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数论小猜想

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发表于 2016-7-10 20:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-4-11 08:54 编辑

卢卡斯级数的通项公式

Ln=Round[((1+√3)/√2)^(2^n )/2]

L1=2,
L2=7,
L3=97,
L4=18817=(2^5 -1)(2^5*19 -1)=31*607,
并且:2^31 -1 与 2^607 -1 同为素数。
L5=708158977,

L6=1002978273411373057
   =(2^7 -1)(2^7*61698958748239 -1)
   =127*7897466719774591,
已证:2^127 -1 是素数,
蔡家雄猜想:2^7897466719774591 -1 是大素数。

卢卡斯定理
设 p为>=5的奇素数,
若 L(p-1)  mod  (2^p -1) ≡ 0,
则 L(p-1) = (2^p -1) (2^p*q -1)


蔡家雄猜想

若素数 p>=5 ,
则 (4^p - 1)/3 一定是费尔马伪素.

s = 0;
For[p = 5, p <= 100, p++,If[(PrimeQ[p]) && (PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2),
s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (4^p - 1)/3, "-----", PowerMod[2, (4^p - 1)/3, (4^p - 1)/3] == 2]]]


蔡家雄猜想

设P为素数,且4P+1同为素数,
若 (4P+1)  mod  40 ≡ 29,
则整数10是素数(4P+1)的一个原根。
则1/(4P+1)具有最大循环节长度。
它等价于
蔡家雄猜想

设k为非负整数,
若30k+7和120k+29同为素数,
则整数10是素数(120k+29)的一个原根。
则1/(120k+29)具有最大循环节长度。

最新编程验证:
s = 0;
For[k = 0, k <= 1000000, k++,
If[PrimeQ[30 k + 7] && PrimeQ[120 k + 29], s = s + 1;
Print[s, "-----", k, "-----", 30 k + 7, "-----", 120 k + 29, "-----", PowerMod[10, 60 k + 14, 120 k + 29] == 120 k + 28]]]


蔡家雄猜想:

设P和2P+1都是素数,
若 (2P+1)  mod  40 ≡ 7或19或23,
则整数10是素数(2P+1)的一个原根。
则1/(2P+1)的循环节长度一定是2P 。

这个猜想的编程验证:
s = 0;
For[p = 2, p <= 1000000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[2 p + 1]) && (Mod[2 p + 1, 40] == 7 || Mod[2 p + 1, 40] == 19 || Mod[2 p + 1, 40] == 23), s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", 2 p + 1, "-------", Mod[2 p + 1, 40], "-------", MultiplicativeOrder[10, 2 p + 1] == 2 p]]]


蔡家雄猜想

设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,
使    n!+n<素数(n!+p)<n!+n^2

s = 0;
For[n = 2, n <= 1000 , n++, NextPrime[n! + n];
If[NextPrime[n! + n] < n! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[n! + n], "-----", NextPrime[n! + n] < n! + n^2]]]

一个改进了的蔡家雄猜想

设 n >=5,
在 (2n)! +2n 与 (2n)! +n^2 之间有一个素数,
即 (2n)! +2n < 素数P < (2n)! +n^2

s = 4;
For[n = 5, n <= 100, n++, NextPrime[(2 n)! +2 n];
If[NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n], "-----", NextPrime[(2 n)! +2 n] < (2 n)! + n^2]]]


若 C(2*n, n)   mod   n^2 ≡ 2, 则 n 一定是素数。

蔡家雄猜想

设 n >= 5,
若 C(n^2, n)   mod   n^5 = n, 则 n 一定是素数。

编程验证
s = 2;
For[n = 5, n <= 10000, n++,
If[Mod[Binomial[n^2, n], n^5] == n, s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", PrimeQ[n]]]]


蔡家雄猜想

设 n>=2,
设 P 和 2^(2^n)*P+1 都是素数,
若 2^(2^n)*P+1  mod  40 ≡ 17或33,
则 10 是 2^(2^n)*P+1 的原根。

