

若 C(2n, n)   mod   n^3 = 2, 则 n 一定是素数。
若 C(3n, n)   mod   n^3 = 3, 则 n 一定是素数。
若 C(5n, n)   mod   n^3 = 5, 则 n 一定是素数。
若 C(7n, n)   mod   n^3 = 7, 则 n 一定是素数。
....................................................................   

若 p 是奇素数,
则 C(p^2, p)   mod   p^3 = p

由上,数学界可以推翻这个猜想吗?




可以证明:

设 C(n^3, n^2)    mod    n^5 = r,
则 余数 r 一定能被 n 整除。
若 素数 p >= 5,
则 C(p^3, p^2)    mod    p^5 = p

编程验证
s = 0;
For[n = 1, n <= 10000, n++,
If[Mod[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5], n] == 0, s = s + 1;
  Print[s, "-----", Mod[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5], n] == 0]]]


蔡家雄最后猜想(续)

设 n >= 5,
若 C(n^3, n^2)    mod    n^5 = n,
则 n 一定是素数。

编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5] == n, s = s + 1;
  Print[s, "---", n, "----", PrimeQ[n]]]]
 楼主| 发表于 2017-12-26 07:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-1-6 13:08 编辑

QQ截图20180106094431.png
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 楼主| 发表于 2017-12-26 14:03 | 显示全部楼层
蔡家雄最后猜想(续)

设 n >= 5,
若 C(n^3, n^2)    mod    n^5 = n,
则 n 一定是素数。

编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^3, n^2], n^5] == n, s = s + 1;
  Print[s, "---", n, "----", PrimeQ[n]]]]
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 楼主| 发表于 2017-12-27 19:56 | 显示全部楼层
卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,
L4=18817=(2^5-1)(2^5*19-1)=31*607,
并且:2^31-1与2^607-1同为素数。
L5=708158977,

L6=1002978273411373057
   =(2^7-1)(2^7*61698958748239-1)
   =127*7897466719774591,

已证:2^127-1是素数,蔡家雄猜想:2^7897466719774591-1是大素数
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 楼主| 发表于 2017-12-28 14:48 | 显示全部楼层
蔡家雄猜想

在两奇数平方之间有一对间距是2的孪生素数,
即:(2n - 1)^2 < (P, P+2) < (2n+1)^2

在(2n)^2 - 4 与(2n+2)^2 - 4 之间有一对间距是4的孪生素数,
即:(2n)^2 - 4 < (P, P+4) < (2n+2)^2 - 4

在(6k)^2 - 4 与[6(k+1)]^2 - 4 之间有两对三生素数,
即:(6k)^2 - 4 < (P, P+2, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4
与:(6k)^2 - 4 < (P, P+4, P+6) < [6(k+1)]^2 - 4

四生素数猜想

10^n<(10x+1, 10x+3, 10x+7, 10x+9)<10^(n+1)
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 楼主| 发表于 2016-12-27 12:03 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2017-1-30 11:23 编辑

——非常感谢天山草编程大师的验证!!!




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