这个猜想编程验证举例(n=2)

s = 0;
For[n = 2;  p = 2, p <= 100000, p++,
If[(PrimeQ[p] && PrimeQ[(2^(2^n)) p + 1]) && (Mod[(2^(2^n)) p + 1, 40] == 17 || Mod[(2^(2^n)) p + 1, 40] == 33), s = s + 1;
Print[s, "-----", p, "-----", (2^(2^n)) p + 1, "-----",  MultiplicativeOrder[10,  (2^(2^n)) p + 1] == (2^(2^n)) p]]]



蔡家雄猜想:n>=3,

方程 a^n+n+b^n= c^n 无正整数解。



蔡家雄猜想:n>=5,

方程 a^n+nab+b^n= c^n 无正整数解。


s = 0;
For[b = 2, b <= 1000000, b++,
For[a = 1, a <= 10000, a++,
For[n = 5, n <= 10, n++,
If[IntegerQ[(a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)] && (a < b), s = s + 1;
Print[s, "-----", n, "-----", a, "-----", b,  "-----", (a^n + n*a*b + b^n)^(1/n)]]]]]


n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3 隐藏的特殊解公式

n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3

n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3

(n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3

(n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3

(3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3

(3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3

(3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3


蔡家雄猜想:n 为正整数,

n^3+b^3+c^3= (c+3)^3 有正整数解。

1^3+236^3+1207^3= (1207+3)^3
2^3+b^3+c^3= (c+3)^3 有正整数解,
3^3+18^3+24^3= (24+3)^3
4^3+17^3+22^3= (22+3)^3
5^3+7144^3+201274^3= (201274+3)^3
6^3+51^3+120^3= (120+3)^3
7^3+11066^3+388028^3= (388028+3)^3




蔡家雄奇数猜想:n 为奇数时,

n^3+b^3+c^3= (c+2)^3 有正整数解。

1^3+b^3+c^3= (c+2)^3 有正整数解,
3^3+695^3+7479^3= (7479+2)^3
5^3+44253^3+3800479^3= (3800479+2)^3




定义:一对孪生素数(p, p+2r)中间的那个数字(p+r),称为广义孪中。

广义孪中比猜想:

r=1, 正整数N 均可表为两个广义孪中之比。

r>1, 且r与N互素,N 可表为两个广义孪中之比。


广义孪中差猜想:

r与3互素:仅有偶数6n 可以表为两个广义孪中之差。

r =3k 时:所有偶数2n 均可表为两个广义孪中之差。

r =6k 时:特定偶数6k 均可表为两个广义孪中素数之差。

推论:两个广义孪中素数 同时+6k 与 同时 -6k 都是素数。


所有>=10的偶数均可表为素数对( p, p+6 )中的两个素数之和。

所有>=16的偶数均可表为素数对( p, p+6 )中的两个不同素数之和。




定义:若 (10x+5)±2 和 (10x+5)±4 是 四生素数,则称 10x+5 为 双中数。

奇数双中比猜想:一奇数均可表为两个双中数之比。



对称8生连续素数15x±2, 15x±4, 15x±8, 15x±16 有 无穷多组。


定义:孪生素数(p, p+2)的中项(p+1),叫:孪中数。

孪中比猜想:正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。


定义:若 (10x+5)±2 和 (10x+5)±4 是 四生素数,则称 10x+5 为 双中数。

双中比猜想:(2a+1)/(2b+1) 均可表为两个双中数之比。( a, b >=0 )




蔡家雄猜想:设 p为素数,

素数差(首项差2d)等比2,3 的k生素数是存在的。

素数差(首项差2d)等比h=d+1 的k生素数是存在的。

则 p+2d*(h^k - 1)/(h - 1) 均为素数。(k=1,2,3,...,k-1)




最接近某类数的四生素数

其一:最接近三角数的四生素数:x(x+1)/2±2 和 x(x+1)/2±4

其二:最接近n个连续等差奇数的乘积的四生素数
(等差2d,首奇数 r,)


其三:最接近3次方数的四生素数:x^3±2 和 x^3±4


素数p >3,最接近p次方数的四生素数:x^p±2 和 x^p±4



蔡家雄猜想:存在无穷个 x^2,  满足

从2开始,前 x^2 个连续素数的和,仍是素数!

从素数p 开始,有 x^2 个连续素数的和,仍是素数!


设 n>=2,  有 n^2 个连续素数的和 = 完全平方数



蔡家雄猜想

设 x为任意正整数,R为奇素数,

若 p为4k*R+1型素数,且 g是素数p的原根 ,

则 p*x+g 与 p*x -g 都不是R次方数。


蔡家雄猜想

设 x为任意正整数,R为奇素数,

设 p为4k*R+1型素数,且 1<r<p-1,

若 r^(2R - 2)  mod  p ≠ 1,(不同余于1)

则 p*x+r 与 p*x -r 都不是R次方数。




发表于 2018-1-15 15:05 | 显示全部楼层
老师您好:我想在那个国际公证网站上存放一篇文章,然后再找地方投稿,你上次发的那个网站名我记不清了,请您帮忙,把网站名发在我的某个帖子里,谢谢!
发表于 2018-1-16 08:12 | 显示全部楼层
谢谢蔡老师!
 楼主| 发表于 2018-1-23 13:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2018-8-26 20:01 编辑

我的另一类 单条件下 的最大循环节猜想

蔡家雄猜想                                                
                                                                           
设n≥3 ,                                                                       
若(10^n - 1)÷9×2+1是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×2+1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×2+1] 具有最大循环节长度。                                             
                                                                              
不超3000的n=3,8,11,36,95,101,128,260,351,467,645,1011,1178,1217,2442,使 猜想成立!
ForIf[n = 101;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 1] == (10^n - 1)/9*2]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/223
1/22222223
1/22222222223
1/222222222222222222222222222222222223
1/22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222223


蔡家雄猜想                                                   
                                                                                      
设n≥3 ,                                                                                          
若(10^n - 1)÷9×3+4是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×3+4的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×3+4] 具有最大循环节长度。                                            
                                                                              
不超3000的n=3,6,46,394,978,2586,2811,2968,使 猜想成立!
ForIf[n = 394;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*3 + 4 - 1)/2, (10^n - 1)/9*3 + 4] == (10^n - 1)/9*3 + 3]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/337
1/333337
1/3333333333333333333333333333333333333333333337


蔡家雄猜想                                                  
                                                                                    
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×4+3是素数,                                                  
则10是(10^n - 1)÷9×4+3的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×4+3] 具有最大循环节长度。                                               
                                                                                 
不超3000的n=4,10,20,26,722,1310,使 猜想成立!
ForIf[n = 722;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*4 + 3 - 1)/2, (10^n - 1)/9*4 + 3] == (10^n - 1)/9*4 + 2]      

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/4447
1/4444444447
1/44444444444444444447
1/44444444444444444444444447


蔡家雄猜想                                                      
                                                                                   
设n≥3 ,                                                                             
若(10^n - 1)÷9×8-1是素数,                                               
则10是(10^n - 1)÷9×8 -1的原根。  
则1/[(10^n-1)÷9×8 -1] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=3,4,6,9,12,72,118,124,190,244,304,357,1422,2691,使 猜想成立!   
ForIf[n = 118;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*8 - 1 - 1)/2, (10^n - 1)/9*8 - 1] == (10^n - 1)/9*8 - 2]      

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/887
1/8887
1/888887
1/888888887
1/888888888887
1/888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888887


蔡家雄猜想                                                      
                                                                              
设n≥3 ,                                                                 
若(10^n - 1)÷9×2+7是素数,                                                   
则10是(10^n - 1)÷9×2+7的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×2+7] 具有最大循环节长度。                                                
                                                                                       
不超3000的n=3,5,14,176,416,2505,2759,使 猜想成立!  
ForIf[n = 176;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*2 + 7 - 1)/2, (10^n - 1)/9*2 + 7] == (10^n - 1)/9*2 + 6]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/229
1/22229
1/22222222222229


蔡家雄猜想                                                            
                                                                                
设n≥3 ,                                                                     
若(10^n - 1)÷9×7+2是素数,                                             
则10是(10^n - 1)÷9×7+2的原根。
则1/[(10^n-1)÷9×7+2] 具有最大循环节长度。                                          
                                                                           
不超3000的n=66,86,90,102,386,624,使 猜想成立!
ForIf[n = 102;
PowerMod[10, ((10^n - 1)/9*7 + 2 - 1)/2, (10^n - 1)/9*7 + 2] == (10^n - 1)/9*7 + 1]

如下素数倒数具有最大循环节长度

1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/77777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
1/777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779
发表于 2018-3-19 14:02 | 显示全部楼层
证明这些猜想的真伪,必须有一流的验算工具,这个很难。
 楼主| 发表于 2018-8-7 21:05 | 显示全部楼层
本帖最后由 蔡家雄 于 2020-4-14 18:42 编辑

蔡家雄勾股数公式1                                                            
                                                                                                              
设 N^2 = u*v,且 N>1, u>v,N, u, v 均为正整数,
                                       
则 (u - v)^2+(2N)^2 = (u+v)^2     
                           
                                                                                                        
由公式1,等式两边同时除以4,得                                                                                 
                                                                                                           
                                                                                                           
蔡家雄勾股数公式2                                            
                                                                                                            
设 N^2 = u*v,且N>2, N,u,v 同奇或同偶,u>v,
                                    
则 N^2+[(u - v)/2]^2=[(u+v)/2]^2

注:N,u,v 同奇或同偶,即:N,u,v 同为奇数或N,u,v 同为偶数。   


等差勾股方程与等和勾股方程及勾股弦方程

等差勾股方程

若 2n -1 与 k 互素,
且 a 与 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 互素,
则 a^2+(a+p)^2=c^2 是 本原勾股方程。
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子,
则 a^2+(a+p)^2=c^2 有 2^t组 通项公式。

求 a^2+(a+p)^2=c^2 的本原勾股数通项公式

设 x, y 为正整数,且 x < y,且 x与y 互素,

求 |y^2 - x^2 - 2*x*y| =p 的最小2^t组 正整数解,

设 xi, yi 表示 每组的最小正整数解,

设 R1=xi, R2=yi, R(n+2)= 2*R(n+1)+Rn, 得2^t组Rn数列

设 v, u 是 Rn 数列中连续的两项,

则 (u^2 - v^2)^2+(2uv)^2= (u^2+v^2)^2

是 两直角边相差p 的本原勾股数。


等和勾股方程

设 2n -1 与 k 互素,
若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b= p=|(2n -1)^2 - 2*k^2|,
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 有 t个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例:
若 p=|(2n -1)^2 - 2*k^2| 为素数或素数幂,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。

特殊勾股方程

若 a^2+b^2= c^2,
且 a+b=r^n 及 c=s^n, ( n>=2 )
的 本原勾股数,你能找到吗?

若 a^2+b^2= c^2,

且 a+b=r^2 及 c=s^2, ( r, s 均为整数 )

的 本原勾股数 是 存在的。

a=1061652293520 , b=4565486027761 , c=2165017^2

a, b 互质,且 a+b=2372159^2 及 c=2165017^2.


勾股弦方程

若(a, b, c)为本原勾股数,
且 a+b= c+2n ,
若 2n 有 t个不同的素因子,
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。

特例:
若 2n=2^k ,

则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。


若(a, b, c)为本原勾股数,

且 a+b= c+2020 ,

由 2020 有 3个不同的素因子,

则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。

1-----( a=12221, b=2220, c=12421 )

2-----( a=2045, b=83628, c=83653 )

3-----( a=257045, b=2028, c=257053 )

4-----( a=2021, b=2042220, c=2042221 )

发表于 2018-8-11 21:04 | 显示全部楼层

哈哈 这个猜想得证应该得百万大奖 像哥猜一样被证明 ..............
发表于 2018-8-13 00:25 | 显示全部楼层
蔡兄,  对于素数的分布规律今天的数学家研究的怎麼样了? 据说是与螺旋有一定关联?
发表于 2018-8-13 00:29 | 显示全部楼层
还有一个问题: 素数二进制的分布会不会更简洁?
发表于 2018-8-27 16:50 | 显示全部楼层

    支持蔡兄的研究.....   数学问题需要提出新方法 新运算...............
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